2020年人教A版数学理(福建用)课时作业：第四章-第一节平面向量的概念及其线性运算.docx

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课时提升作业(二十五)
一、选择题
1.下列命题中是真命题的是( )
①对任意两向量a，b,均有：|a|-|b|<|a|+|b|；
②对任意两向量a，b,a-b与b-a是相反向量；
③在△ABC中，=0；
④在四边形ABCD中，=0；
⑤在△ABC中，
(A)①②③ (B)②④⑤
(C)②③④ (D)②③
2.如图所示，在△ABC中，则等于( )

(A)a＋b (B)-a+b
(C)a+b (D)－a+b
3.在以下各命题中，假命题的个数为( )
①“|a|=|b|”是“a=b”的必要不充分条件
②任一非零向量的方向都是唯一的
③“a∥b”是“a=b”的充分不必要条件
④若|a|-|b|=|a|+|b|,则b=0
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
4.(2021·福州模拟)已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么( )

5.若O是A，B，P三点所在直线外一点且满足条件：其中{an}为等差数列，则a2 011等于( )
(A)-1 (B)1 (C) (D)
6.设a,b是非零向量,则下列不等式中不恒成立的是( )
(A)|a+b|≤|a|+|b|
(B)|a|-|b|≤|a+b|
(C)|a|-|b|≤|a|+|b|
(D)|a|≤|a+b|
7.已知O是平面上的确定点，在△ABC中，动点P满足条件
，其中λ∈［0,+∞)，则点P的轨迹确定通过△ABC的( )
(A)内心 (B)重心 (C)垂心 (D)外心
8.(2021·厦门模拟)在△ABC中，则的值为( )
(A)2 (B) (C)3 (D)
9.(2021·南平模拟)已知点P为△ABC所在平面上的一点，且其中t为实数，若点P落在△ABC的内部，则t的取值范围是( )
(A) (B)
(C) (D)
10.（力气挑战题）设A1,A2,A3,A4,A5是平面上给定的5个不同点，则使成立的点M的个数为( )
(A)0 (B)1 (C)5 (D)10
二、填空题
11.如图,在正六边形ABCDEF中,已知则=________(用c与d表示).

12.(2021·三明模拟)M，N分别在△ABC的边AB，AC上，且BN与CM交于点P，设若(x,y∈R),则x+y=_______.
13.给出以下命题：
①对于实数p和向量a,b，恒有p(a-b)=pa-pb；
②对于实数p,q和向量a，恒有(p-q)a=pa-qa；
③若pa=pb(p∈R)，则a=b；
④若pa=qa(p,q∈R,a≠0)，则p=q.
其中正确命题的序号为________.
14.(力气挑战题)已知△ABC中，对于平面ABC上任意一点O，动点P满足则动点P的轨迹所过的定点为________.
三、解答题
15.(力气挑战题)如图，在△ABC中，在AC上取点N，使得在AB上取点M，使得在BN的延长线上取点P，使得在CM的延长线上取一点Q，使MQ=λCM时，试确定λ的值.

答案解析
1.【解析】选D.①假命题.∵当b=0时，|a|-|b|=|a|+|b|，∴该命题不成立.
②真命题.∵(a-b)+(b-a)=a+(-b)+b+(-a)=a+(-a)+b+(-b)=(a-a)+(b-b)=0，
∴a-b与b-a是相反向量.
③真命题.∵
∴命题成立.
④假命题.∵
∴
=
∴该命题不成立.
⑤假命题.∵
∴该命题不成立.
2.【思路点拨】结合图形，依据三角形法则把未知向量一步步地转化为已知向量进行求解.
【解析】选B.

3.【解析】选A.∵a，b方向不同⇒a≠b；
∴仅有|a|=|b|a=b;
但反过来，有a=b⇒|a|=|b|.
故命题①是正确的.
命题②正确.
∵a∥ba=b,而a=b⇒a∥b，故③不正确.
∵|a|-|b|=|a|+|b|，
∴-|b|=|b|,
∴2|b|=0,∴|b|=0,即b=0，故命题④正确.
综上所述，4个命题中，只有③是错误的，故选A.
4.【解析】选A.由可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故.
5.【解析】选D.由于A，B，P三点共线，且所以a1+a4 021=1,故
6.【解析】选D.由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|知A，B，C恒成立，取a+b=0,则D不成立.
【误区警示】解答本题时简洁忽视向量共线的情形.
7.【解析】选A.由条件得由于分别是方向上的单位向量，故在∠A的平分线上，从而向量也在∠A的平分线上．故选A．
8.【解析】选B.方法一：=
∴
方法二：∵
∴
∴得
【变式备选】如图,平面内有三个向量其中与的夹角为
120°,与的夹角为30°,且若(λ,μ∈R),则λ+μ的值为( )

(A)4 (B)5 (C)6 (D)8
【解析】选C.过C作与的平行线与它们的延长线相交,可得平行四边形,由∠BOC=90°,∠AOC=30°,得平行四边形的边长为2和4,故λ+μ=4+2=6.
9.【解析】选D.如图，E，F分别为AB，BC的三等分点，由可知，
P点落在EF上，而
∴点P在E点时，t=0,
点P在F点时，而P在△ABC的内部，
∴0<t<
10.【思路点拨】类比三角形的“重心”的性质解题.
【解析】选B.在平面中我们知道“三角形ABC的重心G满足：”则此题就能很快地答出，点M即为这5个点连线组成的平面图形的重心，即点M只有一个.
11.【解析】连接BE，CF,设它们交于点O,则
由正六边形的性质得
又
∴
答案:
12.【解析】设
则在△ABP中，
在△ACP中，
由平面对量基本定理得
因此
答案:
13.【解析】依据实数与向量乘积的定义及其运算律可知①②④正确；③不愿定成立，由于当p=0时，pa=pb=0，而不愿定有a=b.
答案:①②④
14.【解析】依题意，由
得
即
如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，对角线交于点M，
则
∴A，P，D三点共线，
即P点的轨迹是AD所在的直线，由图可知P点轨迹必过△ABC边BC的中点M.
答案:边BC的中点
【方法技巧】向量在平面几何中的应用技巧
平面对量的学问在解决平面几何中的问题时应用格外广泛：利用共线向量定理，可以证明点共线，两直线平行，并进而判定一些特殊图形；利用向量的模，可以说明线段间的长度关系，并进而求解图形的面积.在后续内容中，向量的应用将更广泛.要留意图形中的线段、向量是如何相互转化的.
15.【解析】

又
∴
∴
∴
【变式备选】如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值.

【解析】设
则
∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在λ，μ∈R，
使
故
而

即AP∶PM＝4.
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