资源描述
其次章 第八节
一、选择题
1．(2021·济南模拟)对于任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，那么x的取值范围是( )
A．(1,3) B．(－∞，1)∪(3，＋∞)
C．(1,2) D．(3，＋∞)
[答案] B
[分析] f(x)为二次函数，a为参数，当a∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，可用转化思想转化为一次函数g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4来争辩，也可以在[－1,1]上取a的值检验．
[解析] 令g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，
∵a∈[－1,1]时，g(a)>0恒成立，
且x＝2时，g(a)＝0.
∴或
∴x>3或x<1，故选B.
2．已知函数f(x)＝ax2＋(b＋c)x＋1(a≠0)是偶函数，其定义域为[a－c，b]，则点(a，b)的轨迹是( )
A．线段 B．直线的一部分
C．点 D．圆锥曲线
[答案] B
[解析] ∵偶函数的定义域关于原点对称，且f(－x)＝f(x)，
∴⇒a＝－2b(b>0)，即点(a，b)的轨迹方程为x＋2y＝0(y>0)，其轨迹为直线的一部分．
3．(2022·四川成都树德中学期中)若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－，－4]，则m的取值范围是( )
A．(0,4] B．[，3]
C．[，4] D．[，＋∞)
[答案] B
[解析] 二次函数y＝x2－3x－4的对称轴是x＝，开口向上，最小值是ymin＝－，在x＝处取得，所以由函数的值域是[－，－4]，可知m应当在对称轴的右边，当函数值是－4时，对应的自变量的值是x＝0或x＝3，假如m比3大，那么函数值就超出[－，－4]的范围，所以m的取值范围是[，3]．
4．若方程x2－2mx＋4＝0的两根满足一根大于2，一根小于2，则m的取值范围是( )
A．(－∞，－) B．(，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(2，＋∞)
[答案] D
[解析] 设f(x)＝x2－2mx＋4，则题设条件等价于f(2)<0，即4－4m＋4<0⇒m>2，故选D.
5．(2021·烟台期中)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )
A．45.606 B．45.6
C．45.56 D．45.51
[答案] B
[解析] 依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，
∴总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)
＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)．
∴当x＝10时，Smax＝45.6(万元)．
6．函数f(x)对任意x∈R，满足f(x)＝f(2－x)．假如方程f(x)＝0恰有2021个实根，则全部这些实根之和为( )
A．0 B．2021
C．4026 D．8052
[答案] B
[解析] ∵x∈R时，f(x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，实根之和为1×2021＝2021.
二、填空题
7．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)＝其中a、b∈R，若f()＝f()，则a＋3b的值为________．
[答案] －10
[解析] ∵f(x)的周期为2，则f()＝f(－2)＝f(－)，
∴f(－)＝f()，代入可得3a＋2b＝－2.
同理f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)，化简得b＝－2a，
两式联立解得a＝2，b＝－4，
∴a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10.
充分利用函数周期性的性质，将所求函数值转化为已知区间内的函数值．
8．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的一个零点是1，则函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．
[答案] 0或－1
[解析] 由题意知ax＋b＝0(a≠0)的解为x＝1，∴b＝－a，∴g(x)＝－ax2－ax＝－ax(x＋1)，令g(x)＝0，则x＝0或x＝－1.
9．(2022·辽宁沈阳质量监测)定义运算：xy＝例如：34＝3，(－2)4＝4，则函数f(x)＝x2(2x－x2)的最大值为________．
[答案] 4
[解析] 由2x－x2≥0得0≤x≤2，
由“xy”的定义知，
当0≤x≤2时，f(x)＝x2≤4；
当x<0或x>2时，f(x)＝2x－x2<0，
∴f(x)的最大值为4.
三、解答题
10．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数．
[分析] 由条件知f(x)的图象过点(2，－1)和(－1，－1)，且顶点纵坐标为8，故可设出一般式求解．
[解析] 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
依题意有
解之得，
∴所求二次函数为y＝－4x2＋4x＋7.
[点评] 求二次函数的解析式时，确定要先分析已知条件，确定要选取的解析式的形式．假如留意到f(2)＝－1和f(－1)＝－1的特点，可知①f(x)的对称轴方程为x＝，②令g(x)＝f(x)＋1，则2和－1为g(x)的两个零点，且g(x)的最大值为9，据此又可得到不同的解答.
一、选择题
11．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．[2，＋∞)
C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2]
[答案] D
[解析] 二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，则a≠0，f ′(x)＝2a(x－1)<0，x∈[0,1]，
所以a>0，即函数的图象开口向上，对称轴是直线x＝1.
所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2.
12．(2021·郑州第一次质量猜想)图中阴影部分的面积S是关于h的函数(0≤h≤H)，则该函数的大致图象是( )
[答案] B
[解析] 由题图知，随着h的增大，阴影部分的面积S渐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B.
13．(2022·北京朝阳上学期期末)函数f(x)＝x2－3x的图象为曲线C1，函数g(x)＝4－x2的图象为曲线C2，过x轴上的动点M(a,0)(0≤a≤3)作垂直于x轴的直线分别交曲线C1，C2于A，B两点，则线段AB长度的最大值为( )
A．2 B．4
C．5 D．
[答案] D
[解析] 过点M(a,0)(0≤a≤3)作垂直于x轴的直线，方程为x＝a，与曲线C1的交点A(a，a2－3a)，与曲线C2的交点B(a,4－a2)，所以|AB|＝|(a2－3a)－(4－a2)|＝|2a2－3a－4|＝|2(a－)2－|.由于0≤a≤3，所以－≤2(a－)2－≤5，所以0≤|2(a－)2－|≤，所以|AB|max＝.
14．(2021·昆明重点中学检测)在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若对任意x>2，不等式(x－a)⊗x≤a＋2都成立，则实数a的取值范围是( )
A．[－1,7] B．(－∞，3]
C．(－∞，7] D．(－∞，－1]∪[7，＋∞)
[答案] C
[分析] 先依据⊗的定义将不等式等价转化为一元二次不等式，然后利用二次函数的图象与性质争辩二次不等式在(2，＋∞)上恒成立时，a的取值范围．
[解析] 由题意得(x－a)⊗x＝(x－a)(1－x)，故不等式(x－a)⊗x≤a＋2可化为(x－a)(1－x)≤a＋2，化简得x2－(a＋1)x＋2a＋2≥0，故原题等价于x2－(a＋1)x＋2a＋2≥0在(2，＋∞)上恒成立，二次函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋2a＋2图象的对称轴为x＝，争辩得或，解得a≤3或3<a≤7，综上可得，a≤7.
二、填空题
15．(2021·深圳市五校联考)若不等式x2<|x－1|＋a的解集是区间(－3,3)的子集，则实数a的范围为________．
[答案] (－∞，5]
[解析] 不等式x2<|x－1|＋a等价于x2－|x－1|－a<0，
设f(x)＝x2－|x－1|－a，
若不等式x2<|x－1|＋a的解集是区间(－3,3)的子集，
则∴∴a≤5.
16．(2021·天津模拟)若关于x的不等式x2＋x－()n≥0对任意n∈N*在x∈(－∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是________．
[答案] (－∞，－1]
[解析] ∵n∈N*，∴()n≤，
由题意x2＋x≥()n恒成立，
∴x2＋x≥.(*)
∵x2＋x＝(x＋)2－
∴要使(*)式在(－∞，λ]上恒成立，应有λ2＋λ≥，
∴λ≤－1或λ≥，但>－，不合题意，∴λ≤－1.
三、解答题
17．已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab(a≠0)，当x∈(－3，2)时，f(x)>0；当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)<0.
(1)求f(x)在[0,1]内的值域；
(2)c为何值时，不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立．
[解析] (1)由题意得x＝－3和x＝2是函数f(x)的零点且a≠0，则
解得，∴f(x)＝－3x2－3x＋18.
(1)如图，由图象知，函数f(x)在[0,1]内单调递减，
∴当x＝0时，y＝18，当x＝1时，y＝12，
∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]．
(2)解法1：令g(x)＝－3x2＋5x＋c.
∵g(x)在上单调递减，要使g(x)≤0在[1,4]上恒成立，则需要g(x)max＝g(1)≤0，
即－3＋5＋c≤0，解得c≤－2.
∴当c≤－2时，不等于ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立．
解法2：不等式－3x2＋5x＋c≤0在[1,4]上恒成立，
即c≤3x2－5x，在[1,4]上恒成立．
令g(x)＝3x2－5x，∵x∈[1,4]，
∴g(x)在[1,4]上单调递增，
∴g(x)min＝g(1)＝3×12－5×1＝－2，∴c≤－2.
18．(2021·江西赣州博雅文化学校月考)已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12.
(1)求f(x)的解析式；
(2)是否存在正整数m，使得方程f(x)＋＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出全部m的值；若不存在，请说明理由．
[解析] (1)由于f(x)是二次函数，且f(x)<0的解集是(0,5)，
所以可设f(x)＝ax(x－5)(a>0)．
所以f(x)在区间[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6a，
由已知得6a＝12，∴a＝2.
∴f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈R)．
(2)方程f(x)＋＝0⇔2x3－10x2＋37＝0，
设h(x)＝2x3－10x2＋37，则h′(x)＝6x2－20x＝2x(3x－10)．
当x∈(0，)时，h′(x)<0，h(x)是减函数；
当x∈(，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)是增函数．
由于h(3)＝1>0，h()＝－<0，h(4)＝5>0.
所以方程h(x)＝0在区间(3，)，(，4)内分别有唯一实数根，而区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根．
所以存在唯一的正数m＝3，使得方程f(x)＋＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不等的实数根．
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
