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其次章 第一节
一、选择题
1．(文)若函数f(x)的定义域是[0,4]，则函数g(x)＝的定义域是( )
A．[0,2] B．(0,2)
C．(0,2] D．[0,2)
[答案] C
[解析] ∵∴0<x≤2，故选C．
(理)(2021·湖北荆门期末)函数f(x)＝ln(＋)的定义域为( )
A．(－∞，－4]∪(2，＋∞)
B．(－4,0)∪(0,1)
C．[－4,0)∪(0,1]
D．[－4,0)∪(0,1)
[答案] D
[解析] 要使函数f(x)有意义，
必需且只需
解得－4≤x<0或0<x<1.故选D．
2．(文)设函数f(x)＝则f(f(3))＝( )
A． B．3
C． D．
[答案] D
[解析] 由条件知f(3)＝，
f(f(3))＝f()＝()2＋1＝.
(理)已知函数f(x)＝则f(2022)等于( )
A．－1 B．1
C．－3 D．3
[答案] B
[解析] f(2022)＝f(2021)＝f(2010)＝……＝f(0)＝2×0＋1＝1.
3．(2021·银川模拟)设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞)
B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(1,3)
[答案] A
[解析] 由题意知f(1)＝3，故原不等式可化为
或解之得－3<x<1或x>3，
∴原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A．
4．(文)(2022·长春市调研)下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减，并且是偶函数的是( )
A．y＝x2 B．y＝－x3
C．y＝－lg|x| D．y＝2x
[答案] C
[解析] 四个函数中，是偶函数的有A，C，又y＝x2在(0，＋∞)内单调递增，故选C．
(理)(2022·吉林市质检)下列函数中，在定义域内既是奇函数又为增函数的是( )
A．y＝()x B．y＝sinx
C．y＝x3 D．y＝x
[答案] C
[解析] A、D中的函数为非奇非偶函数，B中函数在定义域内既有增区间又有减区间，y＝x3在定义域(－∞，＋∞)上既是奇函数，又是增函数，故选C．
5．(文)函数f(x)＝的值域是( )
A．(－∞，－1) B．(－1,0)∪(0，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
[答案] D
[解析] ＝2x－1－1>－1，结合反比例函数的图象可知f(x)∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)．
(理)若函数y＝f(x)的值域是[，3]，则函数F(x)＝f(x)＋的值域是( )
A．[，3] B．[2，]
C．[，] D．[3，]
[答案] B
[解析] 令t＝f(x)，则≤t≤3，由函数g(t)＝t＋在区间[，1]上是减函数，在[1,3]上是增函数，且g()＝，g(1)＝2，g(3)＝，可得值域为[2，]，选B．
6．已知a、b为实数，集合M＝{，1}，N＝{a,0}，f是M到N的映射，f(x)＝x，则a＋b的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．±1
[答案] C
[解析] ∵f(x)＝x，∴f(1)＝1＝a，若f()＝1，则有＝1，与集合元素的互异性冲突，
∴f()＝0，∴b＝0，∴a＋b＝1.
二、填空题
7．(文)函数y＝的定义域是________．
[答案] (－3,2)
[解析] 由6－x－x2>0，得x2＋x－6<0，
即{x|－3<x<2}．
(理)(2021·福州模拟)函数f(x)＝－的定义域为________．
[答案] (－∞，－1)∪(－1,1]
[解析] ∵要使函数f(x)＝－有意义，
∴∴
∴函数f(x)的定义域为{x|x≤1，且x≠－1}．
[失误与防范] 本题若将函数f(x)的解析式化简为f(x)＝(x＋1)－后求定义域，会误认为其定义域为(－∞，1]．事实上，上述化简过程扩大了自变量x的取值范围．
防范错误的有效方法是每一步变形时观看一下是否为等价变换，否则应附加限制条件保持等价．
8．(文)假如函数f(x)＝，那么f(1)＋f(2)＋…f(2022)＋f()＋f()＋…＋f()的值为________．
[答案] 0
[解析] 由于f(x)＋f()＝＋＝＋＝0，f(1)＝0，故该式值为0.
(理)规定记号“⊕”表示一种运算，且a⊕b＝＋a＋b＋1，其中a、b是正实数，已知1⊕k＝4，则函数f(x)＝k⊕x的值域是________．
[答案] (2，＋∞)
[解析] 1⊕k＝＋k＋2＝4，解之得k＝1，
∴f(x)＝＋x＋2，由于“⊕”的运算对象是正实数，故x>0，∴f(x)>2.
9．已知f(x－2)＝则f(1)＝________.
[答案] 10
[解析] f(1)＝f(3－2)＝1＋32＝10.
三、解答题
10．(文)函数f(x)＝x2＋x－.
(1)若定义域为[0,3]，求f(x)的值域；
(2)若f(x)的值域为[－，]，且定义域为[a，b]，求b－a的最大值．
[解析] ∵f(x)＝(x＋)2－，
∴对称轴为x＝－.
(1)∵3≥x≥0>－，
∴f(x)的值域为[f(0)，f(3)]，
即[－，]．
(2)∵x＝－时，f(x)＝－是f(x)的最小值，
∴x＝－∈[a，b]，令x2＋x－＝，
得x1＝－，x2＝，
依据f(x)的图象知当a＝－，b＝时，b－a取最大值－(－)＝.
(理)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x2－2)的值域．
[解析] (1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
又f(0)＝0，∴c＝0，即f(x)＝ax2＋bx.
又f(x＋1)＝f(x)＋x＋1.
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1.
∴(2a＋b)x＋a＋b＝(b＋1)x＋1，
∴解得∴f(x)＝x2＋x.
(2)由(1)知y＝f(x2－2)＝(x2－2)2＋(x2－2)
＝(x4－3x2＋2)＝(x2－)2－，
当x2＝时，y取最小值－.
∴函数y＝f(x2－2)的值域为[－，＋∞)．
一、选择题
11．(文)函数f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，则a的全部可能值为( )
A．1 B．1，－
C．－ D．1，
[答案] B
[解析] f(1)＝1，
当a≥0时，f(a)＝ea－1，∴1＋ea－1＝2，
∴a＝1，
当－1<a<0时，f(a)＝sin(πa2)，
∴1＋sin(πa2)＝2，
∴πa2＝＋2kπ(k∈Z)，
∵－1<a<0，∴a＝－，故选B．
(理)已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的增函数，那么a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，3)
C．[，3) D．(1,3)
[答案] D
[解析] 解法1：由f(x)在R上是增函数，
∴f(x)在[1，＋∞)上单增，由对数函数单调性知a>1，①
又由f(x)在(－∞，1)上单增，∴3－a>0，∴a<3，②
又由于f(x)在R上是增函数，为了满足单调区间的定义，f(x)在(－∞，1]上的最大值3－5a要小于等于f(x)在[1，＋∞)上的最小值0，才能保证单调区间的要求，
∴3－5a≤0，即a≥，③
由①②③可得1<a<3.
解法2：令a分别等于、0、1，即可排解A、B、C，故选D．
[点评] f(x)在R上是增函数，a的取值不仅要保证f(x)在(－∞，1)上和[1，＋∞)上都是增函数，还要保证x1<1，x2≥1时，有f(x1)<f(x2)．
12．(2022·乌鲁木齐地区诊断)若a＝，b＝，c＝，则( )
A．a<b<c B．c<a<b
C．c<b<a D．b<a<c
[答案] B
[解析] 解法1：－＝＝<0，
∴a<b
－＝＝<0，∴c<a，
∴c<a<b.
解法2：设f(x)＝(x>1)，则f ′(x)＝，当x>e时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，∴f(3)>f(4)>f(5)，
∴>>，∴>>，∴b>a>c.
13．(2022·辽宁省协作校联考)下图可能是下列哪个函数的图象( )
A．y＝2x－x2－1 B．y＝
C．y＝(x2－2x)ex D．y＝
[答案] C
[解析] 由图象可知，x<0时，函数值恒大于0，排解A、B、D，故选C．
14．(2022·吉林省九校联合体摸底)已知函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称．若对任意的x，y∈R，f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0恒成立，则当x>3时，x2＋y2的取值范围是( )
A．(3,7) B．(9,25)
C．(13,49) D．(9,49)
[答案] C
[解析] ∵y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，∴y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，即函数y＝f(x)是奇函数，又∵y＝f(x)是增函数，
∴不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0⇔f(x2－6x＋21)<f(8y－y2)⇔x2－6x＋21－8y＋y2<0⇔(x－3)2＋(y－4)2<4.
即点(x，y)是以(3,4)为圆心，以2为半径的圆内的点，如图
当x>3时，点(x，y)是右半圆内部分，x2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，∵A(3,2)，C(3,4)，
∴|OA|2＝13，|OC|2＝25，∴|OB|＝7，∴13<x2＋y2<49.
二、填空题
15．(文)函数f(x)＝若f(x0)＝1，则x0的值为________．
[答案] －1或1
[解析] 当x0≤0时，f(x0)＝2－x0－1，∵f(x0)＝1，
∴2－x0－1＝1，∴2－x0＝2，∴x0＝－1；当x0>0时，f(x0)＝，∵f(x0)＝1，∴＝1，∴x0＝1.
综上可得x0的值为－1或1.
(理)(2021·四川省内江市第一次模拟)设函数f(x)＝|x|x＋bx＋c，则下列命题中正确命题的序号有________．
①函数f(x)在R上有最小值；
②当b>0时，函数在R上是单调增函数；
③函数f(x)的图象关于点(0，c)对称；
④当b<0时，方程f(x)＝0有三个不同实数根的充要重要条件是b2>4|c|；
⑤方程f(x)＝0可能有四个不同实数根．
[答案] ②③④
[解析] f(x)＝
取b＝0知，①⑤错； 简洁推断②，③正确；b<0时，方程f(x)＝0有三个不同实数根，等价于c－<0且c＋>0，∴b2>4c且b2>－4c，∴b2>4|c|，故填②、③、④.
三、解答题
16．(文)某工厂生产某种产品，每日的成本C(单位：元)与日产量x(单位：t)满足函数关系式C＝10 000＋20x，每日的销售额R(单位：元)与日产量x的函数关系式为R＝
已知每日的利润y＝R－C，且当x＝30时，y＝－100.
(1)求a的值；
(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．
[解析] (1)∵当x＝30时，y＝－100，
∴－100＝－×303＋a×302＋270×30－10 000，
∴a＝3.
(2)当0<x<120时，y＝－x3＋3x2＋270x－10 000.
令y′＝－x2＋6x＋270＝0，
可得：x1＝90，x2＝－30(舍去)，
所以当x∈(0,90)时，原函数是增函数，当x∈(90,120)时，原函数是减函数．
∴当x＝90时，y取得极大值14 300.
当x≥120时，y＝10 400－20x≤8 000.
所以当日产量为90t时，每日的利润可以达到最大值14 300元．
(理)某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)的函数关系如图所示：
该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(天)之间的关系如表所示：
第t天
5
15
20
30
Q(件)
35
25
20
10
(1)依据供应的图象，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；
(2)在所给直角坐标系中，依据表中供应的数据描出实数对(t，Q)的对应点，并确定日销售量Q与时间t的一个函数关系式；
(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)
[解析] (1)P＝
(2)图略，Q＝40－t(t∈N*)．
(3)设日销售金额为y(元)，
则y＝
即y＝
若0<t<25(t∈N*)，则当t＝10时，ymax＝900；
若25≤t≤30(t∈N*)，则当t＝25时，ymax＝1125.
由1125>900，知ymax＝1125，
∴这种商品日销售金额的最大值为1125元，30天中的第25天的日销售金额最大．
17．(文)(2022·湖北武汉联考)函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)推断f(x)的奇偶性并证明你的结论．
[解析] (1)令x1＝x2＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数．
证明：令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，
又∵f(1)＝0，∴2f(－1)＝0，∴f(－1)＝0.
令x1＝x，x2＝－1，则f(－x)＝f(x)＋f(－1)，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)在定义域D上为偶函数．
(理)(2022·河北石家庄质检)已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1,1]，a＋b≠0时，有>0成立．
(1)推断f(x)在[－1,1]上的单调性，并证明；
(2)解不等式f(x＋)<f()；
(3)若f(x)≤m2－2am＋1对全部的a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围．
[解析] (1)任取x1，x2∈[－1,1]且x1<x2，
则－x2∈[－1,1]，∵f(x)为奇函数，
∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)
＝·(x1－x2)，
由已知得>0，x1－x2<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，
∴f(x)在[－1,1]上单调递增．
(2)∵f(x)在[－1,1]上单调递增，
∴解得－≤x<－1.
(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1,1]上单调递增，
∴在[－1,1]上，f(x)≤1.
问题转化为m2－2am＋1≥1，
即m2－2am≥0，对a∈[－1,1]恒成立．
下面来求m的取值范围．
设g(a)＝－2m·a＋m2≥0.
①若m＝0，则g(a)＝0≥0，对a∈[－1,1]恒成立．
②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必需g(－1)≥0，且g(1)≥0，
∴m≤－2或m≥2.
∴m的取值范围是m＝0或m≥2或m≤－2.
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