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第1讲 集合与常用规律用语
考情解读 (1)集合是高考必考学问点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会毁灭一些集合的新定义问题．(2)高考中考查命题的真假推断或命题的否定，考查充要条件的推断．
1．集合的概念、关系
(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要依据互异性进行检验．
(2)集合与集合之间的关系：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－2.
2．集合的基本运算
(1)交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
(2)并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．
(3)补集：∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．
重要结论：A∩B＝A⇔A⊆B；
A∪B＝A⇔B⊆A.
3．四种命题及其关系
四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到简洁问题正面解决困难的，接受转化为反面状况处理．
4．充分条件与必要条件
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．
5．简洁的规律联结词
(1)命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题．
(2)命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．
6．全称量词与存在量词
“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，綈p(x0)”；“∃x0∈M，p(x0)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”.
热点一 集合的关系及运算
例1 (1)(2022·四川)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝( )
A．{－1,0,1,2} B．{－2，－1,0,1}
C．{0,1} D．{－1,0}
(2)(2021·广东)设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}，令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x<y<z，y<z<x，z<x<y恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是( )
A．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉S
B．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S
C．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈S
D．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S
思维启迪 明确集合的意义，理解集合中元素的性质特征．
答案 (1)A (2)B
解析 (1)由于A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又由于集合B为整数集，所以集合A∩B＝{－1,0,1,2}，故选A.
(2)由于(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，不妨令x＝2，y＝3，z＝4，w＝1，则(y，z，w)＝(3,4,1)∈S，(x，y，w)＝(2,3,1)∈S，故(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S的说法均错误，可以排解选项A、C、D，故选B.
思维升华 (1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要留意集合中元素的三个特征的应用，要留意检验结果．
(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为生疏的学问进行求解，也可利用特殊值法进行验证．
(1)(2022·惠州调研)已知集合M＝{1,2,3}，N＝{x∈Z|1<x<4}，则( )
A．M⊆N B．N＝M
C．M∩N＝{2,3} D．M∪N＝(1,4)
(2)(2021·山东)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A．1 B．3 C．5 D．9
答案 (1)C (2)C
解析 (1)集合N是要求在(1,4)范围内取整数，所以N＝{x∈Z|1<x<4}＝{2,3}，所以M∩N＝{2,3}．
(2)x－y∈.
热点二 四种命题与充要条件
例2 (1)(2022·天津)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
(2)(2022·江西)下列叙述中正确的是( )
A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0”
B．若a，b，c∈R，则“ab2≥cb2”的充要条件是“a>c”
C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”
D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β
思维启迪 要明确四种命题的真假关系；充要条件的推断，要精确 理解充分条件、必要条件的含义．
答案 (1)C (2)D
解析 (1)当b<0时，明显有a>b⇔a|a|>b|b|；
当b＝0时，明显有a>b⇔a|a|>b|b|；
当b>0时，a>b有|a|>|b|，所以a>b⇔a|a|>b|b|.
综上可知a>b⇔a|a|>b|b|，故选C.
(2)由于“若b2－4ac≤0，则ax2＋bx＋c≥0”是假命题，所以“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件不是“b2－4ac≤0”，A错；
由于ab2>cb2，且b2>0，所以a>c.而a>c时，若b2＝0，则ab2>cb2不成立，由此知“ab2>cb2”是“a>c”的充分不必要条件，B错；“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2<0”，C错；由l⊥α，l⊥β，可得α∥β，理由：垂直于同一条直线的两个平面平行，D正确．
思维升华 (1)四种命题中，原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价；(2)充要条件的推断常用“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，推断一个命题为假可以借助反例．
(1)命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是________．
(2) “log3M>log3N”是“M>N成立”的________条件．(从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写)
答案 (1)若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数 (2)充分不必要
解析 (1)推断词“都是”的否定是“不都是”．
(2)由log3M>log3N，又由于对数函数y＝log3x在定义域(0，＋∞)单调递增，所以M>N；当M>N时，由于不知道M、N是否为正数，所以log3M、log3N不愿定有意义．故不能推出log3M>log3N，所以“log3M>log3N”是“M>N成立”的充分不必要条件．
热点三 规律联结词、量词
例3 (1)已知命题p：∃x∈R，x－2>lg x，命题q：∀x∈R，sin x<x，则( )
A．命题p∨q是假命题 B．命题p∧q是真命题
C．命题p∧(綈q)是真命题 D．命题p∨(綈q)是假命题
(2)(2021·四川)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则( )
A．綈p：∀x∈A,2x∈B B．綈p：∀x∉A,2x∉B
C．綈p：∃x∉A,2x∈B D．綈p：∃x∈A,2x∉B
思维启迪 (1)先推断命题p、q的真假，再利用真值表推断含规律联结词命题的真假；(2)含量词的命题的否定既要否定量词，还要否定推断词．
答案 (1)C (2)D
解析 (1)对于命题p，取x＝10，则有10－2>lg 10，即8>1，故命题p为真命题；对于命题q，取x＝－，则sin x＝sin(－)＝－1，此时sin x>x，故命题q为假命题，因此命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，命题p∧(綈q)是真命题，命题p∨(綈q)是真命题，故选C.
(2)命题p：∀x∈A,2x∈B是一个全称命题，其命题的否定綈p应为∃x∈A,2x∉B，选D.
思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立；(2)推断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．
(1)已知命题p：在△ABC中，“C>B”是“sin C>sin B”的充分不必要条件；命题q：“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是( )
A．p真q假 B．p假q真
C．“p∧q”为假 D．“p∧q”为真
(2)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“(綈p)∧q”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．a≤－2或a＝1 B．a≤2或1≤a≤2
C．a>1 D．－2≤a≤1
答案 (1)C (2)C
解析 (1)△ABC中，C>B⇔c>b⇔2Rsin C>2Rsin B(R为△ABC外接圆半径)，所以C>B⇔sin C>sin B.
故“C>B”是“sin C>sin B”的充要条件，命题p是假命题．
若c＝0，当a>b时，则ac2＝0＝bc2，故a>bD⇒/
ac2>bc2，若ac2>bc2，则必有c≠0，则c2>0，则有a>b，所以ac2>bc2⇒a>b，故“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，故命题q也是假命题，故选C.
(2)命题p为真时a≤1；“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”为真，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，故Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.(綈p)∧q为真命题，即綈p真且q真，即a>1.
1．解答有关集合问题，首先正确理解集合的意义，精确 地化简集合是关键；其次关注元素的互异性，空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解集、抽象集合问题，要借助数轴和Venn图加以解决．
2．推断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是依据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，依据集合之间的包含关系进行推断，在以否定形式给出的充要条件推断中可以使用命题的等价转化方法．
3．含有规律联结词的命题的真假是由其中的基本命题打算的，这类试题首先把其中的基本命题的真假推断精确 ，再依据规律联结词的含义进行推断．
4．一个命题的真假与它的否命题的真假没有必定的联系，但一个命题与这个命题的否定是相互对立的、一真一假的.
真题感悟
1．(2022·浙江)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA等于( )
A．∅ B．{2}
C．{5} D．{2,5}
答案 B
解析 由于A＝{x∈N|x≤－或x≥}，
所以∁UA＝{x∈N|2≤x<}，故∁UA＝{2}．
2．(2022·重庆)已知命题
p：对任意x∈R，总有2x>0；
q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．
则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．綈p∧綈q
C．綈p∧q D．p∧綈q
答案 D
解析 由于指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；由于当x>1时，x>2不愿定成立，反之当x>2时，确定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q、綈p为假命题，綈q为真命题，綈p∧綈q、綈p∧q为假命题，p∧綈q为真命题，故选D.
押题精练
1．已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是( )
A．(0,1] B．[1，＋∞) C．(0,1) D．(1，＋∞)
答案 B
解析 A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0,1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c)，由于A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.应选B.
2．若命题p：函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝x－的单调递增区间是[1，＋∞)，则( )
A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题
C．綈p是真命题 D．綈q是真命题
答案 D
解析 由于函数y＝x2－2x的单调递增区间是[1，＋∞)，所以p是真命题；由于函数y＝x－的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q是假命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题，綈q为真命题，故选D.
3．已知向量a，b均为单位向量，其夹角为θ，则“|a－b|>1”是“θ∈[，]”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 |a－b|>1⇒(a－b)2>1⇒a2－2a·b＋b2>1⇒a·b<⇒cos θ<⇒θ∈(，π]．从而θ∈[，]⇒|a－b|>1，反之不成立.
(推举时间：40分钟)
一、选择题
1．(2022·陕西)设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N等于( )
A．[0,1] B．[0,1)
C．(0,1] D．(0,1)
答案 B
解析 N＝{x|－1<x<1}，M∩N＝[0,1)．故选B.
2．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{5,6,7}，C＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈B}，则C中所含元素的个数为( )
A．5 B．6
C．12 D．13
答案 D
解析 若x＝5∈A，y＝1∈A，则x＋y＝5＋1＝6∈B，即点(5,1)∈C；同理，(5,2)∈C，(4,1)∈C，(4,2)∈C，(4,3)∈C，(3,2)∈C，(3,3)∈C，(3,4)∈C，(2,3)∈C，(2,4)∈C，(2,5)∈C，(1,4)∈C，(1,5)∈C.所以C中所含元素的个数为13，应选D.
3．设全集U为整数集，集合A＝{x∈N|y＝}，B＝{x∈Z|－1<x≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为( )
A．3 B．4
C．7 D．8
答案 C
解析 由于A＝{x∈N|y＝}＝{x∈N|7x－x2－6≥0}＝{x∈N|1≤x≤6}，由题意，知题图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{1,2,3}，所以其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．
4．“(m－1)(a－1)>0”是“logam>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 (m－1)(a－1)>0等价于或logam>0等价于或所以前者是后者的必要不充分条件，故选B.
5．已知命题p：∃x∈(0，)，使得cos x≤x，则该命题的否定是( )
A．∃x∈(0，)，使得cos x>x
B．∀x∈(0，)，使得cos x≥x
C．∀x∈(0，)，使得cos x>x
D．∀x∈(0，)，使得cos x≤x
答案 C
解析 原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题．而“cos x≤x”的否定是“cos x>x”，故选C.
6．在△ABC中，“A＝60°”是“cos A＝”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 在A＝60°时，有cos A＝，由于角A是△ABC的内角，所以，当cos A＝时，也只有A＝60°，因此，是充分必要条件．
7．(2021·湖北)已知全集为R，集合A＝，B＝，则A∩∁RB等于( )
A．{x|x≤0}
B．{x|2≤x≤4}
C．{x|0≤x<2或x>4}
D．{x|0<x≤2或x≥4}
答案 C
解析 ∵A＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}，
∴A∩∁RB＝{x|x≥0}∩{x|x>4或x<2}
＝{x|0≤x<2或x>4}．
8．已知集合A＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈R}，B＝{(x，y)|y＝x2＋1，x，y∈R}，则集合A∩B的元素个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 C
解析 集合A表示直线l：x＋y－1＝0上的点的集合，集合B表示抛物线C：y＝x2＋1上的点的集合．
由消去y得x2＋x＝0，
由于Δ>0，所以直线l与抛物线C有两个交点．
即A∩B有两个元素．故选C.
9．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝对称．则下列推断正确的是( )
A．p为真 B．綈q为假 C．p∧q为假 D．p∨q为真
答案 C
解析 p是假命题，q是假命题，因此只有C正确．
10．已知p：∃x∈R，mx2＋2≤0，q：∀x∈R，x2－2mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，－1]
C．(－∞，－2] D．[－1,1]
答案 A
解析 ∵p∨q为假命题，
∴p和q都是假命题．
由p：∃x∈R，mx2＋2≤0为假命题，
得綈p：∀x∈R，mx2＋2>0为真命题，∴m≥0.①
由q：∀x∈R，x2－2mx＋1>0为假命题，
得綈q：∃x∈R，x2－2mx＋1≤0为真命题，
∴Δ＝(－2m)2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1.②
由①和②得m≥1.故选A.
二、填空题
11．已知集合P＝{x|x(x－1)≥0}，Q＝{x|y＝ln(x－1)}，则P∩Q＝__________.
答案 (1，＋∞)
解析 由x(x－1)≥0可得x≤0或x≥1，则P＝(－∞，0]∪[1，＋∞)；又由x－1>0可得x>1，则Q＝(1，＋∞)，所以P∩Q＝(1，＋∞)．
12．(2022·江苏省通州高级中学期中考试)已知集合A＝{x|x>2或x<－1}，B＝{x|a≤x≤b}，若A∪B＝R，A∩B＝{x|2<x≤4}，则＝________.
答案 －4
解析 由A＝{x|x>2或x<－1}，A∪B＝R，A∩B＝{x|2<x≤4}，可得B＝{x|－1≤x≤4}，则a＝－1，b＝4，故＝－4.
13．由命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是________．
答案 1
解析 依据题意可得：∀x∈R，x2＋2x＋m>0是真命题，则Δ<0，即22－4m<0，m>1，故a＝1.
14．给出下列四个命题：
①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题；
②“∃x0∈R，使得x20－x0>0”的否定是：“∀x∈R，均有x2－x<0”；
③命题“x2＝4”是“x＝－2”的充分不必要条件；
④p：a∈{a，b，c}，q：{a}⊆{a，b，c}，p且q为真命题．
其中真命题的序号是________．(填写全部真命题的序号)
答案 ①④
解析 对①，因命题“若α＝β，则cos α＝cos β”为真命题，
所以其逆否命题亦为真命题，①正确；
对②，命题“∃x0∈R，使得x20－x0>0”的否定应是：
“∀x∈R，均有x2－x≤0”，故②错；
对③，因由“x2＝4”得x＝±2，
所以“x2＝4”是“x＝－2”的必要不充分条件，故③错；
对④，p，q均为真命题，由真值表判定p且q为真命题，故④正确．
15．已知集合M为点集，记性质P为“对∀(x，y)∈M，k∈(0,1)，均有(kx，ky)∈M”．给出下列集合：①{(x，y)|x2≥y}，②{(x，y)|2x2＋y2<1}，③{(x，y)|x2＋y2＋x＋2y＝0}，④{(x，y)|x3＋y3－x2y＝0}，其中具有性质P的点集序号是________．
答案 ②④
解析 对于①：取k＝，点(1,1)∈{(x，y)|x2≥y}，但(，)∉{(x，y)|x2≥y}，故①是不具有性质P的点集．
对于②：∀(x，y)∈{(x，y)|2x2＋y2<1}，则点(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1内部，所以对0<k<1，点(kx，ky)也在椭圆2x2＋y2＝1的内部，即(kx，ky)∈{(x，y)|2x2＋y2<1}，故②是具有性质P的点集．
对于③：(x＋)2＋(y＋1)2＝，点(，－)在此圆上，但点(，－)不在此圆上，故③是不具有性质P的点集．
对于④：∀(x，y)∈{(x，y)|x3＋y3－x2y＝0}，对于k∈(0,1)，由于(kx)3＋(ky)3－(kx)2·(ky)＝0⇒x3＋y3－x2y＝0，所以(kx，ky)∈{(x，y)|x3＋y3－x2y＝0}，故④是具有性质P的点集．综上，具有性质P的点集是②④.
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