2022年线性代数试卷及答案6套.doc

线性代数试卷及答案6套试卷(一):一 填空题（每小题4分，共20分）1 已知正交矩阵使得，则2 设为阶方阵，为的个特征值，则 3 设是矩阵，是维列向量，则方程组有无数多个解的充分必要条件是： 4 若向量组的秩为2,则5 则的全部根为:_.二 选择题 （每小题4分，共20分） 1.行列式的值为( ). A. 1 B. -1 C. D. 2. 对矩阵施行一次行变换相当于( ). A. 左乘一个阶初等矩阵 B. 右乘一个阶初等矩阵 C. 左乘一个阶初等矩阵 D. 右乘一个阶初等矩阵3. 若为矩阵, 则( ). A. 是维向量空间 B. 是维向量空间 C. 是维向量空间 D. 是维向量空间4. 若阶方阵满足, 则下列命题哪一个成立 ( ). A. B. C. D. 5. 若是阶正交矩阵,则下列命题哪一个不成立( ). A. 矩阵为正交矩阵 B. 矩阵为正交矩阵 C. 矩阵的行列式是 D. 矩阵的特征值是三. 解下列各题（每小题6分,共30分） 1. 若为3阶正交矩阵, 为的伴随矩阵, 求 2. 计算行列式 3. 设求矩阵 4. 求向量组的一个 最大无关组. 5. 求向量在基下的坐标. 四. (12分) 求方程组 的通解(用基础解系与特解表示).五.(12分) 用正交变换化下列二次型为标准型, 并写出正交变换矩阵 六. 证明题(6分)设是线性方程组对应的齐次线性方程组的一个基础解系,是线性方程组的一个解, 求证线性无关.试卷（二）：一计算下列各题：（每小题6分，共30分） （1）（2）求其中（3）已知向量组线性相关,求 (4) 求向量在基下的坐标. (5) 设, 求的特征值.二.(8分) 设,且求矩阵B.三. (8分) 计算行列式: 四. (8分) 设有向量组 求该向量组的秩以及它的一个最大线性无关组.五. (8分) 求下列方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系. 六. (8分) 求出把二次型化为标准形的正交变换,并求出使为正定时参数的取值范围.七. (10分) 设三阶实对称矩阵的特征值为3(二重根)、4(一重根),是的属于特征值4的一个特征向量,求八. (10分) 当为何值时,方程组 有惟一解、无穷多解、无解?九(10分) (每小题5分,共10分) 证明下列各题(1) 设是可逆矩阵, 证明也可逆, 且(2) 设是非零向量,证明是矩阵的特征向量.试卷(三):一. 填空题（共20分）1. 设A是矩阵， 是 维列向量，则方程组有唯一解的充分必要条件是：2. 已知为单位矩阵, 若可逆矩阵使得 则当可逆时, 3. 若t为实数, 则向量组=（0，4，t），=（2，3，1），=（t，2，3+t）的秩为:4. 若A为2009阶正交矩阵，为A的伴随矩阵， 则=5. 设A为n阶方阵，是的个特征根，则 = 二. 选择题（共20分）1. 如果将单位矩阵的第i行乘k加到第j行得到的矩阵为将矩阵的第i列乘k加到第j列相当于把A：A, 左乘一个 B，右乘一个 C 左乘一个 D，右乘一个2. 若A为mn 矩阵，是维非零列向量，。集合, 则A， 是维向量空间， B， 是n-r维向量空间C, 是m-r维向量空间， D， A，B，C都不对B， 若n阶方阵A满足 ，则以下命题哪一个成立 A， ， B， C. ， D， C， 若A是2n阶正交矩阵，则以下命题哪一个一定成立：A，矩阵为正交矩阵， B，矩阵 2为正交矩阵 C, 矩阵为正交矩阵， D，矩阵 为正交矩阵D， 如果n阶行列式的值为-1,那么n的值可能为：A, 2007， B，2008C, 2009, D，2000 三. 判断题 (每小题4分, 共12分)(1) 对线性方程组的增广矩阵做初等变换,对应的线性方程组的解不变. ( )(2) 实对称矩阵的特征值为实数. ( )(3) 如果矩阵的行列式为零, 那么这个矩阵或者有一行(列)的元素全为零, 或者有两行(列)的元素对应成比例. ( )四. 解下列各题（每小题8分, 共16分）1求向量，在基下的坐标.2设计算五.(10分) 求矩阵列向量组生成的子空间的一个标准正交基.六. 证明题（6分）设是m行n列矩阵, 如果线性方程组对于任意m维向量都有解，证明的秩等于m.七、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵.八、（6分）设矩阵，都是正定矩阵，证明矩阵也是正定矩阵.试卷(四):一. 填空题（每小题4分，共20分）1.设是矩阵,那么的秩不超过的充分必要条件是 _.2.已知为单位矩阵，若,则当可逆时,3. 若向量组的秩为2时, .4. 若为2009阶正交矩阵, 为的伴随矩阵,则5. 设为阶方阵,是的个特征值,则_.二. 选择题 （每小题4分，共20分）1. 如果将单位矩阵的第i行乘k加到第j行得到的矩阵为那么的逆矩阵是：A, B， C D，2. 若A为mn 矩阵，,令集合, 则A, 是空集; B， 只含一个元素;C, 含有两个以上元素 D， A，B，C都不对3. 若n阶方阵A满足 ，则以下命题哪一个成立 A， ， B， C. ， D， 4. 若A,B都是n阶对称矩阵，则以下命题哪一个不一定成立：A，矩阵为对称矩阵， B，矩阵为对称矩阵 C, 矩阵为对称矩阵， D，矩阵为对称矩阵5. 如果n(n1)阶行列式的第i行第j列元素的代数余子式的值为-1,那么i+j-n的值：A, 为0， B，为1C, 为2, D，无法确定. 三. 判断题 (每小题4分, 共12分)(1) 对一个线性方程组做初等变换,线性方程组的解不变. ( )(2) 正交矩阵的特征值是实数. ( )(3)一个可逆矩阵A与它的转置矩阵的乘积是正定的. ( )四. 解下列各题（每小题8分, 共16分）1求单位向量，它在基下的坐标向量也是.2设n阶方阵计算五.(10分) 求矩阵的逆矩阵.六. 证明题（6分）设是m行n列矩阵,证明七、（6分）证明任何一个方阵都可以表为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.八、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出该正交变换所对应的正交变换矩阵试卷(五):一 填空题（每小题4分，共20分）1.设是矩阵,那么可逆的条件是 _.2.矩阵是二次型的矩阵的条件是 _.3.设则 .4若为2010阶正交矩阵, 则5将单位矩阵的第i行乘k加到第j行得到的矩阵记为设是的个特征值， 则= .二. 选择题 （每小题4分，共20分）1. 如果将单位矩阵的第i行乘k得到的矩阵设为那么的逆矩阵是：A, B， C, D，2. 若A为mn 矩阵，令集合, 则A, 是空集; B， 只含一个元素;C, 含有两个以上元素 D， 是非空集合.3. 若n阶方阵满足 ，则以下命题哪一个成立 A， ， B， 是可逆矩阵C. ， D， 4. 若A是n阶矩阵，则以下命题哪一个不成立：A，矩阵为对称矩阵， B，矩阵为对称矩阵， C, 矩阵为对称矩阵， D，矩阵为对称矩阵5. 如果n(n1)阶矩阵的行向量线性无关，那么：A, 的行列式为0， B，的列向量线性无关C, 的秩为0, D，以为系数矩阵的线性方程组有非零解. 三. 判断题 (每小题4分, 共12分)(1) 已知是阶矩阵，如果，那么. ( )(2) 如果一个向量组线性无关，那么它的任意一部分向量也线性无关. ( )(3) 如果一个矩阵A是正定的, 那么它的行列式大于0. ( )四. 解下列各题（每小题8分, 共16分）1求所有向量，它与是正交的.2设n阶方阵计算.五.(10分) 求矩阵的伴随矩阵.六. 证明题（6分） 设是n阶方阵,如果可逆,证明与相似.七、（6分）证明任何一个秩为2的正惯性指数为1的二次型都可以表为两个一次多项式的乘积.八、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出该正交变换所对应的正交变换矩阵试卷(六):一.填空题（每小题4分，共20分）1.设是矩阵,如果对于任意的维列向量,线性方程组总有解,那么的秩与的关系一定是 _.2.如果矩阵是阶实对称矩阵,那么它的特征根一定为_.3.设则 .4若为2011阶正交矩阵, 则它的伴随矩阵是_.5将单位矩阵的第i行乘k加到第j行得到的矩阵记为这个矩阵的逆矩阵是= .二. 选择题 （每小题4分，共20分）1. 如果将单位矩阵的第i行乘k得到的矩阵设为那么是正定矩阵的充要条件是：A, B， C, D，2. 若A为mn 矩阵，且可逆, 则A, ; B， ;C, 也可逆 D， 以上都不对.3. 若A为n 阶可逆矩阵，则以下命题哪一个成立 A， ， B， C. ， D， 4. 若A是n阶矩阵，则以下哪一个是反对称矩阵：A， B， C, ， D，5. 如果以为系数矩阵的线性方程组有非零解,那么：A, 的行列式为0， B，的列向量线性无关C, 的行向量线性无关, D，以上都不对. 三. 判断题 (每小题4分, 共12分)(1) 已知是阶矩阵，如果相似，那么它们的特征值相同. ( )(2) 如果一个矩阵的行向量组是维空间的 一组基, 那么它们的列向量组也是维空间的一组基. ( )(3) 如果一个对称矩阵A是正定的, 那么它的所有的子式大于0. ( )四. 解下列各题（每小题8分, 共16分）1求的行向量组到列向量组的过渡矩阵.2设是阶反对称矩阵,当时,计算.五.(10分) 求常数使得矩阵的秩是2.六. 证明题（6分） 设是n阶可逆实数矩阵,证明的特征值大于0.七、（6分）证明对于任何一个n阶矩阵，总存在正整数,使得可逆.八、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出该正交变换所对应的正交变换矩阵试卷(一)解答:一. 1. 2. 3. 4. 5. 1,2,-3.二. 1. D 2. A 3. D 4. D 5. D三. 1. 2. .3. 由有 .4. 而向量组: 线性无关,可得 故 ，为一个最大线性无关组.5.令 ，则有： 解得： 的坐标为四 解： 原方程组同解下面的方程组： 即： 令,求解得：（1，1，0，0，0）=。齐次方程组基础解系为：。五解： 当时，由，求得基础解系：当时，由，求得基础解系： 当时，由，求得基础解系：单位化：令，则若则六. 证明: 设则: 于是 即 但 因此 从而有 又 线性无关, 因此 于是 故有 线性无关.试卷(二)部分解答:一（3）已知向量组线性相关,求 解: 线性相关可求出 二.(8分) 设,且求矩阵B. 解: ,可逆,且,于是 五. (8分) 求下列方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系. (与76页例4.17类似作)六. (8分) 求出把二次型化为标准形的正交变换,并求出使为正定时参数的取值范围. 解: 二次型的矩阵为 由 得特征值对 可得的一个基础解系为: 正交化: 取 对 可得的一个基础解系为: 将分别单位化,得: 取正交变换 ,则此正交变换将二次型化为标准形: 正定七. (10分) 设三阶实对称矩阵的特征值为3(二重根)、4(一重根),是的属于特征值4的一个特征向量,求解: 设的属于特征值3的特征向量为,由于实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交, 则有 即: 此方程的一个基础解系为: 则为的属于特征值3的两个线性无关的特征向量,于是: =八. (10分) 当为何值时,方程组 有惟一解、无穷多解、无解? 解: 记, 系数行列式 (1). 当 时, 由克莱姆法则知方程组有惟一解. (2). 当 时, 于是 方程组无解. (3). 当 时, (i) 当时, 方程组有无穷多解. (ii) 当时, 方程组无解.九(10分) (每小题5分,共10分) 证明下列各题(1) 设是可逆矩阵, 证明也可逆, 且(2) 设是非零向量,证明是矩阵的特征向量.证明: (1) 由于, 则存在可逆矩阵 使得 于是由可逆知也可逆,且 (2) 设 记 由 知为的属于的特征向量.试卷(三):三. 填空题（共20分）6. 设A是矩阵， 是 维列向量，则方程组有唯一解的充分必要条件是：rank(A)=rank(A B)=n.7. 已知为单位矩阵, 若可逆矩阵使得 则当可逆时, -27E. (利用)8. 若t为实数, 则向量组=（0，4，t），=（2，3，1），=（t，2，3+t）的秩为: 39. 若A为2009阶正交矩阵，为A的伴随矩阵， 则=110. 设A为n阶方阵，是的个特征根，则 = 0四. 选择题（共20分）6. 如果将单位矩阵的第i行乘k加到第j行得到的矩阵为将矩阵的第i列乘k加到第j列相当于把A：(B)A, 左乘一个 B，右乘一个 C 左乘一个 D，右乘一个7. 若A为mn 矩阵，是维非零列向量，。集合, 则 (D)A， 是维向量空间， B， 是n-r维向量空间A， 是m-r维向量空间， D， A，B，C都不对8. 若n阶方阵A满足 ，则以下命题哪一个成立 (B) A， ， B， C. ， D， 9. 若A是2n阶正交矩阵，则以下命题哪一个一定成立：(A)A，矩阵为正交矩阵， B，矩阵 2为正交矩阵 C, 矩阵为正交矩阵， D，矩阵 为正交矩阵10. 如果n阶行列式的值为-1,那么n的值可能为：(C)A, 2007， B，2008C, 2009, D，2000 三. 判断题 (每小题4分, 共12分)(1) 对线性方程组的增广矩阵做初等变换,对应的线性方程组的解不变. ( 错 )(2) 实对称矩阵的特征值为实数. ( 对 )(3) 如果矩阵的行列式为零, 那么这个矩阵或者有一行(列)的元素全为零, 或者有两行(列)的元素对应成比例. ( 错 )四. 解下列各题（每小题8分, 共16分）1求向量，在基下的坐标.（坐标为: ）2设计算.解: 五.(10分) 求矩阵列向量组生成的子空间的一个标准正交基.解: 先求矩阵列向量组生成的子空间的一个基.由于可知的前三列线性无关,为子空间的一个基.记将其正交化.令再单位化,令则 为所求标准正交基.六. 证明题（6分）设是m行n列矩阵, 如果线性方程组对于任意m维向量都有解，证明的秩等于m.证明: 设, 则 为m维向量组. 由于线性方程组对于任意m维向量都有解, 现分别取等于m维基本单位向量: , 可知向量组可由向量组线性表示, 又向量组可由向量组线性表示, 于是向量组与向量组等价, 故 七、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵.解: 设 对特征值由，求得基础解系：对特征值，由，求得基础解系： 对特征值，由，求得基础解系： 已两两正交, 再单位化：令，则为正交阵, 且.正交变换为将二次型化为标准形: 八、（6分）设矩阵，都是正定矩阵，证明矩阵也是正定矩阵. 证明: 由于矩阵，都是正定矩阵,则对于任一有从而 故是正定矩阵.试卷(四):三. 填空题（每小题4分，共20分）1.设是矩阵,那么的秩不超过的充分必要条件是:的阶子式全为0.2.已知为单位矩阵，若,则当可逆时,3.若向量组的秩为2时,0或4. 若为2009阶正交矩阵, 为的伴随矩阵,则5. 设为阶方阵,是的个特征值,则0.四. 选择题 （每小题4分，共20分）6. 如果将单位矩阵的第i行乘k加到第j行得到的矩阵为那么的逆矩阵是：(D).A, B， a) D，7. 若A为mn 矩阵，,令集合, 则(B) A, 是空集; B， 只含一个元素;C, 含有两个以上元素 D， A，B，C都不对8. 若n阶方阵A满足 ，则以下命题哪一个成立(B) A， ， B， C. ， D， 9. 若A,B都是n阶对称矩阵，则以下命题哪一个不一定成立：(B)A，矩阵为对称矩阵， B，矩阵为对称矩阵 C, 矩阵为对称矩阵， D，矩阵为对称矩阵10. 如果n(n1)阶行列式的第i行第j列元素的代数余子式的值为-1,那么i+j-n的值：(B) (因(i,j)元素必在次对角线上)A, 为0， B，为1C, 为2, D，无法确定. 三. 判断题 (每小题4分, 共12分)(1) 对一个线性方程组做初等变换,线性方程组的解不变. ( 对 )(2) 正交矩阵的特征值是实数. ( 错 )(3)一个可逆矩阵A与它的转置矩阵的乘积是正定的. ( 对 )四. 解下列各题（每小题8分, 共16分）1求单位向量，它在基下的坐标向量也是.解: 设,由题意, 即于是有解得 又由为单位向量知 因此 故所求向量 或2设n阶方阵计算解: (将第2至n行加到第一行) 五.(10分) 求矩阵的逆矩阵.解: 于是六. 证明题（6分）设是m行n列矩阵,证明证明: 设 则设是A的一个最大线性无关组，是B的一个最大线性无关组,则，由于可由线性表示，可由线性表示，可由，线性表示，从而即七、（6分）证明任何一个方阵都可以表为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.证明: 设为任一方阵, 记 由于 则为对称矩阵, 为反对称矩阵, 而 故得证. 八、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出该正交变换所对应的正交变换矩阵解答见课件.试卷(五):一. 填空题（每小题4分，共20分）1.设是矩阵,那么可逆的条件是: 2.矩阵是二次型的矩阵的条件是: .3.设则.4若为2010阶正交矩阵, 则5将单位矩阵的第i行乘k加到第j行得到的矩阵记为设是的个特征值， 则= 1 .二. 选择题 （每小题4分，共20分）6. 如果将单位矩阵的第i行乘k得到的矩阵设为那么的逆矩阵是：A.A, B， C, D，7. 若A为mn 矩阵，令集合, 则D.A, 是空集; B， 只含一个元素;C, 含有两个以上元素 D， 是非空集合.8. 若n阶方阵满足 ，则以下命题哪一个成立B. A， ， B， 是可逆矩阵C. ， D， 9. 若A是n阶矩阵，则以下命题哪一个不成立：B.A，矩阵为对称矩阵， B，矩阵为对称矩阵， C, 矩阵为对称矩阵， D，矩阵为对称矩阵10. 如果n(n1)阶矩阵的行向量线性无关，那么：B.A, 的行列式为0， B，的列向量线性无关C, 的秩为0, D，以为系数矩阵的线性方程组有非零解. 三. 判断题 (每小题4分, 共12分)(1) 已知是阶矩阵，如果，那么. ( 错 )(2) 如果一个向量组线性无关，那么它的任意一部分向量也线性无关. ( 对 )(3) 如果一个矩阵A是正定的, 那么它的行列式大于0. ( 对 )四. 解下列各题（每小题8分, 共16分）1求所有向量，它与是正交的.解: 设,由题意知 即解得 故所求向量 ,为任意常数.2设n阶方阵计算.解: (将第2至n行加到第一行) 五.(10分) 求矩阵的伴随矩阵.解:先求 的逆矩阵.由于 ,于是, 所求伴随矩阵六. 证明题（6分） 设是n阶方阵,如果可逆,证明与相似.证明: 由于可逆, 利用可知与相似. 七、（6分）证明任何一个秩为2的正惯性指数为1的二次型都可以表为两个一次多项式的乘积.证明: 设此二次型为:, 其中,由于它的秩为2,且正惯性指数为1,由惯性定理,可作一可逆变换: 将其化为规范形 由可设 则有 于是为两个一次多项式的乘积.八、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出该正交变换所对应的正交变换矩阵解: 设 对特征值由，求得基础解系： 将其正交化:对特征值，由，求得基础解系： 再单位化：令，则为正交阵, 且.正交变换为将二次型化为标准形: 试卷(六):一. 填空题1. 2. 实数.3. 5.45.二. 选择题1. A 2. B 3. B 4. C 5. D三. 判断题 (1) 正确 (2) 正确 （3) 错误 四. 解下列各题（每小题8分, 共16分）1解: 行向量组为：,列向量组为：.设过渡矩阵为 则于是2解: 由A为反对称矩阵，知 于是于是 五.解:对 进行行初等变换要的秩为2，必有 的秩为1，于是的任何两行成比例，即：故 六. 证明: 对任何由于可逆，当时于是 故为正定二次型，因此 为正定矩阵，从而的特征值大于0. 七、证明: 令 设的根中模的最大者为，取正整数 则 于是可逆.八、解: 设 对特征值由，求得基础解系： 对特征值由，求得基础解系： 将其正交化: 再单位化：令，则为正交矩阵, 且.正交变换为将二次型化为标准形: