2022年线性代数期末考试试卷2套及答案.doc

姓名 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线_ _ 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！ 期末考试 线性代数 试卷A一、 填空题（每小题4分，共20分）。0 已知正交矩阵P使得，则1 设A为n阶方阵，是的个特征根，则det( )= 2 设A是矩阵， 是 维列向量，则方程组有无数多个解的充分必要条件是：3 若向量组=（0，4，2），=（2，3，1），=（t，2，3）的秩为2，则t=4 ，则的全部根为：二、 选择题（每小题4分，共20分）1 行列式的值为（ ）。A， 1， B，-1C， D，2 对矩阵施行一次行变换相当于（ ）。A， 左乘一个m阶初等矩阵， B，右乘一个m阶初等矩阵 C， 左乘一个n阶初等矩阵， D，右乘一个n阶初等矩阵 3 若A为mn 矩阵，。则（ ）。A， 是维向量空间， B， 是维向量空间C，是m-r维向量空间， D，是n-r维向量空间4 若n阶方阵A满足， =0，则以下命题哪一个成立（ ）。A， ， B， C， ， D，5 若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（ ）。A，矩阵AT为正交矩阵， B，矩阵为正交矩阵C，矩阵A的行列式是1， D，矩阵A的特征根是1三、 解下列各题（每小题6分，共30分）1若A为3阶正交矩阵，为A的伴随矩阵， 求det ()2计算行列式。3设，求矩阵B。4、求向量组的一个最大无关组。5、 求向量=（1，2，1）在基下的坐标。四、（12分）求方程组 的通解（用基础解系与特解表示）。五、（12分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵 六、证明题（6分）设，是线性方程组对应的齐次线性方程组一个基础解系， 是线性方程组的一个解，求证线性无关。年线性代数A参考答案一 填空题(1) 2 0 -2(2) 12n2(3) r(A)=r(A,B) n(4) t=-8(5) 1,2,-3二 选择题(1) D (2) A (3) D (4) D (5) D三 解答题 (1) AA* =|A|E, |A|A*|=|A3| |A*|=|A|2=|AA|=|AA-1|=1 (2) (3)由AB=A-B，有，（4） 而 故，为一个极大无关组（5）令=（1，2，1）=x+y+z，则有： 解得： 的坐标为四 解： 原方程组同解下面的方程组： 即： 令,求解得：（1，1，0，0，0）=。齐次方程组基础解系为：。五解： 当时，由，求得基础解系：当时，由，求得基础解系： 当时，由，求得基础解系：单位化：令，则若则。六，证明 证：设， 则，于是：,即：但，故 =0。从而 =0。但线形无关，因此全为0，于是b=0,由此知：线形无关。姓名 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线_ _ 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！ 期末考试 线性代数 试卷B一、 填空题（每小题4分，共20分）。1 已知正交矩阵P使得，则2设A为n阶方阵，是的个特征根，则det( )= 3设A是矩阵，则方程组对于任意的 维列向量都有无数多个解的充分必要条件是：4 若向量组=（0，4，2），=（2，3，1），=（t，2，3）的秩不为3，则t=5，则的全部根为：二、选择题（每小题4分，共20分）1n阶行列式的值为（ ）。B， ， B，C， D，2对矩阵施行一次列变换相当于（ ）。B， 左乘一个m阶初等矩阵， B，右乘一个m阶初等矩阵 C， 左乘一个n阶初等矩阵， D，右乘一个n阶初等矩阵 3若A为mn 矩阵，。则（ ）。A， 是维向量空间， B， 是维向量空间C，是m-r维向量空间， D，是n-r维向量空间4若n阶方阵A满足， =E，则以下命题哪一个成立（ ）。A， ， B， C， ， D，5若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（ ）。A，矩阵-AT为正交矩阵， B，矩阵-为正交矩阵C，矩阵A的行列式是实数， D，矩阵A的特征根是实数三、解下列各题（每小题6分，共30分）1若A为3阶正交矩阵， 求det (E-)2计算行列式。3设，求矩阵A-B。4、求向量组的的秩。6、 向量在基下的坐标（4，2，-2），求在下的坐标。四、（12分）求方程组 的通解（用基础解系与特解表示）。五、（12分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵 六、证明题（6分）设，是线性方程组对应的齐次线性方程组一个基础解系， 是线性方程组的一个解，求证对于任意的常数a，线性无关。年线性代数B参考答案二 填空题（1） 2 -2 -5*22005(0) 1n(1) m=r(A)=r(A,B) n(2) t=-8(3) 1,2,-3二 选择题(1) D (2) D (3) D (4) A (5) D三 解答题 (1) 3阶的正交矩阵必有一个实特征根，这个特征根为1或者-1， 所以det (E-)= det （E-A） det （E+A） =0（2） (3)由AB=A-B，有，（4） 而 故秩为3。（5）令=+2+=x（+）+y（+）+z（+），则有： 解得： 所求的的坐标为四 解： 原方程组同解下面的方程组： 即： 令,求解得：（1，1，0，0，0）=。齐次方程组基础解系为：。五解： 当时，由，求得基础解系：当时，由，求得基础解系： 当时，由，求得基础解系：单位化：令，则若则。六，证明 证：设， 则，于是：,即：但，故 =0。从而 =0。但线形无关，因此全为0，于是b=0,由此知：线形无关。 13 / 13