2022年线性代数期末考试试卷2套及答案.doc

姓名 学号 学院 专业 座位号
( 密 封 线 内 不 答 题 )
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期末考试
《 线性代数 》试卷A
一、 填空题（每小题4分，共20分）。
0． 已知正交矩阵P使得，则
1． 设A为n阶方阵，是的个特征根，则det( )=

2． 设A是矩阵， 是 维列向量，则方程组有无数多个解的充分必要条件是：

3． 若向量组α=（0，4，2），β=（2，3，1），γ=（t，2，3）的秩为2，则t=

4． ，则的全部根为：

二、 选择题（每小题4分，共20分）
1． 行列式的值为（ ）。
A， 1， B，-1
C， D，
2． 对矩阵施行一次行变换相当于（ ）。
A， 左乘一个m阶初等矩阵， B，右乘一个m阶初等矩阵
C， 左乘一个n阶初等矩阵， D，右乘一个n阶初等矩阵
3． 若A为m×n 矩阵，，。则（ ）。
A， 是维向量空间， B， 是维向量空间
C，是m-r维向量空间， D，是n-r维向量空间
4． 若n阶方阵A满足， =0，则以下命题哪一个成立（ ）。
A， ， B，
C， ， D，
5． 若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（ ）。
A，矩阵AT为正交矩阵， B，矩阵为正交矩阵
C，矩阵A的行列式是1， D，矩阵A的特征根是1

三、 解下列各题（每小题6分，共30分）
1．若A为3阶正交矩阵，为A的伴随矩阵， 求det ()

2．计算行列式。

3．设，求矩阵B。

4、求向量组的一个最大无关组。

5、 求向量=（1，2，1）在基下的坐标。

四、（12分）求方程组
的通解（用基础解系与特解表示）。

五、（12分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵

六、证明题（6分）
设，是线性方程组对应的齐次线性方程组一个基础解系， 是线性方程组的一个解，求证线性无关。

《年线性代数A》参考答案

一 填空题
(1) 2
0
-2

(2) λ12···λn2
(3) r(A)=r(A,B)< n
(4) t=-8
(5) 1,2,-3
二 选择题
(1) D (2) A (3) D (4) D (5) D

三 解答题
(1) A·A* =|A|·E, |A|·|A*|=|A3|
|A*|=|A|2=|A·A’|=|A·A-1|=1

(2)

(3)由AB=A-B，有，

（4）
而

故{，，}为一个极大无关组

（5）
令ω=（1，2，1）=xα+yβ+zγ，
则有：
解得：
ω的坐标为

四
解：
原方程组同解下面的方程组：

即：

令,求解得：（1，1，0，0，0）=η。
齐次方程组基础解系为：
。
五．解：

当时，由，求得基础解系：
当时，由，求得基础解系：
当时，由，求得基础解系：

单位化：
令，则

若则。

六，证明
证：设，
则，
于是：,
即：
但，故 =0。
从而 =0。
但线形无关，因此全为0，于是b=0,由此知：
线形无关。

姓名 学号 学院 专业 座位号
( 密 封 线 内 不 答 题 )
……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线………………………………………

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诚信应考,考试作弊将带来严重后果！
期末考试
《 线性代数 》试卷B
一、 填空题（每小题4分，共20分）。
1． 已知正交矩阵P使得，则
2．设A为n阶方阵，是的个特征根，则det( )=

3．设A是矩阵，则方程组对于任意的 维列向量都有无数多个解的充分必要条件是：

4． 若向量组α=（0，4，2），β=（2，3，1），γ=（t，2，3）的秩不为3，则t=

5．，则的全部根为：

二、选择题（每小题4分，共20分）
1．n阶行列式的值为（ ）。
B， ， B，
C， D，
2．对矩阵施行一次列变换相当于（ ）。
B， 左乘一个m阶初等矩阵， B，右乘一个m阶初等矩阵
C， 左乘一个n阶初等矩阵， D，右乘一个n阶初等矩阵
3．若A为m×n 矩阵，，。则（ ）。
A， 是维向量空间， B， 是维向量空间
C，是m-r维向量空间， D，是n-r维向量空间
4．若n阶方阵A满足， =E，则以下命题哪一个成立（ ）。
A， ， B，
C， ， D，
5．若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（ ）。
A，矩阵-AT为正交矩阵， B，矩阵-为正交矩阵
C，矩阵A的行列式是实数， D，矩阵A的特征根是实数

三、解下列各题（每小题6分，共30分）
1．若A为3阶正交矩阵， 求det (E-)

2．计算行列式。

3．设，求矩阵A-B。

4、求向量组的的秩。

6、 向量在基下的坐标（4，2，-2），求在下的坐标。

四、（12分）求方程组
的通解（用基础解系与特解表示）。

五、（12分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵

六、证明题（6分）
设，是线性方程组对应的齐次线性方程组一个基础解系， 是线性方程组的一个解，求证对于任意的常数a，线性无关。

《年线性代数B》参考答案

二 填空题
（1） 2
-2
-5*22005

(0) λ1···λn
(1) m=r(A)=r(A,B)< n
(2) t=-8
(3) 1,2,-3
二 选择题
(1) D (2) D (3) D (4) A (5) D

三 解答题
(1) 3阶的正交矩阵必有一个实特征根，这个特征根为1或者-1， 所以
det (E-)= det （E-A）· det （E+A） =0

（2）

(3)由AB=A-B，有，

（4）
而

故秩为3。

（5）
令ω=α+2β+γ=x（α+β）+y（β+γ）+z（γ+α），
则有：
解得：
所求的ω的坐标为

四
解：
原方程组同解下面的方程组：

即：

令,求解得：（1，1，0，0，0）=η。
齐次方程组基础解系为：
。
五．解：

当时，由，求得基础解系：
当时，由，求得基础解系：
当时，由，求得基础解系：

单位化：
令，则

若则。

六，证明
证：设，
则，
于是：,
即：
但，故 =0。
从而 =0。
但线形无关，因此全为0，于是b=0,由此知：
线形无关。
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