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2022年线性代数期末考试试卷2套及答案.doc

1、姓名 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线_ _ 诚信应考,考试作弊将带来严重后果! 期末考试 线性代数 试卷A一、 填空题(每小题4分,共20分)。0 已知正交矩阵P使得,则1 设A为n阶方阵,是的个特征根,则det( )= 2 设A是矩阵, 是 维列向量,则方程组有无数多个解的充分必要条件是:3 若向量组=(0,4,2),=(2,3,1),=(t,2,3)的秩为2,则t=4 ,则的全部根为:二、 选择题(每小题4分,共20分)1 行列式的值为( )。A, 1, B,-1C, D,2 对矩阵施行一次行变换相当于( )。A, 左乘一个m阶初等矩阵, B,右乘一个

2、m阶初等矩阵 C, 左乘一个n阶初等矩阵, D,右乘一个n阶初等矩阵 3 若A为mn 矩阵,。则( )。A, 是维向量空间, B, 是维向量空间C,是m-r维向量空间, D,是n-r维向量空间4 若n阶方阵A满足, =0,则以下命题哪一个成立( )。A, , B, C, , D,5 若A是n阶正交矩阵,则以下命题那一个不成立( )。A,矩阵AT为正交矩阵, B,矩阵为正交矩阵C,矩阵A的行列式是1, D,矩阵A的特征根是1三、 解下列各题(每小题6分,共30分)1若A为3阶正交矩阵,为A的伴随矩阵, 求det ()2计算行列式。3设,求矩阵B。4、求向量组的一个最大无关组。5、 求向量=(1,

3、2,1)在基下的坐标。四、(12分)求方程组 的通解(用基础解系与特解表示)。五、(12分)用正交变换化下列二次型为标准型,并写出正交变换矩阵 六、证明题(6分)设,是线性方程组对应的齐次线性方程组一个基础解系, 是线性方程组的一个解,求证线性无关。年线性代数A参考答案一 填空题(1) 2 0 -2(2) 12n2(3) r(A)=r(A,B) n(4) t=-8(5) 1,2,-3二 选择题(1) D (2) A (3) D (4) D (5) D三 解答题 (1) AA* =|A|E, |A|A*|=|A3| |A*|=|A|2=|AA|=|AA-1|=1 (2) (3)由AB=A-B,有

4、,(4) 而 故,为一个极大无关组(5)令=(1,2,1)=x+y+z,则有: 解得: 的坐标为四 解: 原方程组同解下面的方程组: 即: 令,求解得:(1,1,0,0,0)=。齐次方程组基础解系为:。五解: 当时,由,求得基础解系:当时,由,求得基础解系: 当时,由,求得基础解系:单位化:令,则若则。六,证明 证:设, 则,于是:,即:但,故 =0。从而 =0。但线形无关,因此全为0,于是b=0,由此知:线形无关。姓名 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线_ _ 诚信应考,考试作弊将带来严重后果! 期末考试 线性代数 试卷B一、 填空题(每小题4分,共20分)

5、。1 已知正交矩阵P使得,则2设A为n阶方阵,是的个特征根,则det( )= 3设A是矩阵,则方程组对于任意的 维列向量都有无数多个解的充分必要条件是:4 若向量组=(0,4,2),=(2,3,1),=(t,2,3)的秩不为3,则t=5,则的全部根为:二、选择题(每小题4分,共20分)1n阶行列式的值为( )。B, , B,C, D,2对矩阵施行一次列变换相当于( )。B, 左乘一个m阶初等矩阵, B,右乘一个m阶初等矩阵 C, 左乘一个n阶初等矩阵, D,右乘一个n阶初等矩阵 3若A为mn 矩阵,。则( )。A, 是维向量空间, B, 是维向量空间C,是m-r维向量空间, D,是n-r维向量

6、空间4若n阶方阵A满足, =E,则以下命题哪一个成立( )。A, , B, C, , D,5若A是n阶正交矩阵,则以下命题那一个不成立( )。A,矩阵-AT为正交矩阵, B,矩阵-为正交矩阵C,矩阵A的行列式是实数, D,矩阵A的特征根是实数三、解下列各题(每小题6分,共30分)1若A为3阶正交矩阵, 求det (E-)2计算行列式。3设,求矩阵A-B。4、求向量组的的秩。6、 向量在基下的坐标(4,2,-2),求在下的坐标。四、(12分)求方程组 的通解(用基础解系与特解表示)。五、(12分)用正交变换化下列二次型为标准型,并写出正交变换矩阵 六、证明题(6分)设,是线性方程组对应的齐次线性

7、方程组一个基础解系, 是线性方程组的一个解,求证对于任意的常数a,线性无关。年线性代数B参考答案二 填空题(1) 2 -2 -5*22005(0) 1n(1) m=r(A)=r(A,B) n(2) t=-8(3) 1,2,-3二 选择题(1) D (2) D (3) D (4) A (5) D三 解答题 (1) 3阶的正交矩阵必有一个实特征根,这个特征根为1或者-1, 所以det (E-)= det (E-A) det (E+A) =0(2) (3)由AB=A-B,有,(4) 而 故秩为3。(5)令=+2+=x(+)+y(+)+z(+),则有: 解得: 所求的的坐标为四 解: 原方程组同解下面的方程组: 即: 令,求解得:(1,1,0,0,0)=。齐次方程组基础解系为:。五解: 当时,由,求得基础解系:当时,由,求得基础解系: 当时,由,求得基础解系:单位化:令,则若则。六,证明 证:设, 则,于是:,即:但,故 =0。从而 =0。但线形无关,因此全为0,于是b=0,由此知:线形无关。 13 / 13

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