《-线性代数-》期末考试卷及答案3套.doc

线性代数 期末考试卷及答案3套一、填空题（每小题4分，共24分）1设四阶方阵，其中均为四维列向量，且，则 2n阶方阵A满足，则 3向量组 ，和的一个极大无关组是 。4已知四元线性方程组的三个解为，且，则方程组的通解是 。5设，则A= 。6设二次型，则其对应的矩阵A的正特征值有 个。二、单项选择题（每小题4分，共24分）1若行列式，则x=( )。A1； B1; C; D2设矩阵，其中，则为（ ）A. 1； B2； Cn； D无法确定。3向量组线性无关，则线性无关的是（ ）。A；B；C；D。4. 设A是n阶方阵，且方程组有无穷多组解，则方程组（ ）。A有无穷多组解； B仅有零解；C有有限组解；D无解。5设A是n阶方阵，B是A经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵，则有（ ）。A；B； C若，则一定有；D若，则一定有。6设，则与B（ ）A合同且相似； B合同但不相似；C不合同但相似； D不合同且不相似。三、计算题（每小题10分，共40分）1 已知矩阵，其中，求矩阵A，A2，A100。2 设四元线性方程组（I）：，又已知齐次方程组（II）的通解为，（1）求方程组（I）的基础解系； （2）问（I）与（II）是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解。若没有，则说明理由。3设矩阵，矩阵B满足，求矩阵B。4设二次型，其中二次型矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为。（1）求a, b的值；（2）利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。四、证明题（每小题6分，共12分）1. 二维向量在基下的坐标为，求，并证明在基，下的坐标与其在下的坐标相同。2. 已知A、B均为n阶矩阵，且，证明：。线代参考答案课程试卷主考教师：线性代数教学组 试卷类型：（A卷） =一、填空题154； 2. ; 3. ; 4. ；5； 6. 2.二、单项选择题：1C; 2. A; 3. C; 4. A; 5. C; 6. A三、计算题：1解：，。 . 。2解：（1）求（I）的基础解系（I）的系数矩阵为 故（I）的基础解系为：.（2）求（I）与（II）的非零公共解。方法1 由（I），（II）的通解表达式相等，得。即 因 ，故上述方程组的解为，于是（I），（II）的所有非零公共解为为任意常数。方法2 把（II）的通解代入方程组（I），则有，得解，于是向量是方程组（I）、（II）的公共解，令，则上述方程组的所有非零公共解为，其中为任意非零常数。3解：由于，所以A为可逆矩阵。又.把等式两边同时左乘A，右乘，得，即（2A+E）B9E。由于，所以存在，故。由得，故。4 解：（1）二次型f的矩阵为 ，设的特征值为，由题设，有 解得。（2）由矩阵A的特征多项式 得A的特征值对于，由,即，得基础解系对于，由，即得基础解系.由于已是正交向量组，所以只需单位化，由此得.令矩阵 ，则P为正交矩阵。在正交变换下，二次型f的标准形为。四、证明题1证：（1）。（2）设在基下的坐标为，所以于是在基下的坐标与其在基下的坐标相同。2证：由题设A2-AB=E，即A(A-B) = E 于是A与A-B互为逆矩阵故有 (A-B)A = E 即 A2 - BA=E于是 AB = BA所以 R(AB-BA+A) = n一、选择题（每小题5分，共20分）1 设为阶方阵且，则 （ ）（A） 矩阵必有两行（列）的元素对应成比例。（B） 矩阵中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。（C） 矩阵中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。（D） 矩阵中至少有一行（列）的元素全为零。2 设是矩阵，是阶可逆矩阵，矩阵的秩为，矩阵的秩为，则（ ）（A） 。 （B） 。 （C） 。 （D） 的关系依而定。3设是非齐次线性方程组的两个不同解，则也是方程组的解是（ ）。（A） 。 （B） 。 （C） 。 （D） 。4若三阶矩阵A的特征值为2, 3, 4, 则该矩阵的伴随矩阵A* 的特征值为（ ） （A） 12, 8, 4 （B） 12, 8, 6 （C） 8, 6, 3 （D） 6, 3, 2。二、填空题：（每小题5分，共20分）1 设，且线性方程组的基础解系含有两个线性无关的解向量，则参数等于 。2 设a1 = (1，2，1)T，a2 = (2，3，4)T，a3 = (3，4，3)T 是R3的一组基，R3的向量a = (1, 1, 1)T 关于这组基的坐标为 。3将 写成初等矩阵的乘积是 。4. 若二次型 是正定的，则a的取值范围是 。三、计算证明题：（共60分）1 （8分）假设矩阵和满足关系式，求矩阵。其中 2（10分）已知向量是矩阵的逆矩阵的特征向量，试求常数的值。3.（12）求齐次线性方程组的解空间的一组标准正交基。 4（10分）设为二阶方阵，有二个不同的特征值，对应特征向量依次为，令, 证明： 线性无关。5（15分）求正交变换，把二次型化为标准形。 6（5分）齐次线性方程组，其中且证明：矩阵第一行元素的代数余子式相等。一、 选择题（每小题5分，共20分）1. (C ) 矩阵中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。2.（A） 3(D) 。 4(B) 12, 8, 6二、填空题：（每小题5分，共20分）1, 则参数等于 1 . 2, 关于这组基的坐标为 3, 初等矩阵的乘积是或或4, 则a的取值范围是三、计算证明题：（共60分）1.（8分）解 由于知 - 2由于 - 4 - 22（10分）解 设是矩阵对应于特征向量的特征向量，则 A-1a = la 两边同时左乘矩阵，得 a = lAa - 2即 由此得线性方程组 解得 或 因此当时，向量是的特征向量。 - 83.（12）解 对该方程组的系数矩阵作初等行变换 于是化为同解的阶梯形方程组为 即 因，故解空间的维数为5-3=2，即基础解系含2个线性无关的向量，由上式易得齐次线性方程组的一个基础解系 - 6 将正交化，取 故 - 4即为所求得一个标准正交基。 - - 24（10分）证明 因为则 - 3 设存在两个参数，使得 - - 1 即 又对应于不同特征值的特征向量线性无关，故线性无关，于是 - 2由于行列式， - 3故 k1 = k2 = 0 因此线性无关。 - - 15（15分）解 二次型对应的对称矩阵 。 - 1 . A的特征方程为故的特征值为- 6（i）的属于特征值为的特征向量 a1=(1, 1, 1)T, 单位化h1 = - 2（ii）的属于特征值为的特征向量 a2 = (-1, 1, 0)T, 单位化h2 =- 2（iii）的属于特征值为的特征向量 a3 = (1, 1, -2)T, 单位化 h3 = - 2故正交变换矩阵为 。令x = py, 则f(x) = 3y12 + y22 3y32 - 2 6（5分）证明 因为 故|A| = 0。当R(A) 0为实数)2设A为m阶可逆矩阵，B为n阶可逆矩阵，则可逆分块矩阵 的逆矩阵是_（2）_.（1） （2） （3） （4）3 设与是线性无关的单位向量，则与的内积必 _（4）_.（1） 0 （2）1 （4）0为实数)2设A为m阶可逆矩阵，B为n阶可逆矩阵，则可逆分块矩阵 的逆矩阵是_.（1） （2） （4） （4）3 设与是线性无关的单位向量，则与的内积必 _.（2） 0 （2）1 （4）14.设A为阶可逆矩阵，分别是A的转置矩阵，逆矩阵和伴随矩阵，若是A的特征向量，则下列命题中的不正确的是_.（1）是的特征向量（2）2是的特征向量 （3）3是的特征向量（4） 4是的特征向量（k为常数）5.设，则_ _.（1）与是相似的且是合同的（2）与是相似的但不是合同的 （3）与不是相似的但是合同的 （4）与不是相似的也不是合同的三（15分）试求五元齐次线性方程组 的解空间V(作为的子空间)的一组规范（标准）正交基。四（12分）求矩阵的特征值和特征向量，并计算的 特征值。五（16分）令 , 问k为何值时（4） 向量不能由向量组线性表示；（5） 向量能由向量组线性表示，且表示法唯一；（6） 向量能由向量组线性表示，且表示法不唯一，并求其一般表达式.六.(12分)设三元二次型试求一个可逆线性变换的将此二次型化为规范型.七.(10分)令A为n阶正定矩阵，证明：（1）存在n阶实可逆矩阵P,使得为（2）对任意n阶实可逆矩阵B,存在n阶实可逆矩阵使得与均为对角矩阵.19