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《 线性代数 》期末考试卷及答案3套

一、填空题（每小题4分，共24分）
1．设四阶方阵，其中均为四维列向量，且，则
2．n阶方阵A满足，则
3．向量组 ，，和的一个极大无关组是 。
4．已知四元线性方程组的三个解为，且，，，则方程组的通解是 。
5．设，则A= 。
6．设二次型，则其对应的矩阵A的正特征值有 个。
二、单项选择题（每小题4分，共24分）
1．若行列式，则x=( )。

A．1； B．–1; C．; D．

2．设矩阵，其中，则为（ ）
A. 1； B．2； C．n； D．无法确定。

3．向量组线性无关，则线性无关的是（ ）。
A．；
B．；
C．；
D．。
4. 设A是n阶方阵，且方程组有无穷多组解，则方程组（ ）。
A．有无穷多组解； B．仅有零解；
C．有有限组解； D．无解。
5．设A是n阶方阵，B是A经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵，则有（ ）。
A．； B．；
C．若，则一定有； D．若，则一定有。

6．设，则与B（ ）
A．合同且相似； B．合同但不相似；
C．不合同但相似； D．不合同且不相似。
三、计算题（每小题10分，共40分）
1． 已知矩阵，其中，，求矩阵A，A2，A100。
2． 设四元线性方程组（I）：，又已知齐次方程组（II）的通解为，
（1）求方程组（I）的基础解系；
（2）问（I）与（II）是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解。若没有，则说明理由。

3．设矩阵，矩阵B满足，求矩阵B。
4．设二次型，其中二次型矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为。
（1）求a, b的值；
（2）利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。

四、证明题（每小题6分，共12分）
1. 二维向量在基下的坐标为，求，并证明在基，下的坐标与其在下的坐标相同。

2. 已知A、B均为n阶矩阵，且，证明：。

《线代参考答案》课程试卷
主考教师：线性代数教学组 试卷类型：（A卷）
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一、填空题
1．54； 2. ; 3.
4. ； 5．； 6. 2.
二、单项选择题：
1．C; 2. A; 3. C; 4. A; 5. C; 6. A
三、计算题：
1．解：，。
.
。
2．解：（1）求（I）的基础解系
（I）的系数矩阵为
故（I）的基础解系为：.
（2）求（I）与（II）的非零公共解。
方法1 由（I），（II）的通解表达式相等，得
。
即 因 ，
故上述方程组的解为，于是（I），（II）的所有非零公共解为为任意常数。
方法2 把（II）的通解代入方程组（I），则有
，得解，
于是向量是方程组（I）、（II）的公共解，令，则上述方程组的所有非零公共解为，其中为任意非零常数。
3．解：由于，所以A为可逆矩阵。又.把等式两边同时左乘A，右乘，得，即（2A+E）B＝9E。
由于，所以存在，故。由
得
，故。

4． 解：（1）二次型f的矩阵为 ，设的特征值为，由题设，有

解得。
（2）由矩阵A的特征多项式 得A的特征值
对于，由,即
，得基础解系
对于，由，即
得基础解系.
由于已是正交向量组，所以只需单位化，由此得
.
令矩阵 ，则P为正交矩阵。
在正交变换下，二次型f的标准形为。

四、证明题
1．证：（1）。
（2）设在基下的坐标为，所以

于是在基下的坐标与其在基下的坐标相同。
2．证：由题设A2-AB=E，即A(A-B) = E
于是A与A-B互为逆矩阵
故有 (A-B)A = E
即 A2 - BA=E
于是 AB = BA所以 R(AB-BA+A) = n

一、选择题（每小题5分，共20分）
1． 设为阶方阵且，则 （ ）
（A） 矩阵必有两行（列）的元素对应成比例。
（B） 矩阵中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。
（C） 矩阵中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。
（D） 矩阵中至少有一行（列）的元素全为零。
2． 设是矩阵，是阶可逆矩阵，矩阵的秩为，矩阵的秩为，则（ ）
（A） 。 （B） 。 （C） 。 （D） 的关系依而定。
3．设是非齐次线性方程组的两个不同解，则也是方程组的解是（ ）。
（A） 。 （B） 。 （C） 。 （D） 。

4．若三阶矩阵A的特征值为2, 3, 4, 则该矩阵的伴随矩阵A* 的特征值为（ ）

（A） 12, 8, 4 （B） 12, 8, 6 （C） 8, 6, 3 （D） 6, 3, 2。

二、填空题：（每小题5分，共20分）
1． 设，且线性方程组的基础解系含有两个线性无关的解向量，则参

数等于 。

2． 设a1 = (1，2，1)T，a2 = (2，3，4)T，a3 = (3，4，3)T 是R3的一组基，R3的向量

a = (1, 1, 1)T 关于这组基的坐标为 。

3．将 写成初等矩阵的乘积是 。
4. 若二次型 是正定的，则a的取值范围

是 。

三、计算证明题：（共60分）
1． （8分）假设矩阵和满足关系式，求矩阵。其中

2．（10分）已知向量是矩阵的逆矩阵的特征向量，试求常数的值。
3.（12）求齐次线性方程组的解空间的一组标准正交基。

4．（10分）设为二阶方阵，有二个不同的特征值，对应特征向量依次为，
令, 证明： 线性无关。
5．（15分）求正交变换，把二次型
化为标准形。

6．（5分）齐次线性方程组，其中且
证明：矩阵第一行元素的代数余子式相等。

一、 选择题（每小题5分，共20分）
1. (C ) 矩阵中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合。
2.（A） 3．(D) 。 4．(B) 12, 8, 6
二、填空题：（每小题5分，共20分）
1．……, 则参数等于 1 . 2．……, 关于这组基的坐标为
3．……, 初等矩阵的乘积是或或……
4．……, 则a的取值范围是
三、计算证明题：（共60分）
1.（8分）解 由于知 ------------------------------------------- 2
由于 --------------- 4
----- 2
2．（10分）解 设是矩阵对应于特征向量的特征向量，则 A-1a = la
两边同时左乘矩阵，得 a = lAa ------------------------------------ 2
即 由此得线性方程组
解得
或
因此当时，向量是的特征向量。 --------------- 8
3.（12）解 对该方程组的系数矩阵作初等行变换
于是化为同解的阶梯形方程组为
即
因，故解空间的维数为5-3=2，即基础解系含2个线性无关的向量，由上式易得齐次线性方程组的一个基础解系 ------------------------------------------------ 6
将正交化，取
故 ------- 4

即为所求得一个标准正交基。 -------------------- ------------------------- 2

4．（10分）证明 因为则 ----- 3
设存在两个参数，使得 ----------------------------- 1
即
又对应于不同特征值的特征向量线性无关，故线性无关，于是
-------------------------------------------------- 2
由于行列式
， ---------------------------------------------- 3
故 k1 = k2 = 0
因此线性无关。 - ---------------- 1
5．（15分）解 二次型对应的对称矩阵 。 ------------------------------------------------ 1 .
A的特征方程为
故的特征值为-------------------------------------------------------------------- 6
（i）的属于特征值为的特征向量
a1=(1, 1, 1)T, 单位化h1 = ----- 2
（ii）的属于特征值为的特征向量
a2 = (-1, 1, 0)T 单位化h2 =----- 2
（iii）的属于特征值为的特征向量
a3 = (1, 1, -2)T, 单位化 h3 = ------- 2
故正交变换矩阵为 。令x = py, 则f(x) = 3y12 + y22 – 3y32 --------------- 2
6．（5分）证明 因为 故|A| = 0。当R(A) < n-1时，A* = 0，结论显然成立；
当R(A) = n-1时, AA* = |A|E = 0, A* 的列向量是的解向量，而x = (1, 1, …,1)T是的解向量,且

是基础解系,故存在常数，使得(A11, A12,…,A1n) = kx = k (1, 1, …,1)T，故的第一列的代数余子式全相等。

一．（填空题（每小题4分，共20分）
1． 令 则，。
2．若三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，是它的
三个解向量，且则该线性方
程组的通解是
3. 设的行向量线性相关，则实数t满足的条件是

4．令是三阶矩阵A的元素的代数余子式（i=1，2，3），若A的特征值为3，4，5，则___47_______.
5．若是正定矩阵，则c的取值范围为
___________.

二． 选择题（每小题3分，共15分）

1. 设A、B均为n阶正交矩阵，则_____（3）_______.
（1）A+B为正交矩阵 （2）A-B为正交矩阵
（3） BAB为正交矩阵（4）kAB为正交矩阵(k>0为实数)
2．设A为m阶可逆矩阵，B为n阶可逆矩阵，则可逆分块矩阵
的逆矩阵是____（2）________.
（1） （2）
（3） （4）
3． 设与是线性无关的单位向量，则与的内积必
_____（4）_______.
（1） >0 （2）<0 （3）>1 （4）<1
4.设A为阶可逆矩阵，分别是A的转置矩阵，逆矩阵和伴随矩阵，若是A的特征向量，则下列命题中的不正确的是___（1）_____.
（1）是的特征向量
（2）2是的特征向量
（3）3是的特征向量
（4） 4是的特征向量（k为常数）
5.设，则____(2) ____.
（1）与是相似的且是合同的
（2）与是相似的但不是合同的
（3）与不是相似的但是合同的
（4）与不是相似的也不是合同的

三．（15分）试求五元齐次线性方程组

的解空间V(作为的子空间)的一组规范（标准）正交基。
解 依题意知，

故，并且原方程组的一个基础解系为：

接下来将正交化. 令

最后将单位化可得

向量组即为所求。
四．（12分）求矩阵的特征值和特征向量，并计算的
特征值。
解 因为
故A的特征值值为-3，3（2重）.
当时，解线性方程组。由于

故A的属于特征值-3的全部特征向量为
又

故A的属于特征值 3的全部特征向量为
根据特征值的性质的特征值为，

五．（16分）令 ,,
问k为何值时
（1） 向量不能由向量组线性表示；
（2） 向量能由向量组线性表示，且表示法唯一；
（3） 向量能由向量组线性表示，且表示法不唯一，并求其一般表达式.
解 因
，
（1） 如果此时，
故向量不能由向量组线性表示；
（2） 如果此时，

向量能由向量组线性表示，且表示法唯一；
（3） 如果此时，

向量能由向量组线性表示，且表示法不唯一，
此时方程组的通解为

因此 。
六.(12分)设三元二次型试求一个可逆线性变换的将此二次型化为规范型.
解 依题意知，所给的二次型的矩阵为
因，
令則
故是可逆的线性变换，且f的规范型为
七.(10分)令A为n阶正定矩阵，证明：（1）存在n阶实可逆矩阵P,使得为（2）对任意n阶实可逆矩阵，存在n阶可逆矩阵使得与均为对角矩阵.
证明 （1）因A为n阶正定矩阵，故A是实对称矩阵，且其特征值全部为整数。依相关定理知，存在n阶正交矩阵，使得

其中是A的特征值.令则P是n阶实可逆矩阵，且从而命题（1）得证。
（2）因A为n阶正定矩阵，故根据命题（1）知存在n阶实可逆矩阵P使得
而对任意n阶实可逆矩阵B, 是n阶实对称矩阵，故有n阶正交矩阵C,使得为对角矩阵。
同时因此即为所求.

一．（填空题（每小题4分，共20分）
1． 令 则_______，
______________.
2．若三元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，是它的
三个解向量，且则该线性方
程组的通解是__________.
3. 设的行向量线性相关，则实数t满足的条件是
_________.
4．令是三阶矩阵A的元素的代数余子式（i=1，2，3），若A的特征值为3，4，5，则__________.
5．若是正定矩阵，则c的取值范围为
___________.

三． 选择题（每小题3分，共15分）
2. 设A、B均为n阶正交矩阵，则____________.
（1）A+B为正交矩阵 （2）A-B为正交矩阵
（3） BAB为正交矩阵（4）kAB为正交矩阵(k>0为实数)

2．设A为m阶可逆矩阵，B为n阶可逆矩阵，则可逆分块矩阵
的逆矩阵是____________.
（1） （2）
（4） （4）
3． 设与是线性无关的单位向量，则与的内积必
____________.
（2） >0 （2）<0 （3）>1 （4）<1
4.设A为阶可逆矩阵，分别是A的转置矩阵，逆矩阵和伴随矩阵，若是A的特征向量，则下列命题中的不正确的是________.
（1）是的特征向量
（2）2是的特征向量
（3）3是的特征向量
（4） 4是的特征向量（k为常数）
5.设，则____ ____.
（1）与是相似的且是合同的
（2）与是相似的但不是合同的
（3）与不是相似的但是合同的
（4）与不是相似的也不是合同的

三．（15分）试求五元齐次线性方程组

的解空间V(作为的子空间)的一组规范（标准）正交基。
四．（12分）求矩阵的特征值和特征向量，并计算的
特征值。
五．（16分）令 ,,
问k为何值时
（4） 向量不能由向量组线性表示；
（5） 向量能由向量组线性表示，且表示法唯一；
（6） 向量能由向量组线性表示，且表示法不唯一，并求其一般表达式.
六.(12分)设三元二次型试求一个可逆线性变换的将此二次型化为规范型.
七.(10分)令A为n阶正定矩阵，证明：（1）存在n阶实可逆矩阵P,使得为（2）对任意n阶实可逆矩阵B,存在n阶实可逆矩阵使得与均为对角矩阵.

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