《高等数学》期末考试卷及答案3套.doc

《高等数学》期末考试卷及答案3套

一、 填空题（每小题4分，共20分）
１．设,则.
2.已知边际成本为,固定成本为1000,则总成本函数为.
3.
4. 已知,则.
5. 由曲线,及所为图形的面积为.
二、选择题（每小题3分，共15分）
1. 曲线 ( D).
A.无渐近线 B.仅有水平渐近线
C.仅有垂直渐近线. D.既有水平又有垂直渐近线.
2. 函数在区间上( B ) .
A.不存在最大值和最小值 B. 最小值是
C. 最大值是 D. 最大值是
3. 以下广义积分发散的是( C ).
A. B. C. D.
4.设,则( A ).
A. B.
C. D.
5. 设上的连续函数,且,令,
, ,则( C ).
A. B.
C. D.
三、计算题（每小题7分，共35分）
1.

2.

3.

4.

5. 设, 求在上的表达式.
解：当时，；
当时，
故 。
四、应用题和证明题（共4题,30分）
1.（10分）设抛物线，当时,.又该抛物线与直线及轴所围平面图形的面积为,求使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.
解: 因为
,
又因为

.
2. （10分）设,在内的驻点为,求使最大,
并求最大值.
解:因为所以

所以最大值.
3. （5分）设是上连续的单增函数,证明:.
证明:作辅助函数,因为

因为单增,所以,即,
又，所以有.
4. （5分）设函数在上具有连续的二阶导数,且,又,
试证:存在使.
证明：由题设条件知，在上的最大值点只能在区间内取到，即存在，使得，且由费尔马定理得。由泰勒公式

令，则 ， ①
令，则 ， ②
当时，由①式，，即，取；
当时，由②式，，即，取，
综上所述就有：存在使

《高等数学（B）》课程试卷

一、填空题（每小题4分，共20分）
1、极限
2、
3、
4、函数在上的最大值为0，最小值为
5、
二、单项选择题 （每小题4分，共20分）
1、设函数连续，且，则存在，使得（C）.
（A）在内单调增加； （B）在内单调减少；
（C）对任意的有； （D）对任意的有.
2、( B).
（A）； （B）2；
（C）; (D) .
3、设函数满足关系式，且，，
则在点处(A).
（A）取得极大值； （B）取得极小值；
（C）在点某邻域内单调增加； （D）在的某邻域内单调减少.
4、若，，则当时，是
的(B ).
（A）低阶无穷小； （B）高阶无穷小；
（C）等价无穷小； （D）同阶但不是等价的无穷小。
5、设，则( B ) .
（A）； (B) ； （C）； （D）.

三、计算下列各题（每小题4分，共12分）
1、求抛物线上任一点处的曲率，在那一点它的曲率最大？
解：因为要使最大，只需最小，
所以有，即曲线在处曲率最大。
2、计算不定积分： .
解：

3、证明：，并计算.
证明：令有
所以即

四、可选题（A型题满分40分，B型题满分30分，每道小题限做1题）
1、（A）（8分）， （B）（6分） .

2、（A）（8分）当时，证明：。
（B）（6分）证明：当时，.
3、（A）（8分）设满足,且，证明：点
是曲线的一个拐点.
证明：因为有且，点是曲线
的一个可能的拐点。又当时
当时这是因为连续
且由有由保号性
所以点是曲线的一个拐点.

（B）（6分）求曲线的凹凸区间及拐点。
解：
。
令，得。
显然，曲线的凹区间为，凸区间为，拐点为。

4、（A）（8分）设函数，，
求函数，的表达式。
（B）（6分）设，求。

5、（A）（8分）设在上可微，单调增加，证明：
.
证明：作辅助函数，则

。
由微分中值定理，存在，使得
，
因此，当时，有
，
即 ，
取，则有。
（B）（6分）设在上连续，且，证明方程
在内只有一个实根.

五、应用题（限做1题）
（A）（8分）已知厂商的总收益函数和总成本函数分别为
，
厂商追求最大利润，政府征收产品税. （1）试确定税率，使征税收益最大.
（2）试说明当税率增加时，产品的价格随之增加，而产量随之下降.

（B）（6分）将一长为的铁丝切成两段，并将其中一段围成正方形，另一段围
成圆形，为使正方形与圆形面积之和最小，问两段铁丝的长各为多少？
最小面积为多少？

高等数学C

一、解下列各题 （每小题6分，共42分）
1、 . 2、设函数连续，且，求.
3、设，求 .
4、已知点为曲线的拐点，求, .
5、求函数的单调区间与极值.
6、设函数 求.
7、求曲线的斜渐近线.
二、计算下列积分（每小题6分，共36分）
1、. 2、. 3、.
4、. 5、. 6、，其中 .
三、应用题（每小题6分，共12分）
1、 假设在某个产品的制造过程中，次品数是日产量的函数为：
并且生产出的合格品都能售出。如果售出一件合格品可盈利元，但出一件次品就要损失 元。为获得最大利润，日产量应为多少？
2、设函数连续，，且满足方程，求及在 上的最大值与最小值.
四、证明题（每小题5分，共10分）
1、当时，证明：.
2、设函数在上连续，且不恒为零，证明.

一、解下列各题 （每小题6分，共42分）
1、解：
2、 解：两边求导有，令，得。（或令）
3、解：两边求导有，
即，积分得
4、解：因为，又，
由得，。
5、解：因为，，有（负舍）
在上，，，在上，，，
极小值
6、解：
7、解：因为，在方程两边同除有，
取极限得。设斜渐近线为代入方程得
，在方程两边同除取极限得，
所求斜渐近线为。

二、计算下列积分（每小题6分，共30分）
1、解
2、解： 令，
原式
3、 解：

或令，。
4、 解：
5、 解：

6、解：令，代入积分

三、应用题（每小题6分，共12分）
1、解：因为，为每日的合格品，所以收益函数为

，（负舍）
，
由所以日产量应为85.
2、解：令代入有，
即，两边求导：，两边积分得
，由，由。为所求。
又，所以最大值为最小值为。
四、证明题（每小题5分，共10分）
1、证明：设，因为，
又，所以，即不等式成立。
2、证明：因为在上连续，且且不恒为零，所以至少有一，
使，由，取，使得当时，
有，于是

。
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