《高等数学》期末考试卷及答案3套.doc

高等数学期末考试卷及答案3套一、 填空题（每小题4分，共20分）设,则.2.已知边际成本为,固定成本为1000,则总成本函数为.3.4. 已知,则.5. 由曲线,及所为图形的面积为.二、选择题（每小题3分，共15分）1. 曲线 ( D).A.无渐近线 B.仅有水平渐近线C.仅有垂直渐近线. D.既有水平又有垂直渐近线.2. 函数在区间上( B ) .A.不存在最大值和最小值 B. 最小值是C. 最大值是 D. 最大值是3. 以下广义积分发散的是( C ).A. B. C. D. 4.设,则( A ).A. B. C. D. 5. 设上的连续函数,且,令, ,则( C ).A. B. C. D. 三、计算题（每小题7分，共35分）1. 2. 3. 4. 5. 设, 求在上的表达式.解：当时，；当时，故 。四、应用题和证明题（共4题,30分）1.（10分）设抛物线，当时,.又该抛物线与直线及轴所围平面图形的面积为,求使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解: 因为,又因为 .2. （10分）设,在内的驻点为,求使最大, 并求最大值.解:因为所以所以最大值.3. （5分）设是上连续的单增函数,证明:.证明:作辅助函数,因为因为单增,所以,即,又，所以有.4. （5分）设函数在上具有连续的二阶导数,且,又,试证:存在使. 证明：由题设条件知，在上的最大值点只能在区间内取到，即存在，使得，且由费尔马定理得。由泰勒公式 令，则 ， 令，则 ， 当时，由式，即，取； 当时，由式，即，取， 综上所述就有：存在使高等数学（B）课程试卷 一、填空题（每小题4分，共20分） 1、极限 2、 3、4、函数在上的最大值为0，最小值为5、二、单项选择题 （每小题4分，共20分）1、设函数连续，且，则存在，使得（C）.（A）在内单调增加； （B）在内单调减少；（C）对任意的有； （D）对任意的有.2、( B). （A）； （B）2；（C）; (D) .3、设函数满足关系式，且，则在点处(A). （A）取得极大值； （B）取得极小值；（C）在点某邻域内单调增加； （D）在的某邻域内单调减少.4、若，则当时，是的(B ).（A）低阶无穷小；（B）高阶无穷小；（C）等价无穷小；（D）同阶但不是等价的无穷小。5、设，则( B ) . （A）；(B) ； （C）；（D）. 三、计算下列各题（每小题4分，共12分） 1、求抛物线上任一点处的曲率，在那一点它的曲率最大？解：因为要使最大，只需最小， 所以有，即曲线在处曲率最大。2、计算不定积分： .解：3、证明：，并计算.证明：令有所以即四、可选题（A型题满分40分，B型题满分30分，每道小题限做1题）1、（A）（8分）， （B）（6分） . 2、（A）（8分）当时，证明：。（B）（6分）证明：当时，. 3、（A）（8分）设满足,且，证明：点是曲线的一个拐点. 证明：因为有且，点是曲线的一个可能的拐点。又当时当时这是因为连续且由有由保号性所以点是曲线的一个拐点. （B）（6分）求曲线的凹凸区间及拐点。解：。令，得。显然，曲线的凹区间为，凸区间为，拐点为。 4、（A）（8分）设函数，求函数，的表达式。（B）（6分）设，求。5、（A）（8分）设在上可微，单调增加，证明：.证明：作辅助函数，则 。由微分中值定理，存在，使得 ，因此，当时，有 ，即 ，取，则有。（B）（6分）设在上连续，且，证明方程 在内只有一个实根. 五、应用题（限做1题） （A）（8分）已知厂商的总收益函数和总成本函数分别为， 厂商追求最大利润，政府征收产品税. （1）试确定税率，使征税收益最大. （2）试说明当税率增加时，产品的价格随之增加，而产量随之下降. （B）（6分）将一长为的铁丝切成两段，并将其中一段围成正方形，另一段围成圆形，为使正方形与圆形面积之和最小，问两段铁丝的长各为多少？最小面积为多少？高等数学C一、解下列各题 （每小题6分，共42分）1、 . 2、设函数连续，且，求. 3、设，求 .4、已知点为曲线的拐点，求, .5、求函数的单调区间与极值.6、设函数 求.7、求曲线的斜渐近线.二、计算下列积分（每小题6分，共36分）1、. 2、. 3、. 4、. 5、. 6、，其中 .三、应用题（每小题6分，共12分） 1、 假设在某个产品的制造过程中，次品数是日产量的函数为： 并且生产出的合格品都能售出。如果售出一件合格品可盈利元，但出一件次品就要损失 元。为获得最大利润，日产量应为多少？2、设函数连续，且满足方程，求及在 上的最大值与最小值.四、证明题（每小题5分，共10分）1、当时，证明：.2、设函数在上连续，且不恒为零，证明.一、解下列各题 （每小题6分，共42分）1、解：2、 解：两边求导有，令，得。（或令）3、解：两边求导有，即，积分得4、解：因为，又，由得，。5、解：因为，有（负舍）在上，在上，极小值6、解：7、解：因为，在方程两边同除有，取极限得。设斜渐近线为代入方程得，在方程两边同除取极限得，所求斜渐近线为。二、计算下列积分（每小题6分，共30分）1、解 2、解： 令，原式 3、 解： 或令，。 4、 解： 5、 解： 6、解：令，代入积分三、应用题（每小题6分，共12分） 1、解：因为，为每日的合格品，所以收益函数为，（负舍），由所以日产量应为85.2、解：令代入有，即，两边求导：，两边积分得，由，由。为所求。又，所以最大值为最小值为。四、证明题（每小题5分，共10分）1、证明：设，因为，又，所以，即不等式成立。2、证明：因为在上连续，且且不恒为零，所以至少有一，使，由，取，使得当时，有，于是 。12