高等数学章节练习题及答案第七章.doc

高等数学章节练习题及答案第七章

作业7.1.1

1.判别下列级数是否收敛，若收敛写出级数的和．
(1) .
(2)
(3)
解 (1)因为 =
那么，.所以，该级数发散.
(2)因为等比级数公比，所以级数发散.
(3)因为，原式=，

=
于是，，所以级数收敛.

2.利用级数收敛的性质，判断级数的敛散性，若收敛，则求其和.
（1）； （2）.
解 （1）因为 ，
而，级数，收敛；，收敛
由性质知，级数收敛，其和为.
（2）原式=.
因为，级数是发散的，级数是收敛的，由级数的性质得，级数收敛.

1.求下列幂级数的收敛区间与和函数．
（1）
（2）
解 （1）该级数为等比级数，且公比.
当时，幂级数收敛，即得收敛区间 ；其和函数
.
所求幂级数的和函数，收敛区间.
（2）该幂级数为等比级数，其公比
当时，幂级数收敛，即得收敛区间 ；和函数
.
所求幂级数的和函数，收敛区间.

2.求幂级数的收敛半径和收敛区间.
（1）， （2）.
解 （1）因为；，于是
.
所以，收敛半径；收敛于点.
(2)设，原幂级数改写为
因为；，于是
.
所以， .由于得，，
故该级数的收敛半径，收敛区间

3. 利用matlab软件，将下列函数展开为幂级数，写出展开式的前5项.
（1）；（2）；（3）.
解 （1）；
（2）；
（3）=.

1. 设是周期为的函数，它在上的表示式为

将展开为傅立叶级数.
解 傅立叶系数为
，

，

所以的傅立叶级数为

.

2.将周期函数()展开为傅立叶级数.
解 因为周期函数为偶函数，所以它的傅立叶级数是余弦级数
，

，.
所以的傅立叶级数为
.

作业
1.将周期函数展开为傅立叶级数.
解 因为周期函数是奇函数，傅立叶系数
，，
，

所以的傅立叶级数为
．

2.将函数（）展开为傅立叶级数。
解 该函数为偶函数，所以。
；

所以函数的傅立叶级数为
（，）．
作业

1.利用常用函数的拉氏变换表，写出下列函数的拉氏变换
（1）； （2）； （3）；
（4）；（5）.
解 （1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.

2.利用定义，求单位阶梯函数的拉氏变换.
解 由定义，得

.
所以，.

1. 求下列各函数的拉氏变换.
(1)； (2)；(3) ；
(4)；(5)；（提示：）
（6）.
解 (1)因为，于是
.
（2）=
.
(3) .
(4)=.
(5)因为，所以
.
（6）因为=，所以
.

2. 利用matlab软件，求函数的拉氏变换.
（1）； （2）.
解 （1）；（2）.

求拉氏逆变换
（1）； （2）； (3) ；
(4) ; (5) ；(6)
解 （1）=.
（2）.
(3) =.
(4) .
(5)
= .
(6)
.