2022年线性代数题库及答案6套.doc

线代参考一
线性代数题库一

一. 填空题(每小题3分,满分30分)
1. 写出4阶行列式中含因子的项为_________。
2. 行列式的充分必要条件为___________。
3. 设A为方阵,满足,则_________。
4. 同阶方阵,,若,必有,则应为_______矩阵。
5. 设A为n阶方阵,有非零解,则A必有一个特征值为_________。
6. 设相似于对角阵,则_________。
7. 设向量组是向量组的一个最大无关组,则与间关系为___________。
8. 由所生成的线性空间为_________。
9. 二次型的正定性为________。
10. 若,且,则_________。
二. (8分)计算2n阶行列式

三. (8分)解矩阵方程

求
四. (10分)设向量组A:

求向量组A的秩及一个最大无关组.
五. 12分)讨论方程组的解的情况

六. (16分)求正交变换,将二次型

化为标准形,并写出其标准形.
七. (8分)设且线性无关,
证明:线性无关.
八. (8分)为n阶方阵,且与均不可逆.
则可否对角化?

2010线性代数期末试题及参考答案
一、判断题(正确填T，错误填F。每小题2分，共10分)
1． A是n阶方阵，，则有。 （ ）
2． A，B是同阶方阵，且，则。 （ ）
3．如果与等价，则的行向量组与的行向量组等价。 ( )
4．若均为阶方阵，则当时，一定不相似。 ( )
5．n维向量组线性相关，则也线性相关。 （ ）
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．下列矩阵中，（      ）不是初等矩阵。
（A） (B) (C) (D)
2．设向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。
（A） （B）
（C） （D）
3．设A为n阶方阵，且。则（　　　）
(A) (B) (C) (D)
4．设为矩阵，则有（ ）。
（A）若，则有无穷多解；
（B）若，则有非零解，且基础解系含有个线性无关解向量；
（C）若有阶子式不为零，则有唯一解；
（D）若有阶子式不为零，则仅有零解。
5．若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则（ ）
（A）A与B相似 （B），但|A-B|=0
（C）A=B （D）A与B不一定相似，但|A|=|B|
三、填空题（每小题4分，共20分）
1． 。
2．为3阶矩阵，且满足3,则=______， 。
3．向量组，，，是线性 （填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是 。
4． 已知是四元方程组的三个解，其中的秩=3，，，则方程组的通解为 。
5．设，且秩(A)=2，则a=　　　 　　　　。
四、计算下列各题（每小题9分，共45分）。
1．已知A+B=AB，且，求矩阵B。
2.设，而，求。
3.已知方程组有无穷多解，求a以及方程组的通解。
4.求一个正交变换将二次型化成标准型

5． A，B为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩阵A的特征值；（2）A是否可相似对角化？为什么？；（3）求|A+3E|。
五．证明题（每题5分，共10分）。
1．若是对称矩阵，是反对称矩阵，是否为对称矩阵？证明你的结论。
2．设为矩阵，且的秩为n，判断是否为正定阵？证明你的结论。

线性代数试题解答
一、
1．（F）（）
2．（T）
3．（F）。如反例：，。
4．（T）（相似矩阵行列式值相同）
5．（F）
二、
1．选B。初等矩阵一定是可逆的。
2．选B。A中的三个向量之和为零，显然A线性相关； B中的向量组与，，等价, 其秩为3，B向量组线性无关；C、D中第三个向量为前两个向量的线性组合，C、D中的向量组线性相关。
3．选C 。由，
)。
4．选D。A错误，因为，不能保证；B错误，的基础解系含有个解向量；C错误，因为有可能，无解；D正确，因为。
5．选A。A正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵，使得，因此都相似于同一个对角矩阵。
三、1． （按第一列展开）
2． ；（=）
3． 相关（因为向量个数大于向量维数）。 。因为，。
4． 。因为，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。
5．（
四、
1．解法一：。将与组成一个矩阵，用初等行变换求。
=

。故 。
解法二：。
，因此。
2．解：，，
。
3．解法一：由方程组有无穷多解，得，因此其系数行列式。即或。
当时，该方程组的增广矩阵

于是，方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个基础解系，原方程组的一个特解，故时，方程组有无穷多解，其通解为，
当时增广矩阵，，此时方程组无解。
解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。
由于该方程组有无穷多解，得。因此，即。求通解的方法与解法一相同。
4．解：首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵
，
因此得到其特征值为，。
再求特征值的特征向量。
解方程组，得对应于特征值为的两个线性无关的特征向量，。
解方程组得对应于特征值为的一个特征向量。
再将，正交化为，。
最后将，，单位化后组成的矩阵即为所求的正交变换矩阵，其标准形为。
5． 解：（1）由知-1，2为的特征值。，故-2为的特征值，又的秩为2，即特征值-2有两个线性无关的特征向量，故的特征值为-1，2，-2，-2。
（2）能相似对角化。因为对应于特征值-1，2各有一个特征向量，对应于特征值-2有两个线性无关的特征向量，所以有四个线性无关的特征向量，故可相似对角化。
（3）的特征值为2，5，1，1。故=10。
五、1．为对称矩阵。
证明：
===，
所以为对称矩阵。
2．为正定矩阵。
证明：由知为对称矩阵。对任意的维向量，由得， =，由定义知是正定矩阵。

线性代数参考题二

四. 填空题(每小题3分,满分30分)
1． 设都是5阶矩阵,且,则
2． 已知,则 (其中I是n阶单位阵)
3． ,已知矩阵A的秩r(A)=2,则
4．,又是的代数余子式,
则
5．若一向量组只有唯一的极大无关组,则该向量组
6．设是正定二次型,
则的取值区间为
7．设是阶正交矩阵,,则
8．设
相似于对角阵,则
9．设非齐次线性方程组的两个解为的秩为,则
的一般解 .
10．已知向量组的
秩为2,则
二．(8分)计算n阶行列式

三．(8分)求矩阵满足

四．(10分)设

求向量组的秩及其一个极大无关组.
五. (12分)问常数各取何值时, 方程组

无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其一般解.
六. (16分)求正交变换,将二次型
化为
标准形,并写出其标准形.
七. (8分)设向量线性无关,且

证明向量组线性无关.
八. (8分)为n阶方阵,且与均不可逆。
试讨论是否相似于对角阵,并说明理由.
线性代数参考题三
一. 填空题(每小题3分,满分30分)
1. 设都是阶方阵,且则 .
2. 设是矩阵,是的转置矩阵,且的行向量组线性无关.
则秩

是 次多项式.
4.若
5.阶数量矩阵的相似矩阵是
6.若是实对称矩阵,则属于的不同特征值的特征向量一定
7.向量组线性 关.
8.设是可逆矩阵的一个特征值,则矩阵有一个特征值等于
9.设是矩阵,,则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是
10.设是阶正定矩阵,则方程组的解的集合是

二.计算题(每题8分,共40分)
1. 计算阶行列式

3.用初等变换法求下列矩阵的逆

4.设中的两组基为:其中

求基到基的过渡矩阵
求
三.(10分)求下列向量组的秩和一个极大线性无关组.并说明该向量组是线性相关还是线性无关.

四.(6分)判断下面二次型是否正定二次型

五.(14分)
，求可逆矩阵,使得为对角矩阵,并且给出
线性代数参考题四
五. 填空题(每小题3分,满分30分)
11. 设 都是4维列向量,且4阶行列式
则4阶行列式______________
12. 已知线性相关,不能由线性表示则线性 __________
13. 设是阶矩阵 ,,是阶矩阵,,,且,则的取值范围是_______________
4.设是43矩阵,且的秩且则_________
5.设0是矩阵的特征值,则_____________
6.设是正定二次型,则的取值区间为
7.矩阵对应的二次型是_______________
8. 设
相似于对角阵,则
9.设为3阶方阵,为伴随矩阵,,则=___________
10.设是不可逆矩阵,则____________
六. (8分)计算行列式

三.(8分) 三阶方阵满足关系式:,且,求
四.(10分)设

求向量组的秩及其一个极大无关组.
五. (12分)问常数取何值时, 方程组

无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其一般解.
六. (16分)求正交变换,将二次型
化为
标准形,并写出其标准形.
七. (8分)设 都是阶矩阵,且可逆,证明与有相同的特征值

八. (8分) 设向量组线性无关,向量可由向量组线性表示,而向量不能由向量组线性表示.证明:个向量必线性无关.
线性代数参考题五
一. 填空题 (每小题3分，满分30分)
1. =
2. 已知α= (0, -1 , 2)T , β=(0, -1 , 1)T , 且A =αβT , 则A4 =
3. 设A、B为4阶方阵，且=2，=81，则=
4. 设3阶方阵A的非零特征值为5，-3，则=
5. 与向量组α1= (,,,)T , α2= (,, -, -)T , α3= (, -,,
-)T ,都正交的单位向量α4=
6. A是3×4矩阵，其秩rank=2, B=, 则rank= _____
7. 设β1、β2是非齐次方程组Ax=b的两个不同的解，α是对应的齐次方程组的基础解系，则用β1 ,β2 ,α表示Ax=b的通解为
8. 向量组α1= (1, 1 , 1)T , α2= (1, 2 ,4)T , α3= (1, a , a2)T 线性无关的充要条件为a≠ 且a≠ 。
9. 设可逆方阵A的特征值为λ，则kA-1的特征值为 。
10. f(x1, x2, x3)= x12+ax22+2x32-2x1x2为正定二次型，则a的取值范围为
二.（10分）计算n阶行列式
Dn =
三'（8分）设A、B为3阶矩阵，且A2B = A + B – E ，
其中A =，E为3阶单位矩阵，求矩阵B。
四.（8分）确定a、b的值，使矩阵 A=的秩为2。
五.（10分）设α1= (1, 0, 2, 1)T , α2= (1, 2, 0, 1)T , α3= (2, 1, 3, 0)T , α4= (2, 5, -1, 4)T ,
求此向量组的秩及一个极大无关组。
六. （8分）设α1 ,α2 , … ,αn ,αn+1线性相关，而其中任意 n个向量均线性无关，
证明:必存在（n+1）个全不为零的数k1 ,k2 ,…, kn ,kn+1使得
k1α1 + k2α2 + … + knαn + kn+1αn+1 = 0
七、（10分）设齐次方程组
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0 ,
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0 ,
… …
an1x1 + an2x2 + … + annxn = 0 ,

的系数行列式=0，A的某一元素akj的代数余子式Akj≠0，
证明: x = (Ak1 , Ak2 , … , Akn)T为此方程组的一个基础解系。

八、（16分）求正交矩阵P，将二次型化为标准形并写出此标准形。

f(x1, x2, x3) = -x12-x22-x32+4x1x2+4x1x3-4x2x3
线性代数参考六
一.填空题(每小题3分,满分30分)
1. 设是3阶矩阵,且,其中均为3维行向量,
,则行列式
2.已知方阵满足(为常数),则
3.设,则应满足_______________.
4.设线性相关, 线性无关,则线性_______关.
5.设线性相关,则满足关系式___________
6.设A满足,则A有特征值_____________
7.设A为n阶方阵,且是的三个线性无关的解向量,
则的一个基础解系为______________.
8.二次型正定,则满足条件
_____________.
9.设方阵相似于对角矩阵,则__________.
10.设A是矩阵,,则________
二.(8分)计算n阶行列式

三(8分)设 , 求矩阵,使满足下面的关系式:

四.(10分)设向量组

确定的值,使向量组的秩为2,并求一个极大线性无关组.
五. (8分)设线性方程组
的系数矩阵为A,设B为3阶方阵,已知,且,求的值.
六. (14分)设实二次型

1. 求正交变换,将二次型化为标准形.
2. 确定该二次型的正定性.
七. (8分)设列向量是一个n维实向量,已知是单位向量.令矩阵
证明:是一个对称的正交矩阵.
八.(14分)已知和是线性空间的两组基,其中

1. 求由基到基的过渡矩阵A.
2. 设向量在基下的坐标为,求在基下的坐标.
线性代数参考题一答案：
填空题(每小题3分,满分30分)
1．与；2.；3.；4.可逆阵或满秩阵或非奇异阵；5.特征根为0；6.；7.；8.；9.负定；10.
七. 陈治中版《线性代数》例题1.5.7（p.26）答案：
八. 令
则
九. 令，则

因而，构成一个极大无关组，且
十. 陈治中版《线性代数》习题4.6（p.121）答案：p.211
十一. 将二次型化成矩阵
，显然为实对称阵，可以正交对角化的，即
由特征方程，得，
当 对应的特征向量为，标准化为；
当 对应的特征向量为和
正交化，标准化为
，标准化
因而，且
十二. 令

由 以及线性无关得线性无关。
十三. 由已知有 及 ，显然有特征根分别为0和。故此可对角化。

线性代数参考题二答案：

当
当

单位化得正交矩阵
所以得到标准型：

线性代数参考题三答案：

二. 1）；2）；3）；
4）
5）
三．

四．

五．特征根为：
当，当，
故

线性代数参考题四答案：

四．

线性代数参考题五答案：

二.

五. ；

且

线性代数参考题六答案：
一.填空题答案
1．-1；2. ；3.；4.线性相关；5.；6. 1；7.；8.；9.；10. 2
二. 居余马《线性代数》$1.2 例8(p.17)：将按第一行展开，得

递推公式改写为
而 ，，于是有 ，整理得

将上述等式两端分别乘以，然后再相加，得到

即得，整理得

三．由于，再由已知得，，再由可得到

四. 令，则对其进行行的初等变换有
，由得，其中一个极大无关组为：
五. 由以及知必为奇异阵，即（否则若为非奇异阵，必有，此与矛盾），而
，得
六. 设此实二次型对应的矩阵为，则有
，令得特征根为、、。
当时，特征向量为，标准化得；
当时，特征向量为，标准化得；
当时，特征向量为，标准化得；
令，则有，且，该二次型不是正定的。
七. 陈治中《线性代数》习题3.25(p.106)
由于，故此是对称阵，另外，

因此也是正交阵。
八．32学时不作为要求。

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