2022年线性代数与几何题库试卷20套及答案.doc

线性代数与几个测试卷

试卷（一）：

一. 填空题（共20分）
1.若是6阶方阵的伴随矩阵，且_______.
2. 设，则
3. 设是的子空间，则V 的维数是__________.
4. 对称矩阵A 的全部特征值为4,-5,3,2,若已知矩阵为正定矩阵,则常数 必须大于数值____________.
5. 已知阶矩阵,则矩阵的逆是

__________________.

二．选择题（共20分）
1. 若是 阶方阵, 下列等式中恒等的表达式是（ ）
(A) ； (B) ；
(C）； 　 (D) .
2. 若为阶方阵,则为正交矩阵的充分必要条件不是 ( )
(A) 的列向量构成单位正交基； (B) 的行向量构成单位正交基；
(C) ； (D)
3. 若是空间的一个维子空间,是的一组基;是空间的一个维子空间, 是的一组基,且则:（ ）
(A) 向量组可以由向量组线性表示；
(B) 向量组可以由向量组线性表示；
(C) 向量组与向量组可以相互线性表示； (D) 向量组与向量组不能相互线性表示.
4. 若是实对称方阵A的两个不同特征根, 是对应的特征向量,则以下命题哪一个不成立 ( )
(A) 都是实数； (B) 一定正交；
(C) 有可能是的特征向量； (D) 有可能是的特征根.
5. 已知为阶方阵,且非齐次线性方程组的个线性无关解为 则的通解为( ).
(A) ；
(B) ；
(C) ；
(D) .

三. 解下列各题 (共25分)

1. 若为3阶方阵,且, 求:
.
2. 设 ,求矩阵.
3. 计算向量在基下的坐标.
4. 设向量组
求向量组的一个最大线性无关组.
5. 利用分块矩阵方法,计算的逆矩阵.

四. 证明题 (8分) 设维向量组和向量组有关系

问维向量组和向量组是否同秩? 证明你的结论.
五. (8分) 二次型 通过正交变换, 可将此二次型化为标准形求参数及所用正交变换.

六. (8分) 求线性方程组

的通解.

七.(6分) 解矩阵方程,并写出解方程时初等矩阵的变换过程

八. (5分) 设是4阶方阵,且的特征根互不相同,证明:
(1) 方阵有四个线性无关的特征向量.
(2) 方阵可以对角化.

试卷(二):

一．计算下列各题：（每小题6分，共30分）
（1）
（2）求其中

（3）已知向量组线性相关,求
(4) 求向量在基下的坐标.
(5) 设, 求的特征值.
二.(8分) 设,且求矩阵B.
三. (8分) 计算行列式:

四. (8分) 设有向量组
求该向量组的秩以及它的一个最大线性无关组.

五. (8分) 求下列方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系.

六. (8分) 求出把二次型化为标准形的正交变换,并求出使为正定时参数的取值范围.
七. (10分) 设三阶实对称矩阵的特征值为3(二重根)、4(一重根),是的属于特征值4的一个特征向量,求
八. (10分) 当为何值时,方程组

有惟一解、无穷多解、无解?
九．(10分) (每小题5分,共10分) 证明下列各题
(1) 设是可逆矩阵, 证明也可逆, 且
(2) 设是非零向量,证明是矩阵的特征向量.

试卷(三):

一． 填空题（每小题4分，共20分）
1． 已知正交矩阵使得，则
2． 设为阶方阵，为的个特征值，则
3． 设是矩阵，是维列向量，则方程组有无数多个解的充分必要条件是：
4． 若向量组的秩为2,则
5． 则的全部根为:_________.
二． 选择题 （每小题4分，共20分）
1.行列式的值为( ).

A. 1 B. -1
C. D.
2. 对矩阵施行一次行变换相当于( ).
A. 左乘一个阶初等矩阵 B. 右乘一个阶初等矩阵
C. 左乘一个阶初等矩阵 D. 右乘一个阶初等矩阵
3. 若为矩阵, 则( ).
A. 是维向量空间 B. 是维向量空间
C. 是维向量空间 D. 是维向量空间
4. 若阶方阵满足, 则下列命题哪一个成立 ( ).
A. B.
C. D.
5. 若是阶正交矩阵,则下列命题哪一个不成立( ).
A. 矩阵为正交矩阵 B. 矩阵为正交矩阵
C. 矩阵的行列式是 D. 矩阵的特征值是

三. 解下列各题（每小题6分,共30分）
1. 若为3阶正交矩阵, 为的伴随矩阵, 求
2. 计算行列式
3. 设求矩阵
4. 求向量组的一个 最大无关组.
5. 求向量在基下的坐标.
四. (12分) 求方程组

的通解(用基础解系与特解表示).
五.(12分) 用正交变换化下列二次型为标准型, 并写出正交变换矩阵

六. 证明题(6分)
设是线性方程组对应的齐次线性方程组的一个
基础解系,是线性方程组的一个解, 求证线性无关.

试卷(四):

一、 填空题（共20分）

1． 设A是矩阵， 是 维列向量，则方程组无解的充分必要条件是：
2． 已知可逆矩阵P使得，则
3． 若向量组α=（0，4，t），β=（2，3，1），γ=（t，2，3）的秩为2，则t=
4． 若A为2n阶正交矩阵，为A的伴随矩阵， 则=
5． 设A为n阶方阵，是的个特征根，则 =

二、 选择题（共20分）

1． 将矩阵的第i列乘C加到第j列相当于对A：
A， 左乘一个m阶初等矩阵， B，右乘一个m阶初等矩阵
C， 左乘一个n阶初等矩阵， D，右乘一个n阶初等矩阵

2． 若A为m×n 矩阵，是维非零列向量，。集合则
A， 是维向量空间， B， 是n-r维向量空间
C，是m-r维向量空间， D， A，B，C都不对

3． 若n阶方阵A，B满足， ，则以下命题哪一个成立
A， ， B，
C， ， D，

4． 若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个成立：
A，矩阵为正交矩阵， B，矩阵 -为正交矩阵
C，矩阵为正交矩阵， D，矩阵 -为正交矩阵
5． 4n阶行列式的值为：
A， 1， B，-1
C， n D，-n

三、 解下列各题（共30分）
1．求向量，在基下的坐标。
2．设，求矩阵-A
3．计算行列式
4.计算矩阵列向量组生成的空间的一个基。
5. 设 计算det A

四、 证明题（10分）
设是齐次线性方程组的一个基础解系， 不是线性方程组的一个解，求证线性无关。

五、（8分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵

.

六、（8分） 取何值时，方程组
有无数多个解？并求通解

七、 （4分）设矩阵，，+都是可逆矩阵，证明矩阵也是可逆矩阵。

试卷(一)解答:

一. 1. 2. 3.
4. 5. 1,2,-3.
二. 1. D 2. A 3. D 4. D 5. D
三.
1.
2. .
3. 由有
.
4.
而向量组: 线性无关,可得 故 ，，为一个最大线性无关组.
5.
令 ，
则有：
解得：
ω的坐标为
四 解：
原方程组同解下面的方程组：

即：
令,求解得：（1，1，0，0，0）=η。
齐次方程组基础解系为：
。
五．解：

当时，由，求得基础解系：
当时，由，求得基础解系：
当时，由，求得基础解系：

单位化：
令，则

若则

六. 证明: 设
则:
于是
即 但 因此
从而有
又 线性无关, 因此 于是
故有 线性无关.

试卷(二)部分解答:

一．（3）已知向量组线性相关,求
解: 线性相关可求出

二.(8分) 设,且求矩阵B.
解: ,
可逆,且,
于是

五. (8分) 求下列方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系.

(与76页例4.17类似作)
六. (8分) 求出把二次型化为标准形的正交变换,并求出使为正定时参数的取值范围.
解: 二次型的矩阵为
由
得特征值
对
可得的一个基础解系为:
正交化: 取
对
可得的一个基础解系为:

将分别单位化,得:
取正交变换 ,则此正交变换将二次型化为标准形:
正定

七. (10分) 设三阶实对称矩阵的特征值为3(二重根)、4(一重根),是的属于特征值4的一个特征向量,求
解: 设的属于特征值3的特征向量为,由于实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交, 则有 即: 此方程的一个基础解系为: 则为的属于特征值3的两个线性无关的特征向量,于是:

=
八. (10分) 当为何值时,方程组

有惟一解、无穷多解、无解?

解: 记,
系数行列式
(1). 当 时, 由克莱姆法则知方程组有惟一解.
(2). 当 时, 于是
方程组无解.
(3). 当 时,

(i) 当时, 方程组有无穷多解.
(ii) 当时, 方程组无解.
九．(10分) (每小题5分,共10分) 证明下列各题
(1) 设是可逆矩阵, 证明也可逆, 且
(2) 设是非零向量,证明是矩阵的特征向量.
证明:
(1) 由于, 则存在可逆矩阵 使得 于是由可逆知也可逆,且
(2) 设 记

由 知为的属于的特征向量.

试卷(三):

一. 填空题（共20分）

1. 设A是矩阵， 是 维列向量，则方程组有唯一解的充分必要条件是：rank(A)=rank(A B)=n.
2. 已知为单位矩阵, 若可逆矩阵使得 则当可逆时, -27E. (利用)
3. 若t为实数, 则向量组α=（0，4，t），β=（2，3，1），γ=（t，2，3+t）的秩为: 3
4. 若A为2009阶正交矩阵，为A的伴随矩阵， 则=1
5. 设A为n阶方阵，是的个特征根，则 = 0

二. 选择题（共20分）

1. 如果将单位矩阵的第i行乘k加到第j行得到的矩阵为将矩阵的第i列乘k加到第j列相当于把A：(B)
A, 左乘一个 B，右乘一个
C． 左乘一个 D，右乘一个

2. 若A为m×n 矩阵，是维非零列向量，。集合, 则 (D)
A， 是维向量空间， B， 是n-r维向量空间
B， 是m-r维向量空间， D， A，B，C都不对

3. 若n阶方阵A满足 ，则以下命题哪一个成立 (B)
A， ， B，
C. ， D，

4. 若A是2n阶正交矩阵，则以下命题哪一个一定成立：(A)
A，矩阵为正交矩阵， B，矩阵 2为正交矩阵
C, 矩阵为正交矩阵， D，矩阵 为正交矩阵
5. 如果n阶行列式的值为-1,那么n的值可能为：(C)
A, 2007， B，2008
C, 2009, D，2000

三. 判断题 (每小题4分, 共12分)
(1) 对线性方程组的增广矩阵做初等变换,对应的线性方程组的解不变. ( 错 )
(2) 实对称矩阵的特征值为实数. ( 对 )
(3) 如果矩阵的行列式为零, 那么这个矩阵或者有一行(列)的元素全为零, 或者有两行(列)的元素对应成比例. ( 错 )

四. 解下列各题（每小题8分, 共16分）
1．求向量，在基下的坐标.（坐标为: ）
2．设计算.
解:

五.(10分) 求矩阵列向量组生成的子空间的一个标准正交基.
解: 先求矩阵列向量组生成的子空间的一个基.由于

可知的前三列线性无关,为子空间的一个基.记
将其正交化.令

再单位化,令

则 为所求标准正交基.

六. 证明题（6分）设是m行n列矩阵, 如果线性方程组对于任意m维向量都有解，证明的秩等于m.
证明: 设, 则 为m维向量组. 由于线性方程组对于任意m维向量都有解, 现分别取等于m维基本单位向量: , 可知向量组可由向量组线性表示, 又向量组可由向量组线性表示, 于是向量组与向量组等价, 故

七、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵
.
解: 设

对特征值由，求得基础解系：
对特征值，由，求得基础解系：
对特征值，由，求得基础解系：
已两两正交, 再单位化：

令，则为正交阵, 且.

正交变换为将二次型化为标准形:

八、（6分）设矩阵，都是正定矩阵，证明矩阵也是正定矩阵.
证明: 由于矩阵，都是正定矩阵,则对于任一有

从而 故是正定矩阵.

试卷(四):

一. 填空题（每小题4分，共20分）
1.设是矩阵,那么的秩不超过的充分必要条件是:的阶子式全为0.
2.已知为单位矩阵，若,则当可逆时,
3.若向量组的秩为2时,0或
4. 若为2009阶正交矩阵, 为的伴随矩阵,则
5. 设为阶方阵,是的个特征值,则0.
二. 选择题 （每小题4分，共20分）
1. 如果将单位矩阵的第i行乘k加到第j行得到的矩阵为那么的逆矩阵是：(D).
A, B，
a) D，

2. 若A为m×n 矩阵，,令集合, 则(B)
A, 是空集; B， 只含一个元素;
C, 含有两个以上元素 D， A，B，C都不对

3. 若n阶方阵A满足 ，则以下命题哪一个成立(B)
A， ， B，
C. ， D，

4. 若A,B都是n阶对称矩阵，则以下命题哪一个不一定成立：(B)
A，矩阵为对称矩阵， B，矩阵为对称矩阵
C, 矩阵为对称矩阵， D，矩阵为对称矩阵
5. 如果n(n>1)阶行列式的第i行第j列元素的代数余子式的值为-1,那么i+j-n的值：(B) (因(i,j)元素必在次对角线上)
A, 为0， B，为1
C, 为2, D，无法确定.

三. 判断题 (每小题4分, 共12分)
(1) 对一个线性方程组做初等变换,线性方程组的解不变. ( 对 )
(2) 正交矩阵的特征值是实数. ( 错 )
(3)一个可逆矩阵A与它的转置矩阵的乘积是正定的. ( 对 )

四. 解下列各题（每小题8分, 共16分）
1．求单位向量，它在基下的坐标向量也是.
解: 设,由题意, 即

于是有

解得 又由为单位向量知 因此 故所求向量 或

2．设n阶方阵计算

解: (将第2至n行加到第一行)

五.(10分) 求矩阵的逆矩阵.

解:

于是

六. 证明题（6分）设是m行n列矩阵,证明
证明: 设
则
设是A的一个最大线性无关组，是B的一个最大线性无关组,则，
由于可由线性表示，可由线性表示，
可由，线性表示，
从而
即

七、（6分）证明任何一个方阵都可以表为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.

证明: 设为任一方阵, 记

由于

则为对称矩阵, 为反对称矩阵, 而 故得证.

八、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出该正交变换所对应的正交变换矩阵

解答见课件.

试卷(五):

一. 填空题（每小题4分，共20分）
1.设是矩阵,那么可逆的条件是:
2.矩阵是二次型的矩阵的条件是: .
3.设则.
4．若为2010阶正交矩阵, 则
5．将单位矩阵的第i行乘k加到第j行得到的矩阵记为设是的个特征值， 则= 1 .
二. 选择题 （每小题4分，共20分）
1. 如果将单位矩阵的第i行乘k得到的矩阵设为那么的逆矩阵是：A.
A, B，
C, D，

2. 若A为m×n 矩阵，令集合, 则D.
A, 是空集; B， 只含一个元素;
C, 含有两个以上元素 D， 是非空集合.

3. 若n阶方阵满足 ，则以下命题哪一个成立B.
A， ， B， 是可逆矩阵
C. ， D，

4. 若A是n阶矩阵，则以下命题哪一个不成立：B.
A，矩阵为对称矩阵， B，矩阵为对称矩阵，
C, 矩阵为对称矩阵， D，矩阵为对称矩阵
5. 如果n(n>1)阶矩阵的行向量线性无关，那么：B.
A, 的行列式为0， B，的列向量线性无关
C, 的秩为0, D，以为系数矩阵的线性方程组有非零解.

三. 判断题 (每小题4分, 共12分)
(1) 已知是阶矩阵，如果，那么. ( 错 )
(2) 如果一个向量组线性无关，那么它的任意一部分向量也线性无关. ( 对 )
(3) 如果一个矩阵A是正定的, 那么它的行列式大于0. ( 对 )

四. 解下列各题（每小题8分, 共16分）
1．求所有向量，它与是正交的.
解: 设,由题意知 即

解得 故所求向量 ,为任意常数.

2．设n阶方阵计算.

解: (将第2至n行加到第一行)

五.(10分) 求矩阵的伴随矩阵.

解:先求 的逆矩阵.
由于

,

于是, 所求伴随矩阵

六. 证明题（6分） 设是n阶方阵,如果可逆,证明与相似.
证明: 由于可逆, 利用可知与相似.

七、（6分）证明任何一个秩为2的正惯性指数为1的二次型都可以表为两个一次多项式的乘积.

证明: 设此二次型为:, 其中,由于它的秩为2,且正惯性指数为1,由惯性定理,可作一可逆变换: 将其化为规范形
由可设 则有
于是

为两个一次多项式的乘积.

八、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出该正交变换所对应的正交变换矩阵

解: 设

对特征值由，求得基础解系：
将其正交化:

对特征值，由，求得基础解系：
再单位化：

令，则为正交阵, 且.

正交变换为将二次型化为标准形:

姓名 学号 学院 专业 座位号
( 密 封 线 内 不 答 题 )
……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线………………………………………

_____________ ________
…

诚信应考,考试作弊将带来严重后果！
期末考试
《 线性代数与几何 》试卷A
（试卷号：1 时间120分钟，总分100）
注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；
2. 所有答案请直接答在试卷上( 密封线装订区内、草稿纸上答题均无效)；
3．考试形式：闭卷；
4. 本试卷共 五 大题，满分100分， 考试时间120分钟。
题 号
一
二
三
四
五
总分
得 分

评卷人

一、 计算（12分）
1．；
解

2．
解

二、 求解非齐次方程组（要求用导出组的基础解系表示其通解）（13分）

解 对増广矩阵作初等行变换如下

等价方程组为，令
即得，从而
三、 （12分）设向量可被向量组线性表出，但不能被向量组线性表出。证明：向量组与向量组等价。
证 因为向量可被向量组线性表出，所以存在不全为零的数使得。又不能被向量组线性表出，从而，否则矛盾。于是有，进而向量组的每一个向量都可被向量组线性表出，而且向量的每一个向量都也可被向量组线性表出，从而这两个向量组等价。
四、 （12分）求过点，且平行于平面和的直线的对称式方程。
解 平面和的法向量分别为，
从而取所求直线的方向向量为

直线的对称式方程为。

五、 （20分）设有实对称矩阵
1、写出所对应的二次型；2、用正交变换法化该二次型为标准型，并写出所用的正交矩阵。
解 1、所对应的二次型；
2、由
，得特征根。
由，取为特征向量，已经正交的了（不然就要用施密特方法），单位化有；
由，取为特征向量，单位化有
从而用正交矩阵为的正交变换化该二次型为标准型。

六、 （12分）当为何值时，线性方程组有惟一解？无解？有无穷多解？有解时求出解。
解 对増广矩阵作初等行变换如下

从而当时，方程组无解；
当时，方程组有唯一解；这时
，
当时，方程组无限多组解，此时
，等价方程组，令得
为任意常数。
七、 （12分）设向量组。求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量由此极大无关组线性表出。
解
，从而该向量组的秩为3，一个极大线性无关组为，其余向量由此极大无关组线性表出为。
八、（7分）设均为矩阵。若对任意维列向量：都有。证明
证 由于对任意维列向量：都有，现在特殊化，取阶单位阵的个列向量，也有。
从而

姓名 学号 学院 专业 座位号
( 密 封 线 内 不 答 题 )
……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线………………………………………

_____________ ________
…

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（试卷号：1 时间120分钟，总分100）
注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；
2. 所有答案请直接答在试卷上( 密封线装订区内、草稿纸上答题均无效)；
3．考试形式：闭卷；
4. 本试卷共 五 大题，满分100分， 考试时间120分钟。
题 号
一
二
三
四
五
总分
得 分

评卷人

八、 计算（12分）
1．；2．
九、 求解非齐次方程组（要求用导出组的基础解系表示其通解）（13分）

十、 （12分）设向量可被向量组线性表出，但不能被向量组线性表出。证明：向量组与向量组等价。
十一、 （12分）求过点，且平行于平面和的直线的对称式方程。
十二、 （20分）设有实对称矩阵
1、写出所对应的二次型；2、用正交变换法化该二次型为标准型，并写出所用的正交矩阵。
十三、 （12分）当为何值时，线性方程组有惟一解？无解？有无穷多解？有解时求出解。
十四、 （12分）设向量组。求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其与向量由此极大无关组线性表出。
十五、 （7分）设均为矩阵。若对任意维列向量：都有。证明
。
线性代数期末试题及参考答案
一、判断题(正确填T，错误填F。每小题2分，共10分)
1． A是n阶方阵，，则有。 （ ）
2． A，B是同阶方阵，且，则。 （ ）
3．如果与等价，则的行向量组与的行向量组等价。 ( )
4．若均为阶方阵，则当时，一定不相似。 ( )
5．n维向量组线性相关，则也线性相关。 （ ）
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．下列矩阵中，（      ）不是初等矩阵。
（A） (B) (C) (D)
2．设向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。
（A） （B）
（C） （D）
3．设A为n阶方阵，且。则（　　　）
(A) (B) (C) (D)
4．设为矩阵，则有（ ）。
（A）若，则有无穷多解；
（B）若，则有非零解，且基础解系含有个线性无关解向量；
（C）若有阶子式不为零，则有唯一解；
（D）若有阶子式不为零，则仅有零解。
5．若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则（ ）
（A）A与B相似 （B），但|A-B|=0
（C）A=B （D）A与B不一定相似，但|A|=|B|
三、填空题（每小题4分，共20分）
1． 。
2．为3阶矩阵，且满足3,则=______， 。
3．向量组，，，是线性 （填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是 。
4． 已知是四元方程组的三个解，其中的秩=3，，，则方程组的通解为 。
5．设，且秩(A)=2，则a=　　　 　　　　。
四、计算下列各题（每小题9分，共45分）。
1．已知A+B=AB，且，求矩阵B。
2.设，而，求。
3.已知方程组有无穷多解，求a以及方程组的通解。
4.求一个正交变换将二次型化成标准型

5． A，B为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩阵A的特征值；（2）A是否可相似对角化？为什么？；（3）求|A+3E|。
五．证明题（每题5分，共10分）。
1．若是对称矩阵，是反对称矩阵，是否为对称矩阵？证明你的结论。
2．设为矩阵，且的秩为n，判断是否为正定阵？证明你的结论。

线性代数试题解答
一、
1．（F）（）
2．（T）
3．（F）。如反例：，。
4．（T）（相似矩阵行列式值相同）
5．（F）
二、
1．选B。初等矩阵一定是可逆的。
2．选B。A中的三个向量之和为零，显然A线性相关； B中的向量组与，，等价, 其秩为3，B向量组线性无关；C、D中第三个向量为前两个向量的线性组合，C、D中的向量组线性相关。
3．选C 。由，
)。
4．选D。A错误，因为，不能保证；B错误，的基础解系含有个解向量；C错误，因为有可能，无解；D正确，因为。
5．选A。A正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵，使得，因此都相似于同一个对角矩阵。
三、1． （按第一列展开）
2． ；（=）
3． 相关（因为向量个数大于向量维数）。 。因为，。
4． 。因为，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。
5．（
四、
1．解法一：。将与组成一个矩阵，用初等行变换求。
=

。故 。
解法二：。
，因此。
2．解：，，
。
3．解法一：由方程组有无穷多解，得，因此其系数行列式。即或。
当时，该方程组的增广矩阵

于是，方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个基础解系，原方程组的一个特解，故时，方程组有无穷多解，其通解为，
当时增广矩阵，，此时方程组无解。
解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。
由于该方程组有无穷多解，得。因此，即。求通解的方法与解法一相同。
4．解：首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵
，
因此得到其特征值为，。
再求特征值的特征向量。
解方程组，得对应于特征值为的两个线性无关的特征向量，。
解方程组得对应于特征值为的一个特征向量。
再将，正交化为，。
最后将，，单位化后组成的矩阵即为所求的正交变换矩阵，其标准形为。
5． 解：（1）由知-1，2为的特征值。，故-2为的特征值，又的秩为2，即特征值-2有两个线性无关的特征向量，故的特征值为-1，2，-2，-2。
（2）能相似对角化。因为对应于特征值-1，2各有一个特征向量，对应于特征值-2有两个线性无关的特征向量，所以有四个线性无关的特征向量，故可相似对角化。
（3）的特征值为2，5，1，1。故=10。
五、1．为对称矩阵。
证明：
===，
所以为对称矩阵。
2．为正定矩阵。
证明：由知为对称矩阵。对任意的维向量，由得， =，由定义知是正定矩阵。

姓名 学号 学院 专业 座位号
( 密 封 线 内 不 答 题 )
……………………………………………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………线………………………………………

_____________ ________
…

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华南理工大学期末考试（A卷）
《 线性代数 》试卷
注意事项：1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚；
2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；
3．考试形式：闭卷；
4. 本试卷共 六 大题，满分100分， 考试时间120分钟。
题 号
一
二
三
四
五
六
总分
得 分

评卷人

一、 填空题（共20分）

十六、 设A是矩阵， 是 维列向量，则方程组无解的充分必要条件是：
十七、 已知可逆矩阵P使得，则
十八、 若向量组α=（0，4，t），β=（2，3，1），γ=（t，2，3）的秩为2，则t=
十九、 若A为2n阶正交矩阵，为A的伴随矩阵， 则=
二十、 设A为n阶方阵，是的个特征根，则 =

二、 选择题（共20分）

1． 将矩阵的第i列乘C加到第j列相当于对A：
A， 左乘一个m阶初等矩阵， B，右乘一个m阶初等矩阵
C， 左乘一个n阶初等矩阵， D，右乘一个n阶初等矩阵

2． 若A为m×n 矩阵， 是 维 非零列向量，。集合则
A， 是维向量空间， B， 是n-r维向量空间
C，是m-r维向量空间， D， A，B，C都不对

3． 若n阶方阵A，B满足， ，则以下命题哪一个成立
A， ， B，
C， ， D，

4． 若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个成立：
A，矩阵为正交矩阵， B，矩阵 -为正交矩阵
C，矩阵为正交矩阵， D，矩阵 -为正交矩阵
5． 4n阶行列式的值为：
A， 1， B，-1
C， n D，-n

三、 解下列各题（共30分）
1．求向量，在基下的坐标。

2．设，求矩阵-A

3．计算行列式

4.计算矩阵列向量组生成的空间的一个基。

5. 设 计算det A

四、 证明题（10分）
设是齐次线性方程组的一个基础解系， 不是线性方程组的一个解，求证线性无关。

五、（8分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵

六、（8分） 取何值时，方程组
有无数多个解？并求通解

七、（4分）设矩阵，，+都是可逆矩阵，证明矩阵也是可逆矩阵。

《2007年线性代数》参考答案

一 填空题 每个四分
(1) rankA<rank(A|B) 或者 rankA rank(A|B)

(2)
(3) t=
(4)
(5) 0
二 选择题
(1) D (2) D (3) C (4) 都对 (5) A

三 解答题
(1) 设向量在基下的坐标为，则

（4分）
（6分）

(2)
（2分）

（6分）
(3)
（6分）
（4）
（4分