2022年线性代数期末试题及参考答案.doc

线性代数期末试题及参考答案一、判断题(正确填T，错误填F。每小题2分，共10分) 1 A是n阶方阵，则有。 （ ）2 A，B是同阶方阵，且，则。 （ ）3如果与等价，则的行向量组与的行向量组等价。 ( )4若均为阶方阵，则当时，一定不相似。 ( )5n维向量组线性相关，则也线性相关。 （ ）二、单项选择题（每小题3分，共15分）1下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。（A） (B) (C) (D) 2设向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。（A） （B） （C） （D）3设A为n阶方阵，且。则（） (A) (B) (C) (D) 4设为矩阵，则有（ ）。（A）若，则有无穷多解；（B）若，则有非零解，且基础解系含有个线性无关解向量；（C）若有阶子式不为零，则有唯一解；（D）若有阶子式不为零，则仅有零解。5若n阶矩阵A，B有共同的特征值，且各有n个线性无关的特征向量，则（ ） （A）A与B相似 （B），但|A-B|=0 （C）A=B （D）A与B不一定相似，但|A|=|B| 三、填空题（每小题4分，共20分）1 。2为3阶矩阵，且满足3,则=_， 。3向量组，是线性 （填相关或无关）的，它的一个极大线性无关组是 。4 已知是四元方程组的三个解，其中的秩=3，则方程组的通解为 。5设，且秩(A)=2，则a= 。四、计算下列各题（每小题9分，共45分）。1已知A+B=AB，且，求矩阵B。2.设，而，求。3.已知方程组有无穷多解，求a以及方程组的通解。4.求一个正交变换将二次型化成标准型5 A，B为4阶方阵，AB+2B=0，矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩阵A的特征值；（2）A是否可相似对角化？为什么？；（3）求|A+3E|。五证明题（每题5分，共10分）。1若是对称矩阵，是反对称矩阵，是否为对称矩阵？证明你的结论。2设为矩阵，且的秩为n，判断是否为正定阵？证明你的结论。线性代数试题解答一、1（F）（）2（T） 3（F）。如反例：，。4（T）（相似矩阵行列式值相同）5（F）二、1选B。初等矩阵一定是可逆的。2选B。A中的三个向量之和为零，显然A线性相关； B中的向量组与，等价, 其秩为3，B向量组线性无关；C、D中第三个向量为前两个向量的线性组合，C、D中的向量组线性相关。3选C 。由，)。4选D。A错误，因为，不能保证；B错误，的基础解系含有个解向量；C错误，因为有可能，无解；D正确，因为。5选A。A正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵，使得，因此都相似于同一个对角矩阵。三、1 （按第一列展开）2 ；（=）3 相关（因为向量个数大于向量维数）。 。因为，。4 。因为，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。5（四、1解法一：。将与组成一个矩阵，用初等行变换求。=。故 。解法二：。，因此。2解：，。3解法一：由方程组有无穷多解，得，因此其系数行列式。即或。当时，该方程组的增广矩阵于是，方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个基础解系，原方程组的一个特解，故时，方程组有无穷多解，其通解为，当时增广矩阵，此时方程组无解。解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。由于该方程组有无穷多解，得。因此，即。求通解的方法与解法一相同。4解：首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵，因此得到其特征值为，。再求特征值的特征向量。解方程组，得对应于特征值为的两个线性无关的特征向量，。解方程组得对应于特征值为的一个特征向量。再将，正交化为，。最后将，单位化后组成的矩阵即为所求的正交变换矩阵，其标准形为。5 解：（1）由知-1，2为的特征值。，故-2为的特征值，又的秩为2，即特征值-2有两个线性无关的特征向量，故的特征值为-1，2，-2，-2。（2）能相似对角化。因为对应于特征值-1，2各有一个特征向量，对应于特征值-2有两个线性无关的特征向量，所以有四个线性无关的特征向量，故可相似对角化。（3）的特征值为2，5，1，1。故=10。五、1为对称矩阵。 证明： =，所以为对称矩阵。2为正定矩阵。证明：由知为对称矩阵。对任意的维向量，由得， =，由定义知是正定矩阵。姓名 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线_ _ 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！ 华南理工大学期末考试（A卷） 线性代数 试卷注意事项：1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3考试形式：闭卷； 4. 本试卷共 六 大题，满分100分，考试时间120分钟。题 号一二三四五六总分得 分评卷人一、 填空题（共20分）1 设A是矩阵， 是 维列向量，则方程组无解的充分必要条件是：2 已知可逆矩阵P使得，则3 若向量组=（0，4，t），=（2，3，1），=（t，2，3）的秩为2，则t=4 若A为2n阶正交矩阵，为A的伴随矩阵， 则=5 设A为n阶方阵，是的个特征根，则 = 二、 选择题（共20分）1 将矩阵的第i列乘C加到第j列相当于对A：A， 左乘一个m阶初等矩阵， B，右乘一个m阶初等矩阵 C， 左乘一个n阶初等矩阵， D，右乘一个n阶初等矩阵 2 若A为mn 矩阵， 是 维 非零列向量，。集合则A， 是维向量空间， B， 是n-r维向量空间C，是m-r维向量空间， D， A，B，C都不对3 若n阶方阵A，B满足， ，则以下命题哪一个成立A， ， B， C， ， D， 4 若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个成立：A，矩阵为正交矩阵， B，矩阵 -为正交矩阵C，矩阵为正交矩阵， D，矩阵 -为正交矩阵5 4n阶行列式的值为：A， 1， B，-1C， n D，-n 三、 解下列各题（共30分）1求向量，在基下的坐标。2设，求矩阵-A3计算行列式4.计算矩阵列向量组生成的空间的一个基。5. 设 计算det A四、 证明题（10分）设是齐次线性方程组的一个基础解系， 不是线性方程组的一个解，求证线性无关。五、（8分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵 六、（8分） 取何值时，方程组 有无数多个解？并求通解七、（4分）设矩阵，+都是可逆矩阵，证明矩阵也是可逆矩阵。2007年线性代数参考答案一 填空题 每个四分(1) rankArank(A|B) 或者 rankA rank(A|B)(2)(3) t= (4) (5) 0二 选择题(1) D (2) D (3) C (4) 都对 (5) A三 解答题 (1) 设向量在基下的坐标为，则 （4分） （6分） (2) （2分） （6分）(3) （6分）（4）（4分） （6分） （5） （6分）四 证明： 五、A=, (2分) | |= （5分）P= （7分）+ （8分） 六，证明 七