《线性代数》期末考试题A题参考答案与评分标准21年XX学校X专业.doc

一、 填空题 （将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）
1、设 ， ，则==_____________。
2、四阶方阵，已知=，且，则=_____________。
3、三阶方阵的特征值为1，-1，2，且，则的特征值为_____________。
4、若n阶方阵满足关系式，若其中是单位阵，那么=_____________。
5、设，，线性相关，则t=_____________。
二、单项选择题 （每小题仅有一个正确答案，将正确答案的番号填入下表内，每小题2分，共20分）
1、若方程成立，则x是
（A）-2或3； （B）-3或2；
（C）-2或-3； （D）3或2；
2、设A、B均为n阶方阵，则下列正确的公式为
（A）； （B）；
（C）； （D）
3、设A为可逆n阶方阵，则=
（A）； （B）A；
（C）； （D）；
4、下列矩阵中哪一个是初等矩阵
（A）； （B）；
（C）； （D）；
5、下列命题正确的是
（A）如果有全为零的数 使，则，， 线性无关；
（B）向量组，， 若其中有一个向量可由向量组线性表示，则，，线性相关；
（C）向量组，， 的一个部分组线性相关，则原向量组本身线性相关；
（D）向量组，，线性相关，则每一个向量都可由其余向量线性表示。
6、，，和，，，为两个n维向量组，且
=+++
=+++

=+++
则下列结论正确的是
（A）
（B）
（C）
（D）无法判定
7、设A为n阶实对称方阵且为正交矩阵，则有
（A）A=E （B）A相似于E （C） （D）A合同于E
8、若是线性方程组的基础解系，则+++是的
（A）解向量 （B）基础解系 （C）通解； （D）A的行向量；
9、 都是n阶矩阵A的特征值，，且和分别是对应于和的特征向量，当 满足什么条件时，必是矩阵A的特征向量。
（A）且； （B），
（C） （D）而
10、下列哪一个二次型的矩阵是
（A）； （B）;
(C); (D);
三、计算题（每小题9分，共63分）
1、设3阶矩阵，， ，其中均是3维行向量，且已知行列式，，求
2、解矩阵方程，其中
，
3、设有三维列向量组
， ， ，
为何值时：
（1）可由，，线性表示，且表示式是唯一的；
（2）不能由，，线性表示；
（3）可由，，线性表示，且有无穷种表示式，并写出表示式。
4、已知四元非齐次线性方程组满足，是的三个解向量，其中
，
求的通解。
5、已知A=B，且，
求a , b
6、齐次线性方程组

中当a为何值时，有非零解，并求出通解。
7、用正交变换法化二次型为标准型，并求出正交变换。
四、证明题（7分）
设A为m×n矩阵，B为n 阶矩阵，已知
证明：若，则

《线性代数》期末考试题A题参考答案与评分标准
一、 填空题
1、-10； 2、81； 3、4，6，12； 4、； 5、5；
一、 二、单项选择题(每小题2分，共20分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案番 号
A
C
D
B
C
C
C
A
D
C
一、 三、计算题(每小题9分，共63分)
1、 （2分）
=+ （4分）
=+ （7分）
=2×18+12×2=60 （9分）
2、 （2分）
（3分）
（5分）
（7分）
（9分）
3、设

且时，方程组有唯一解
即可由，，唯一线性表示，
（2）当时

无解
即当时，不能由，，线性表示 （6分）
（3）当时

有无穷组解
基础解系为：，
通解为
当时 可由，，线性表示为无穷多种形式
，为任意常数 （9分）
4、的基础解系含一个解 （2分）
（i=1，2，3）
设 （4分）
为基础解系 （6分）

为特解 （8分）
故的通解为 c为任意常数 （9分）
5、
（2分）
（4分）
（6分）
比较同次幂系数有
(8分)
解之， 得 （9分）
6、 （3分）
当时， 有非零解 （5分）
基础解系为 （8分）
通解为 c为任意常数 （9分）
7、 （3分）
特征值为， （4分）
特征向量为 ，， （6分）
正交单位化为 ，， （7分）
标准型为 （8分）
正交变换为 （9分）
四、证明题（）

（2分）

B的每一列向量为齐次方程组的解 （4分）
由于 只有零解

线性代数期末考试题

一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）
1. 若，则__________。
2．若齐次线性方程组只有零解，则应满足 。
3．已知矩阵，满足，则与分别是 阶矩阵。
4．矩阵的行向量组线性 。
5．阶方阵满足，则 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分）
1. 若行列式中每个元素都大于零，则。（ ）
2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ）
3. 向量组中，如果与对应的分量成比例，则向量组线性相关。（ ）
4. ，则。（ ）
5. 若为可逆矩阵的特征值，则的特征值为。 ( )
三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分)
1. 设为阶矩阵，且，则（ ）。
① ② ③ ④ 4
2. 维向量组 （3 £ s £ n）线性无关的充要条件是（ ）。
① 中任意两个向量都线性无关
② 中存在一个向量不能用其余向量线性表示
③ 中任一个向量都不能用其余向量线性表示
④ 中不含零向量
3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意个维向量线性相关
② 任意个维向量线性无关
③ 任意个 维向量线性相关
④ 任意个 维向量线性无关
4. 设，均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。
① 若，均可逆，则可逆 ② 若，均可逆，则 可逆
③ 若可逆，则 可逆 ④ 若可逆，则 ，均可逆
5. 若是线性方程组的基础解系，则是的（ ）
① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A的行向量
四、计算题 ( 每小题9分，共63分)
1. 计算行列式。

2. 设，且 求。

3. 设 且矩阵满足关系式 求。

4. 问取何值时，下列向量组线性相关？。

5. 为何值时，线性方程组有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。

6. 设 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

7. 设，求的特征值及对应的特征向量。
五、证明题 (7分)
若是阶方阵，且 证明 。其中为单位矩阵。

线性代数期末考试题答案

一、填空题
1. 5 2. 3. 4. 相关
5.
二、判断正误
1. × 2. √ 3. √ 4. √ 5. ×
三、单项选择题
1. ③ 2. ③ 3. ③ 4. ② 5. ①
四、计算题
1.

2.
，

3.

4.
当或时，向量组线性相关。

5.
① 当且时，方程组有唯一解；
②当时方程组无解
③当时，有无穷多组解，通解为

6.

则 ，其中构成极大无关组，

7.

特征值，对于λ1＝1，，特征向量为
五、证明题

∴， ∵