2022年线性代数与几何测试卷4套统考题及答案.doc

线性代数与几个测试卷4套统考题及答案

试卷（一）：

一. 填空题（共20分）
1.若是6阶方阵的伴随矩阵，且_______.
2. 设，则
3. 设是的子空间，则V 的维数是__________.
4. 对称矩阵A 的全部特征值为4,-5,3,2,若已知矩阵为正定矩阵,则常数 必须大于数值____________.
5. 已知阶矩阵,则矩阵的逆是

__________________.

二．选择题（共20分）
1. 若是 阶方阵, 下列等式中恒等的表达式是（ ）
(A) ； (B) ；
(C）； 　 (D) .
2. 若为阶方阵,则为正交矩阵的充分必要条件不是 ( )
(A) 的列向量构成单位正交基； (B) 的行向量构成单位正交基；
(C) ； (D)
3. 若是空间的一个维子空间,是的一组基;是空间的一个维子空间, 是的一组基,且则:（ ）
(A) 向量组可以由向量组线性表示；
(B) 向量组可以由向量组线性表示；
(C) 向量组与向量组可以相互线性表示； (D) 向量组与向量组不能相互线性表示.
4. 若是实对称方阵A的两个不同特征根, 是对应的特征向量,则以下命题哪一个不成立 ( )
(A) 都是实数； (B) 一定正交；
(C) 有可能是的特征向量； (D) 有可能是的特征根.
5. 已知为阶方阵,且非齐次线性方程组的个线性无关解为 则的通解为( ).
(A) ；
(B) ；
(C) ；
(D) .

三. 解下列各题 (共25分)

1. 若为3阶方阵,且, 求:
.
2. 设 ,求矩阵.
3. 计算向量在基下的坐标.
4. 设向量组
求向量组的一个最大线性无关组.
5. 利用分块矩阵方法,计算的逆矩阵.

四. 证明题 (8分) 设维向量组和向量组有关系

问维向量组和向量组是否同秩? 证明你的结论.
五. (8分) 二次型 通过正交变换, 可将此二次型化为标准形求参数及所用正交变换.

六. (8分) 求线性方程组

的通解.

七.(6分) 解矩阵方程,并写出解方程时初等矩阵的变换过程

八. (5分) 设是4阶方阵,且的特征根互不相同,证明:
(1) 方阵有四个线性无关的特征向量.
(2) 方阵可以对角化.

试卷(二):

一．计算下列各题：（每小题6分，共30分）
（1）
（2）求其中

（3）已知向量组线性相关,求
(4) 求向量在基下的坐标.
(5) 设, 求的特征值.
二.(8分) 设,且求矩阵B.
三. (8分) 计算行列式:

四. (8分) 设有向量组
求该向量组的秩以及它的一个最大线性无关组.

五. (8分) 求下列方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系.

六. (8分) 求出把二次型化为标准形的正交变换,并求出使为正定时参数的取值范围.
七. (10分) 设三阶实对称矩阵的特征值为3(二重根)、4(一重根),是的属于特征值4的一个特征向量,求
八. (10分) 当为何值时,方程组

有惟一解、无穷多解、无解?
九．(10分) (每小题5分,共10分) 证明下列各题
(1) 设是可逆矩阵, 证明也可逆, 且
(2) 设是非零向量,证明是矩阵的特征向量.

试卷(三):

一． 填空题（每小题4分，共20分）
1． 已知正交矩阵使得，则
2． 设为阶方阵，为的个特征值，则
3． 设是矩阵，是维列向量，则方程组有无数多个解的充分必要条件是：
4． 若向量组的秩为2,则
5． 则的全部根为:_________.
二． 选择题 （每小题4分，共20分）
1.行列式的值为( ).

A. 1 B. -1
C. D.
2. 对矩阵施行一次行变换相当于( ).
A. 左乘一个阶初等矩阵 B. 右乘一个阶初等矩阵
C. 左乘一个阶初等矩阵 D. 右乘一个阶初等矩阵
3. 若为矩阵, 则( ).
A. 是维向量空间 B. 是维向量空间
C. 是维向量空间 D. 是维向量空间
4. 若阶方阵满足, 则下列命题哪一个成立 ( ).
A. B.
C. D.
5. 若是阶正交矩阵,则下列命题哪一个不成立( ).
A. 矩阵为正交矩阵 B. 矩阵为正交矩阵
C. 矩阵的行列式是 D. 矩阵的特征值是

三. 解下列各题（每小题6分,共30分）
1. 若为3阶正交矩阵, 为的伴随矩阵, 求
2. 计算行列式
3. 设求矩阵
4. 求向量组的一个 最大无关组.
5. 求向量在基下的坐标.
四. (12分) 求方程组

的通解(用基础解系与特解表示).
五.(12分) 用正交变换化下列二次型为标准型, 并写出正交变换矩阵

六. 证明题(6分)
设是线性方程组对应的齐次线性方程组的一个
基础解系,是线性方程组的一个解, 求证线性无关.

试卷(四):

一、 填空题（共20分）

1． 设A是矩阵， 是 维列向量，则方程组无解的充分必要条件是：
2． 已知可逆矩阵P使得，则
3． 若向量组α=（0，4，t），β=（2，3，1），γ=（t，2，3）的秩为2，则t=
4． 若A为2n阶正交矩阵，为A的伴随矩阵， 则=
5． 设A为n阶方阵，是的个特征根，则 =

二、 选择题（共20分）

1． 将矩阵的第i列乘C加到第j列相当于对A：
A， 左乘一个m阶初等矩阵， B，右乘一个m阶初等矩阵
C， 左乘一个n阶初等矩阵， D，右乘一个n阶初等矩阵

2． 若A为m×n 矩阵，是维非零列向量，。集合则
A， 是维向量空间， B， 是n-r维向量空间
C，是m-r维向量空间， D， A，B，C都不对

3． 若n阶方阵A，B满足， ，则以下命题哪一个成立
A， ， B，
C， ， D，

4． 若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个成立：
A，矩阵为正交矩阵， B，矩阵 -为正交矩阵
C，矩阵为正交矩阵， D，矩阵 -为正交矩阵
5． 4n阶行列式的值为：
A， 1， B，-1
C， n D，-n

三、 解下列各题（共30分）
1．求向量，在基下的坐标。
2．设，求矩阵-A
3．计算行列式
4.计算矩阵列向量组生成的空间的一个基。
5. 设 计算det A

四、 证明题（10分）
设是齐次线性方程组的一个基础解系， 不是线性方程组的一个解，求证线性无关。

五、（8分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵

.

六、（8分） 取何值时，方程组
有无数多个解？并求通解

七、 （4分）设矩阵，，+都是可逆矩阵，证明矩阵也是可逆矩阵。

试卷(一)解答:

一. 1. 2. 3.
4. 5. 1,2,-3.
二. 1. D 2. A 3. D 4. D 5. D
三.
1.
2. .
3. 由有
.
4.
而向量组: 线性无关,可得 故 ，，为一个最大线性无关组.
5.
令 ，
则有：
解得：
ω的坐标为
四 解：
原方程组同解下面的方程组：

即：
令,求解得：（1，1，0，0，0）=η。
齐次方程组基础解系为：
。
五．解：

当时，由，求得基础解系：
当时，由，求得基础解系：
当时，由，求得基础解系：

单位化：
令，则

若则

六. 证明: 设
则:
于是
即 但 因此
从而有
又 线性无关, 因此 于是
故有 线性无关.

试卷(二)部分解答:

一．（3）已知向量组线性相关,求
解: 线性相关可求出

二.(8分) 设,且求矩阵B.
解: ,
可逆,且,
于是

五. (8分) 求下列方程组的通解以及对应的齐次方程组的一个基础解系.

(与76页例4.17类似作)
六. (8分) 求出把二次型化为标准形的正交变换,并求出使为正定时参数的取值范围.
解: 二次型的矩阵为
由
得特征值
对
可得的一个基础解系为:
正交化: 取
对
可得的一个基础解系为:

将分别单位化,得:
取正交变换 ,则此正交变换将二次型化为标准形:
正定

七. (10分) 设三阶实对称矩阵的特征值为3(二重根)、4(一重根),是的属于特征值4的一个特征向量,求
解: 设的属于特征值3的特征向量为,由于实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交, 则有 即: 此方程的一个基础解系为: 则为的属于特征值3的两个线性无关的特征向量,于是:

=
八. (10分) 当为何值时,方程组

有惟一解、无穷多解、无解?

解: 记,
系数行列式
(1). 当 时, 由克莱姆法则知方程组有惟一解.
(2). 当 时, 于是
方程组无解.
(3). 当 时,

(i) 当时, 方程组有无穷多解.
(ii) 当时, 方程组无解.
九．(10分) (每小题5分,共10分) 证明下列各题
(1) 设是可逆矩阵, 证明也可逆, 且
(2) 设是非零向量,证明是矩阵的特征向量.
证明:
(1) 由于, 则存在可逆矩阵 使得 于是由可逆知也可逆,且
(2) 设 记

由 知为的属于的特征向量.

试卷(三):

一. 填空题（共20分）

1. 设A是矩阵， 是 维列向量，则方程组有唯一解的充分必要条件是：rank(A)=rank(A B)=n.
2. 已知为单位矩阵, 若可逆矩阵使得 则当可逆时, -27E. (利用)
3. 若t为实数, 则向量组α=（0，4，t），β=（2，3，1），γ=（t，2，3+t）的秩为: 3
4. 若A为2009阶正交矩阵，为A的伴随矩阵， 则=1
5. 设A为n阶方阵，是的个特征根，则 = 0

二. 选择题（共20分）

1. 如果将单位矩阵的第i行乘k加到第j行得到的矩阵为将矩阵的第i列乘k加到第j列相当于把A：(B)
A, 左乘一个 B，右乘一个
C． 左乘一个 D，右乘一个

2. 若A为m×n 矩阵，是维非零列向量，。集合, 则 (D)
A， 是维向量空间， B， 是n-r维向量空间
B， 是m-r维向量空间， D， A，B，C都不对

3. 若n阶方阵A满足 ，则以下命题哪一个成立 (B)
A， ， B，
C. ， D，

4. 若A是2n阶正交矩阵，则以下命题哪一个一定成立：(A)
A，矩阵为正交矩阵， B，矩阵 2为正交矩阵
C, 矩阵为正交矩阵， D，矩阵 为正交矩阵
5. 如果n阶行列式的值为-1,那么n的值可能为：(C)
A, 2007， B，2008
C, 2009, D，2000

三. 判断题 (每小题4分, 共12分)
(1) 对线性方程组的增广矩阵做初等变换,对应的线性方程组的解不变. ( 错 )
(2) 实对称矩阵的特征值为实数. ( 对 )
(3) 如果矩阵的行列式为零, 那么这个矩阵或者有一行(列)的元素全为零, 或者有两行(列)的元素对应成比例. ( 错 )

四. 解下列各题（每小题8分, 共16分）
1．求向量，在基下的坐标.（坐标为: ）
2．设计算.
解:

五.(10分) 求矩阵列向量组生成的子空间的一个标准正交基.
解: 先求矩阵列向量组生成的子空间的一个基.由于

可知的前三列线性无关,为子空间的一个基.记
将其正交化.令

再单位化,令

则 为所求标准正交基.

六. 证明题（6分）设是m行n列矩阵, 如果线性方程组对于任意m维向量都有解，证明的秩等于m.
证明: 设, 则 为m维向量组. 由于线性方程组对于任意m维向量都有解, 现分别取等于m维基本单位向量: , 可知向量组可由向量组线性表示, 又向量组可由向量组线性表示, 于是向量组与向量组等价, 故

七、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵
.
解: 设

对特征值由，求得基础解系：
对特征值，由，求得基础解系：
对特征值，由，求得基础解系：
已两两正交, 再单位化：

令，则为正交阵, 且.

正交变换为将二次型化为标准形:

八、（6分）设矩阵，都是正定矩阵，证明矩阵也是正定矩阵.
证明: 由于矩阵，都是正定矩阵,则对于任一有

从而 故是正定矩阵.

试卷(四):

一. 填空题（每小题4分，共20分）
1.设是矩阵,那么的秩不超过的充分必要条件是:的阶子式全为0.
2.已知为单位矩阵，若,则当可逆时,
3.若向量组的秩为2时,0或
4. 若为2009阶正交矩阵, 为的伴随矩阵,则
5. 设为阶方阵,是的个特征值,则0.
二. 选择题 （每小题4分，共20分）
1. 如果将单位矩阵的第i行乘k加到第j行得到的矩阵为那么的逆矩阵是：(D).
A, B，
a) D，

2. 若A为m×n 矩阵，,令集合, 则(B)
A, 是空集; B， 只含一个元素;
C, 含有两个以上元素 D， A，B，C都不对

3. 若n阶方阵A满足 ，则以下命题哪一个成立(B)
A， ， B，
C. ， D，

4. 若A,B都是n阶对称矩阵，则以下命题哪一个不一定成立：(B)
A，矩阵为对称矩阵， B，矩阵为对称矩阵
C, 矩阵为对称矩阵， D，矩阵为对称矩阵
5. 如果n(n>1)阶行列式的第i行第j列元素的代数余子式的值为-1,那么i+j-n的值：(B) (因(i,j)元素必在次对角线上)
A, 为0， B，为1
C, 为2, D，无法确定.

三. 判断题 (每小题4分, 共12分)
(1) 对一个线性方程组做初等变换,线性方程组的解不变. ( 对 )
(2) 正交矩阵的特征值是实数. ( 错 )
(3)一个可逆矩阵A与它的转置矩阵的乘积是正定的. ( 对 )

四. 解下列各题（每小题8分, 共16分）
1．求单位向量，它在基下的坐标向量也是.
解: 设,由题意, 即

于是有

解得 又由为单位向量知 因此 故所求向量 或

2．设n阶方阵计算

解: (将第2至n行加到第一行)

五.(10分) 求矩阵的逆矩阵.

解:

于是

六. 证明题（6分）设是m行n列矩阵,证明
证明: 设
则
设是A的一个最大线性无关组，是B的一个最大线性无关组,则，
由于可由线性表示，可由线性表示，
可由，线性表示，
从而
即

七、（6分）证明任何一个方阵都可以表为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.

证明: 设为任一方阵, 记

由于

则为对称矩阵, 为反对称矩阵, 而 故得证.

八、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出该正交变换所对应的正交变换矩阵

解答见课件.

试卷(五):

一. 填空题（每小题4分，共20分）
1.设是矩阵,那么可逆的条件是:
2.矩阵是二次型的矩阵的条件是: .
3.设则.
4．若为2010阶正交矩阵, 则
5．将单位矩阵的第i行乘k加到第j行得到的矩阵记为设是的个特征值， 则= 1 .
二. 选择题 （每小题4分，共20分）
1. 如果将单位矩阵的第i行乘k得到的矩阵设为那么的逆矩阵是：A.
A, B，
C, D，

2. 若A为m×n 矩阵，令集合, 则D.
A, 是空集; B， 只含一个元素;
C, 含有两个以上元素 D， 是非空集合.

3. 若n阶方阵满足 ，则以下命题哪一个成立B.
A， ， B， 是可逆矩阵
C. ， D，

4. 若A是n阶矩阵，则以下命题哪一个不成立：B.
A，矩阵为对称矩阵， B，矩阵为对称矩阵，
C, 矩阵为对称矩阵， D，矩阵为对称矩阵
5. 如果n(n>1)阶矩阵的行向量线性无关，那么：B.
A, 的行列式为0， B，的列向量线性无关
C, 的秩为0, D，以为系数矩阵的线性方程组有非零解.

三. 判断题 (每小题4分, 共12分)
(1) 已知是阶矩阵，如果，那么. ( 错 )
(2) 如果一个向量组线性无关，那么它的任意一部分向量也线性无关. ( 对 )
(3) 如果一个矩阵A是正定的, 那么它的行列式大于0. ( 对 )

四. 解下列各题（每小题8分, 共16分）
1．求所有向量，它与是正交的.
解: 设,由题意知 即

解得 故所求向量 ,为任意常数.

2．设n阶方阵计算.

解: (将第2至n行加到第一行)

五.(10分) 求矩阵的伴随矩阵.

解:先求 的逆矩阵.
由于

,

于是, 所求伴随矩阵

六. 证明题（6分） 设是n阶方阵,如果可逆,证明与相似.
证明: 由于可逆, 利用可知与相似.

七、（6分）证明任何一个秩为2的正惯性指数为1的二次型都可以表为两个一次多项式的乘积.

证明: 设此二次型为:, 其中,由于它的秩为2,且正惯性指数为1,由惯性定理,可作一可逆变换: 将其化为规范形
由可设 则有
于是

为两个一次多项式的乘积.

八、（10分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出该正交变换所对应的正交变换矩阵

解: 设

对特征值由，求得基础解系：
将其正交化:

对特征值，由，求得基础解系：
再单位化：

令，则为正交阵, 且.

正交变换为将二次型化为标准形: