2022年线性代数试卷试卷及答案AB卷.doc

线 性 代 数 试 卷(A) 一、选择题（每题3分，共15分）1.2.(B)A-D）A(C)A-A(A)TT3.设是维列向量,阶方阵,，则在的个特征值中,必然_(A) 有个特征值等于1 (B) 有个特征值等于1(C) 有1个特征值等于1 (D) 没有1个特征值等于14.5. 一定无解 可能有解 一定有唯一解 一定有无穷多解二、填空题（每题3分，共15分）1.设是阶方阵A的伴随矩阵，行列式，则 =_2. D中第二行元素的代数余子式的和=_ ,其中D = 3. 已知实二次型正定,则实常数的取值范围为_ 4. 2阶行列式 ,其中阶矩阵 5. 设A=而2为正整数，则三、计算题(每题9分,共54分)1. 计算阶行列式 2. 求矩阵使 3. 设非齐次线性方程组有三个解向量 ， ， 求此方程组系数矩阵的秩,并求其通解(其中为已知常数)4. 已知实二次型 =经过正交变换,化为标准形,求实参数及正交矩阵5. 设线性方程组为 ，问,各取何值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解6. 在四元实向量构成的线性空间中,求使为的基,并求由基的过渡矩阵,其中 四、证明题(每题8分,共16分)1. 设 是欧氏空间的标准正交基,证明:也是的标准正交基2. 设是元实二次型,有维实列向量,使，, 证明:存在维列实向量,使=0线性代数考试A参考答案一、选择题1.(A) 2.(B) 3.(B) 4.(D) 5.(B) 二、填空题1. ； 2. 0； 3. ； 4.； 5.三、计算题1. 解 各列加到第一列，提出公因式= 8分= 9分2. 3分 9分3. 由题设条件知,是的三个解，因此， 是对应的齐次线性方程组的线性无关解向量,因此,系数矩阵的秩2又中有二阶子式，2，因此2 3分因此，为其导出组的基础解系。由此可得线性方程组的通解： ， 为任意常数 9分4.的矩阵有特征值 由2分 A对应的线性无关的特征向量， ， 5分 A对应的单位正交特征向量 ， 8分 于是正交变换X = QY中的正交矩阵 = 9分 5. 3分 当4时，方程组有唯一解当4，2时，方程组无解5分当4，2时，3 4，方程组有无穷多组解,其通解为， 为任意常数 9分6. 解： 2分设,则 ， 4分设 ,则 9分四、证明题1. 证：因为4分 所以是V的标准正交基。 8分2. 证:是不定二次型,设的正惯性指数为P,的秩为r，则, 2 分可经非退化线性变换化为规范形= 4分取 ,则有 使= 8分期末考试 线性代数 试卷A一、 填空题（每小题4分，共20分）。0 已知正交矩阵P使得，则1 设A为n阶方阵，是的个特征根，则det( )= 2 设A是矩阵， 是 维列向量，则方程组有无数多个解的充分必要条件是：rank(A)=rank(A,B)n34 若向量组=（0，4，2），=（2，3，1），=（t，2，3）的秩为2，则t=-85 ，则的全部根为：1、2、-3二、 选择题（每小题4分，共20分）1 行列式的值为（ c ）。 DA， 1， B，-1C， D，2 对矩阵施行一次行变换相当于（ A ）。A， 左乘一个m阶初等矩阵， B，右乘一个m阶初等矩阵 C， 左乘一个n阶初等矩阵， D，右乘一个n阶初等矩阵 3 若A为mn 矩阵，。则（ C ）。 DA， 是维向量空间， B， 是维向量空间C，是m-r维向量空间， D，是n-r维向量空间4 若n阶方阵A满足， =0，则以下命题哪一个成立（ A ）。DA， ， B， C， ， D，5 若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（ D ）。A，矩阵AT为正交矩阵， B，矩阵为正交矩阵C，矩阵A的行列式是1， D，矩阵A的特征根是1三、 解下列各题（每小题6分，共30分）1若A为3阶正交矩阵，为A的伴随矩阵， 求det ()2计算行列式。 (a+3)(a-1)33设，求矩阵B。4、求向量组的一个最大无关组。5、 求向量=（1，2，1）在基下的坐标。四、（12分）求方程组 的通解（用基础解系与特解表示）。五、（12分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵 六、证明题（6分）设，是线性方程组对应的齐次线性方程组一个基础解系， 是线性方程组的一个解，求证线性无关。2006年线性代数A参考答案一 填空题(1) 2 0 -22006(2) 12n2(3) r(A)=r(A,B) n(4) t=-8(5) 1,2,-3二 选择题(1) D (2) A (3) D (4) D (5) D三 解答题 (1) AA* =|A|E, |A|A*|=|A3| |A*|=|A|2=|AA|=|AA-1|=1 (2) (3)由AB=A-B，有，（4） 而 故，为一个极大无关组（5）6、 求向量=（1，2，1）在基下的坐标。令=（1，2，1）=x+y+z，则有： 解得： 的坐标为四 解： 原方程组同解下面的方程组： 即： 令,求解得：（1，1，0，0，0）=。齐次方程组基础解系为：。五、（12分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵 解： 当时，由，求得基础解系：当时，由，求得基础解系： 当时，由，求得基础解系：单位化：令，则若则。六，证明 证：设， 则，于是：,即：但，故 =0。从而 =0。但线形无关，因此全为0，于是b=0,由此知：线形无关。设，是线性方程组对应的齐次线性方程组一个基础解系， 是线性方程组的一个解，求证线性无关。姓名 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线_ _ 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！ 期末考试 2006线性代数 试卷B一、 填空题（每小题4分，共20分）。1 已知正交矩阵P使得，则2设A为n阶方阵，是的个特征根，则det( )= 3设A是矩阵，则方程组对于任意的 维列向量都有无数多个解的充分必要条件是：4 若向量组=（0，4，2），=（2，3，1），=（t，2，3）的秩不为3，则t=5，则的全部根为：二、选择题（每小题4分，共20分）1n阶行列式的值为（ ）。B， ， B，C， D，2对矩阵施行一次列变换相当于（ ）。B， 左乘一个m阶初等矩阵， B，右乘一个m阶初等矩阵 C， 左乘一个n阶初等矩阵， D，右乘一个n阶初等矩阵 3若A为mn 矩阵，。则（ ）。A， 是维向量空间， B， 是维向量空间C，是m-r维向量空间， D，是n-r维向量空间4若n阶方阵A满足， =E，则以下命题哪一个成立（ ）。A， ， B， C， ， D，5若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（ ）。A，矩阵-AT为正交矩阵， B，矩阵-为正交矩阵C，矩阵A的行列式是实数， D，矩阵A的特征根是实数三、解下列各题（每小题6分，共30分）1若A为3阶正交矩阵， 求det (E-)2计算行列式。3设，求矩阵A-B。4、求向量组的的秩。7、 向量在基下的坐标（4，2，-2），求在下的坐标。四、（12分）求方程组 的通解（用基础解系与特解表示）。五、（12分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵 六、证明题（6分）设，是线性方程组对应的齐次线性方程组一个基础解系， 是线性方程组的一个解，求证对于任意的常数a，线性无关。 证：设， 则，于是：,即：但，故 =0。从而 =0。但线形无关，因此全为0，于是b=0,由此知：线形无关。2006年线性代数B参考答案二 填空题（1） 2 -2 -5*22005(0) 1n(1) m=r(A)=r(A,B) n(2) t=-8(3) 1,2,-3二 选择题(1) D (2) D (3) D (4) A (5) D三 解答题 (1) 3阶的正交矩阵必有一个实特征根，这个特征根为1或者-1， 所以det (E-)= det （E-A） det （E+A） =0（2） (3)由AB=A-B，有，（4） 而 故秩为3。（5）令=+2+=x（+）+y（+）+z（+），则有： 解得： 所求的的坐标为四 解： 原方程组同解下面的方程组： 即： 令,求解得：（1，1，0，0，0）=。齐次方程组基础解系为：。五解： 当时，由，求得基础解系：当时，由，求得基础解系： 当时，由，求得基础解系：单位化：令，则若则。六，证明 证：设， 则，于是：,即：但，故 =0。从而 =0。但线形无关，因此全为0，于是b=0,由此知：线形无关。姓名 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线_ _ 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！ 期末考试（A卷） 2007线性代数 试卷一、 填空题（共20分）（1） 设A是矩阵， 是 维列向量，则方程组无解的充分必要条件是：rank(A)rank(A,B)（2） 已知可逆矩阵P使得，则（3） 若向量组=（0，4，t），=（2，3，1），=（t，2，3）的秩为2，则t=（4） 若A为2n阶正交矩阵，为A的伴随矩阵， 则=-1（5） 设A为n阶方阵，是的个特征根，则 = 二、 选择题（共20分）(1) D (2) D (3) C (4) 都对 (5) A（1） 将矩阵的第i列乘C加到第j列相当于对 DA， 乘一个m阶初等矩阵， B，右乘一个m阶初等矩阵 C， 左乘一个n阶初等矩阵， D，右乘一个n阶初等矩阵 6 若A为mn 矩阵，。则（ C ）。 DA， 是维向量空间， B， 是维向量空间C，是m-r维向量空间， D，是n-r维向量空间（2） 若A为mn 矩阵， 是 维 非零列向量，。集合则B DA， 是维向量空间， B， 是n-r维向量空间C，是m-r维向量空间， D， A，B，C都不对（3）若n阶方阵A，B满足， ，则以下命题哪一个成立D CA， ， B， C， ， D， （4）若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个成立：AA，矩阵为正交矩阵， B，矩阵 -为正交矩阵C，矩阵为正交矩阵， D，矩阵 -为正交矩阵（5）4n阶行列式的值为：AA，1， B，-1C， n D，-n 三、 解下列各题（共30分）1求向量，在基下的坐标。2设，求矩阵-A3计算行列式4.计算矩阵列向量组生成的空间的一个基。（4分5. 设 计算det A四、 证明题（10分）设是齐次线性方程组的一个基础解系， 不是线性方程组的一个解，求证线性无关。五、（8分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵 六、（8分） 取何值时，方程组 有无数多个解？并求通解七、（4分）设矩阵，+都是可逆矩阵，证明矩阵也是可逆矩阵。2007年线性代数A参考答案一 填空题 每个四分(4) rankArank(A|B) 或者 rankA rank(A|B)(5)(6) t= (7) (8) 0二 选择题(1) D (2) D (3) C (4) 都对 (5) A三 解答题1求向量，在基下的坐标。 (1) 设向量在基下的坐标为，则 （4分） （6分）2设，求矩阵-A (2) （2分） （6分）3计算行列式(3) （6分）（4）（4分） （6分） （5） （6分）四 证明： 五、A=, (2分) | |= （5分）P= （7分）+ （8分） 六，证明 七 姓名 学号 学院 专业 座位号 ( 密 封 线 内 不 答 题 )密封线线_ _ 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！ 期末考试（B卷） 2007线性代数 试卷一、 填空题（共20分）（1） 设A是矩阵， 是 维列向量，则方程组有唯一解的充分必要条件是：（2） 已知可逆矩阵P使得，则（3） 若向量组=（0，4，t），=（2，3，1），=（t，2，3）的秩r不为3，则r=（4） 若A为2n+1阶正交矩阵，为A的伴随矩阵， 则=（5） 设A为n阶方阵，是的个特征根，则 = 二、 选择题（共20分）(1) D (2) C (3) D (4) A (5) B（1） 将矩阵的第i列乘c相当于对A：A， 左乘一个m阶初等矩阵， B，右乘一个m阶初等矩阵 C， 左乘一个n阶初等矩阵， D，右乘一个n阶初等矩阵 （2） 若A为mn 矩阵，。集合则 B CA， 是维向量空间， B， 是n-r维向量空间C，是m-r维向量空间， D， A，B，C都不对（3）若n阶方阵A，B满足， ，则以下命题哪一个成立 C DA， ， B， C， ， D， 都不对（4）若A是n阶初等矩阵，则以下命题那一个成立：AA，矩阵为初等矩阵， B，矩阵 -为初等矩阵C，矩阵为初等矩阵， D，矩阵 -为初等矩阵（5）4n+2阶行列式的值为：A，1， B，-1C， n D，-n 三、 解下列各题（共30分）1求向量，在基下的坐标。2设，求矩阵-A3计算行列式4.计算矩阵列向量组生成的空间的一个基。5. 设 计算det A四、 证明题（10分）设是齐次线性方程组的一个基础解系， 不是线性方程组的一个解，求证线性无关。五、（8分）用正交变换化下列二次型为标准型，并写出正交变换矩阵 六、（8分） 取何值时，方程组无解？ 七、（4分）设矩阵，+都是可逆矩阵，证明矩阵也是可逆矩阵。2007年线性代数B参考答案三 填空题 每个四分（1） rankA=rank(A|B)=n （2）（3）r=2 （4） 1（5）0二 选择题(1) D (2) C (3) D (4) A (5) B三 解答题 (1) 设向量在基下的坐标为，则 （4分） （6分） (2) （2分） （6分）(3) （6分）（4）（4分） （6分） （5） （6分）四 证明： 五、A=, (2分) | |= （5分）P= （7分）2 （8分） 六，证明 七 _ _ 诚信应考,考试作弊将带来严重后果！ 期末考试（A卷） 2007线性代数-1 试卷一、 填空题（共20分）1设行列式，则方程的所有解是：2已知矩阵，则矩阵 分别等于：3设是n阶对称方阵的个特征值，是对应的特征向量，若，则向量的夹角是：4若方程组有解，则的值等于：6 若矩阵是n阶实矩阵，且，这里为零矩阵，则矩阵的所有特征值为：二、选择题（共20分）7 若矩阵和都是n阶正定矩阵，若n是任意自然数，则A， B，C， D，不能确定8 设有齐次线性方程组AX=0和BX=0，其中A，B为 矩阵，现有四个命题（1）若AX=0的解均是BX=0的解，则（2）若，则AX=0的解均是BX=0的解（3）若AX=0与BX=0同解，则（4）若，则AX=0与BX=0同解以上命题中正确的是A， （1）（2）， B， （1）（3）C， （2）（4）， D， （3）（4）9 若A，B是任意n阶方阵，则以下等式中一定成立的是：A， B，C， D，10 若n阶方阵，满足，则有A， B， C， D， 11 若A是n阶方阵，则A是n阶正交方阵的充分必要条件不是C， A的列向量构成 的单位正交基 B，C， A的行向量构成 的单位正交基 D，三、解下列各题（共30分）1求向量，在基下的坐标。2设A是三阶方阵且，求的值3计算行列式4. 设向量组。求向量组的一个最大无关组。5. 设，计算四、 证明题（8分）设向量线性无关，求证：向量线性无关。五、（8分）用正交变换化下列二次型为标准型，写出正交变换和对角形 六、（8分）求方程组的一个基础解系 七、（6分）设矩阵，是正定矩阵，证明分块矩阵也是正定矩阵。