2016届高三文科数学专题复习测试22.doc

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压轴题突破练
1．(2015·四川高考)已知函数f(x)＝－2xln x＋x2－2ax＋a2，其中a>0.
(1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；
(2)证明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．

2．(2015·北京高考)已知椭圆C：x2＋3y2＝3，过点D(1，0)且不过点E(2，1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；
(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．

3．(2015·浙江高考)设函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)．
(1)当b＝＋1时，求函数f(x)在[－1，1]上的最小值g(a)的表达式；
(2)已知函数f(x)在[－1，1]上存在零点，0≤b－2a≤1，求b的取值范围．

4．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e，半焦距为c，B(0，1)为其上顶点，且a2，c2，b2依次成等差数列．
(1)求椭圆的标准方程和离心率e；
(2)P，Q为椭圆上的两个不同的动点，且kBP·kBQ＝e2.
(ⅰ)试证直线PQ过定点M，并求出M点坐标；
(ⅱ)△PBQ是否可以为直角三角形？若是，请求出直线PQ的斜率；否则请说明理由．

压轴题突破练
1．(1)解　由已知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
g(x)＝f′(x)＝2(x－1－ln x－a)，
所以g′(x)＝2－＝，
当x∈(0，1)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增．
(2)证明　由f′(x)＝2(x－1－ln x－a)＝0，
解得a＝x－1－ln x，
令φ(x)＝－2xln x＋x2－2x(x－1－ln x)＋(x－1－ln x)2
＝(1＋ln x)2－2xln x，
则φ(1)＝1＞0，φ(e)＝2(2－e)＜0，
于是，存在x0∈(1，e)，使得φ(x0)＝0，
令a0＝x0－1－ln x0＝u(x0)，
其中u(x)＝x－1－ln x(x≥1)，
由u′(x)＝1－≥0知，函数u(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，
故0＝u(1)＜a0＝u(x0)＜u(e)＝e－2＜1，
即a0∈(0，1)，
当a＝a0时，有f′(x0)＝0，f(x0)＝φ(x0)＝0，
再由(1)知，f′(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，
当x∈(1，x0)时，f′(x)＜0，
从而f(x)＞f(x0)＝0；
当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，
从而f(x)＞f(x0)＝0；
又当x∈(0，1]时，f(x)＝(x－a0)2－2xln x＞0，
故x∈(0，＋∞)时，f(x)≥0，
综上所述，存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．
2．解　(1)椭圆C的标准方程为＋y2＝1，
所以a＝，b＝1，c＝.
所以椭圆C的离心率e＝＝.
(2)因为AB过点D(1，0)且垂直于x轴，所以可设A(1，y1)，B(1，
－y1)，
直线AE的方程为y－1＝(1－y1)(x－2)，
令x＝3，得M(3，2－y1)，
所以直线BM的斜率kBM＝＝1.
(3)直线BM与直线DE平行，理由如下：
当直线AB的斜率不存在时，由(2)可知kBM＝1.
又因为直线DE的斜率kDE＝＝1，所以BM∥DE，
当直线AB的斜率存在时，
设其方程为y＝k(x－1)(k≠1)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线AE的方程为
y－1＝(x－2)．
令x＝3，得点M，
由得(1＋3k2)x2－6k2x＋3k2－3＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
直线BM的斜率kBM＝，
因为kBM－1＝

＝
＝＝0，
所以kBM＝1＝kDE.
所以BM∥DE，
综上可知，直线BM与直线DE平行．
3．解　(1)当b＝＋1时，f(x)＝＋1，
故对称轴为直线x＝－.
当a≤－2时，g(a)＝f(1)＝＋a＋2.
当－2＜a≤2时，g(a)＝f ＝1.
当a＞2时，g(a)＝f(－1)＝－a＋2.
综上，g(a)＝
(2)设s，t为方程f(x)＝0的解，且－1≤t≤1，则
由于0≤b－2a≤1，
因此≤s≤(－1≤t≤1)．
当0≤t≤1时，≤st≤，
由于－≤≤0和－≤≤9－4，
所以－≤b≤9－4.
当－1≤t＜0时，≤st≤，
由于－2≤＜0和－3≤＜0，所以－3≤b＜0.
故b的取值范围是[－3，9－4]．
4．解　(1)由题意知b＝1，a2＋b2＝2c2，
又a2＝b2＋c2，
解之得a2＝3，c2＝2，
椭圆的标准方程为＋y2＝1，
离心率e＝＝.
(2)(ⅰ)设直线PQ的方程为x＝my＋n，且P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
联立得(3＋m2)y2＋2mny＋n2－3＝0.
Δ＝(2mn)2－4(3＋m2)×(n2－3)＝12(m2－n2＋3)＞0(*)

∵kBM·kMN＝·＝e2＝，
∴3(y1－1)(y2－1)＝2x1x2＝2(my1＋n)(my2＋n)，
∴(2m2－3)y1y2＋(2mn＋3)(y1＋y2)＋2n2－3＝0，
∴(2m2－3)＋(2mn＋3)＋2n2－3＝0，
整理得n2－2mn－3m2＝0，
∴(n－3m)(n＋m)＝0，
∴n＝－m或n＝3m.
所以直线PQ的方程为x＝my－m＝m(y－1)(舍)或x＝my＋3m＝m(y＋3)，
所以直线PQ过定点，定点M的坐标为(0，－3)．
(ⅱ)由题意，∠PBQ≠90°，若∠BPM＝90°，或∠BQM＝90°，则P或Q在以BM为直径的圆T上，
即在圆x2＋(y＋1)2＝4上，
联立
解之得y＝0，或y＝1(舍去)．
因此P或Q只能是椭圆的左右顶点．
又直线PQ过定点M(0，－3)，
∴kPQ＝＝±.
故△PBQ可以是直角三角形，此时直线PQ的斜率为±.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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