磁控溅射CdSe薄膜的光学和电学性质.pdf

第4 9卷 第3期2 0 2 3年9月延 边 大 学 学 报(自然科学版)J o u r n a l o f Y a n b i a n U n i v e r s i t y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n)V o l.4 9 N o.3S e p.2 0 2 3收稿日期:2 0 2 3 0 5 1 2基金项目:国家自然科学基金(5 1 2 7 2 2 2 4);吉林省自然科学基金(2 0 2 1 0 1 0 1 1 6 3 J C)第一作者:崔熙林(2 0 0 0),男,硕士研究生,研究方向为功能材料物理.通信作者:顾广瑞(1 9 7 0),男,博士,教授,研究方向为功能材料物理.文章编号:1 0 0 4-4 3 5 3(2 0 2 3)0 3-0 2 1 2-0 6磁控溅射C d S e薄膜的光学和电学性质崔熙林,金健,顾广瑞(延边大学 理学院,吉林 延吉 1 3 3 0 0 2)摘要:利用射频磁控溅射方法在玻璃和S i(1 1 1)衬底上沉积了C d S e薄膜,并研究了不同溅射压强对薄膜的结构、光学和电学性能的影响.X射线衍射分析表明,所有样品均沿(1 1 1)面择优生长,晶粒尺寸随溅射压强的增大而减小.透射光谱分析表明,C d S e薄膜在红外光区域具有较大的透射率,薄膜的带隙随溅射压强的增大表现出先增大后减小的趋势.霍尔效应测试表明,随着溅射压强的增加,电阻率出现先增大后减小的趋势,载流子浓度则出现先减小后增大的趋势.该研究结果可为C d S e薄膜在光电器件方面的应用提供参考.关键词:C d S e薄膜;磁控溅射;溅射压强;光学性质;电学性质中图分类号:O 4 8 4.4 文献标志码:AO p t i c a l a n d e l e c t r i c a l p r o p e r t i e s o f C d S e t h i n f i l m s p r e p a r e d b y m a g n e t r o n s p u t t e r i n gC U I X i l i n,J I N J i a n,GU G u a n g r u i(C o l l e g e o f S i c e n c e,Y a n b i a n U n i v e r s i t y,Y a n j i 1 3 3 0 0 2,C h i n a)A b s t r a c t:T h e c a d m i u m t e l l u r i d e(C d S e)t h i n f i l m s w e r e d e p o s i t e d o n g l a s s a n d S i(1 1 1)s u b t r a t e s b y r a d i o f r e q u e n c y(R F)m a g n e t r o n s p u t t e r i n g,a n d t h e i n f l u e n c e s o f s p u t t e r i n g p o w e r o n t h e s t r u c t u r a l,o p t i c a l a n d e l e c t r i c a l p r o p e r t i e s o f t h e f i l m s w e r e i n v e s t i g a t e d i n t h i s p a p e r.T h e X-r a y d i f f r a c t i o n p a t t e r n s r e v e a l t h a t t h i n f i l m s e x h i b i t a p r e f e r r e d o r i e n t a t i o n a l o n g t h e(1 1 1)p l a n e,T h e g r a i n s i z e d e c r e a s e s w i t h t h e i n c r e a s e o f s p u t-t e r i n g p r e s s u r e.T r a n s m i s s i o n s p e c t r u m a n a l y s i s s h o w s t h a t t h e t h i n C d S e f i l m s h a v e a l a r g e t r a n s m i s s i o n i n t h e i n f r a r e d r e g i o n,a n d t h e b a n d g a p o f C d S e f i l m s i n c r e a s e s f i r s t a n d t h e n d e c r e a s e s w i t h t h e i n c r e a s e o f s p u t t e r i n g p r e s s u r e.T h e H a l l e f f e c t t e s t s h o w s t h a t w i t h t h e i n c r e a s e o f s p u t t e r i n g p r e s s u r e,t h e r e s i s t i v i t y i n c r e a s e s f i r s t a n d t h e n d e c r e a s e s,w h i l e t h e c a r r i e r c o n c e n t r a t i o n d e c r e a s e s f i r s t a n d t h e n i n c r e a s e s.T h e r e s u l t s o f t h i s s t u d y c a n p r o v i d e r e f e r e n c e f o r t h e a p p l i c a t i o n o f C d S e t h i n f i l m s i n p h o t o e l e c t r i c d e v i c e s.K e y w o r d s:C d S e t h i n f i l m;m a g n e t r o n s p u t t e r i n g;s p u t t e r i n g p o w e r;o p t i c a l p r o p e r t i e s;e l e c t r i c a l p r o p e r t i e s0 引言硒化镉(C d S e)是一种-族半导体化合物.由于C d S e具有约1.7 4e V的直接带隙和较高的光吸收率和导电性,因此其在光电器件中具有良好的潜在应用价值1-3.近年来,一些学者对C d S e薄膜的特性进行了研究.例如:Z h e n g等研究了在不同衬底温度下沉积的C d S e薄膜的结构、光学和形态特性4;G a r o l r等5和S a n t h o s h等6研究了掺杂B i的C d S e薄膜的特性.目前,制备C d S e薄膜的方法主要有密闭空间升华法(C S S)7、脉 第3期崔熙林,等:磁控溅射C d S e薄膜的光学和电学性质冲激光沉积法(P L D)8、真空蒸发法9、射频磁控溅射法1 0、喷雾热解法1 1等,其中射频磁控溅射法因具有镀膜均匀、沉积速率快等优点而被学者们广泛应用1 2.研究表明,在应用射频磁控溅射法时,其溅射功率、溅射压强、氩气流量、衬底温度等参数会对薄膜的性质产生较大的影响1 3-1 6,其中溅射压强可直接影响等离子体的浓度以及溅射原子到达衬底时的能量,进而可对薄膜的性质产生影响.基于上述研究,本文在不同的溅射压强下采用磁控溅射法制备了C d S e薄膜,并研究了不同溅射压强对C d S e薄膜的光学性能和电学性能的影响.1 实验方法和仪器利用射频磁控溅射法分别在玻璃和S i(1 1 1)衬底上制备C d S e薄膜,其中衬底尺寸为1c m1 c m,靶材为高纯度C d S e靶(9 9.9%).为了去除衬底表面的污染物,在制备之前先将衬底依次浸入丙酮、无水乙醇、去离子水中超声波清洗1 5m i n,然后取出放在无尘纸上,并用氮气吹干表面.实验背景真空度低于5.01 0-4P a,工作气体为氩气.为了去除靶材表面的杂质及其氧化物,制备前先对靶材预溅射1 5m i n.预溅射结束后,调整实验所需参数并开始实验.实验具体参数见表1.表1 制备C d S e薄膜的实验参数沉积参数数值 溅射功率/W1 0 0 溅射压强/P a0.82.8 沉积时间/m i n3 0 衬底温度/K3 0 0 氩气流速/s c c m2 0利用X射线衍射仪(X R D,型号为岛津5 0 0 0)表征薄膜的结构特性,利用场发射扫描电子显微镜(F E S EM,型号为F E I Q u a n t a F E G 2 5 0)表征薄膜的表面形貌,利用扫描电子显微镜附带的能量色散X射线光谱仪(E D A X)定性和定量地分析薄膜的元素组成,利用紫外 可见 近红外分光光度计(UV-V I S-N I R,型号为岛津UV-3 6 0 0)测量薄膜的光学性质,利用霍尔效应测试系统(L a k e S h o r e HM S M a t r i x 7 5 5)分析薄膜的电学性能.2 结果与讨论图1为在不同溅射压强下制备的C d S e薄膜的X R D图 谱.由 图1可 以 看 出:C d S e薄 膜 在2 5.4 附近出现了(1 1 1)的衍射峰.对照J C P D S卡片中的#8 8-2 3 4 6发现,所有样品的结构均为立方晶体结构,且所有样品沿(1 1 1)面择优生长.当溅射压强从0.8P a增加到2.8P a时,(1 1 1)衍射峰的强度逐渐减小,这表明薄膜的结晶性能随溅射压强的增大而减小.其原因可能是:在溅射压强较低时,A r+离子轰击靶材的能量较高,因此被溅射出的C d2+离子和S e2-离子的能量也较高,进而促进了C d S e薄膜的生长;而当溅射压强较高时,A r+离子轰击靶材的能量减弱,因此被溅射出的C d2+离子和S e2-离子的能量也随之降低,进而降低了C d S e薄膜的结晶质量1 7.图1 C d S e薄膜的X R D图谱为进一步探究C d S e薄膜的性能,本文利用D e b y e S c h e r r e r公式(D=K/(c o s)1 8估算了晶粒尺寸的变化.公式中D为晶粒尺寸,为半峰全宽(FWHM),K为S c h e r r e r常数(取0.8 9),为衍射角,为X射线波长(取0.1 5 4 0 5 6n m).利用D e b y e S c h e r r e r公式计算得到的C d S e薄膜(在(1 1 1)平面上)的晶粒尺寸见表2.根据图1中的X R D数据计算得到的C d S e薄膜的晶格应变()和位错密度()见表2.由表2可以看出,晶格应变和位错密度随溅射压强的增大而增大.其原因可能是:当腔室内的气体流量不变时,溅射压强越高,粒子的平均自由程越小,进而使得粒子之间的碰撞概率增大(粒子碰撞后其能量下降),由此导致薄膜的结晶质量出现下降1 9.312延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 表2 不同溅射压强下制备的C d S e薄膜的结构参数参数溅射压强/P a0.81.22.02.42.82/()2 5.4 72 5.4 72 5.4 72 5.5 22 5.4 9FWHM/()0.1 3 00.1 3 20.1 3 40.1 4 50.1 7 5D/n m6 1.9 56 1.0 26 0.1 05 5.5 54 6.0 31 0-32.5 12.5 52.5 92.7 93.3 8/m-22.51 01 42.61 01 42.71 01 43.21 01 44.61 01 4根据表2中的数据绘制的C d S e薄膜的晶粒尺寸和晶粒的FWHM如图2所示.由图2可以看出,C d S e薄膜的平均晶粒尺寸随溅射压强的增大而减小,这表明薄膜的结晶性能随溅射压强的增大而减小.图3为不同溅射压强下制备的C d S e薄膜表面的F E S EM图.由图3可以看出,薄膜表面光滑,晶粒致密,即薄膜的性能良好.同时,薄膜的晶粒尺寸随溅射压强的增加而减小(该结果与X R D的结果一致).图4为在不同溅射压强下制备的C d S e薄膜的E D A X光谱.由图4可以看出,除了衬底中的S i元素外,薄膜中只有C d和S e元素.这表明本文制备的C d S e薄膜是纯净的C d S e薄膜.图2 C d S e薄膜的晶粒尺寸和晶粒的F WHM随不同溅射压强的变化(a)0.8P a (b)1.2P a (c)2.0P a (d)2.4P a (e)2.8P a 图3 不同溅射压强下制备的C d S e薄膜的F E S EM图(a)0.8P a (b)1.2P a (c)2.0P a(d)2.4P a (e)2.8P a图4 不同溅射压强下制备的C d S e薄膜的E D A X能谱412 第3期崔熙林,等:磁控溅射C d S e薄膜的光学和电学性质 图5为在不同溅射压强下制备的C d S e薄膜在4 0 01 7 0 0n m波长范围内的透射光谱.由图5可以看出:图中干涉条纹明显,表明薄膜的厚度均匀、结晶度良好2 0;薄膜在近红外光区域内的平均透射率约为7 3%,但在可见光范围内几乎不透光;随着压强的增大,薄膜的吸收边出现蓝移(移动朝向较小的波长方向).图5 不同溅射压强下制备的C d S e薄膜的透射光谱为进一步研究C d S e薄膜的光学带隙,本文利用T a u e关系(h=A(h-Eg)n)估算了薄膜的光学带隙.公式中为吸收系数(=l n1/T d,d为薄膜厚度,T为透射率),h为光子能量,n为与跃迁类型有关指数(因C d S e为直接跃迁半导体,n取1/2)2 1.(h)2与光子能量的关系如图6所示.由图6得到的带隙值见表3.由表3可以看出,随着溅射压强的增大,带隙值从1.7 2 0e V增大到1.7 8 3 e V,然后又从1.7 8 3e V降低到1.7 7 1e V.该结果与文献2 2 的结果一致,即薄膜随着溅射压强的增大,其导电性能出现了先减弱后增强的变化.由图6可以看出,随着溅射压强的增大,薄膜的带隙值逐渐大于材料的标准带隙值,并出现了蓝移(C d S e=1.7 4e V).出现蓝移的原因可能是:量子尺寸效应增加了导带和价带的离散状态,使得能隙变宽,进而增加了C d S e的有效带隙2 3.图6 不同溅射压强下制备的C d S e薄膜的(h)2与光子能量的关系为研究不同溅射压强对C d S e薄膜电学性能的影响,对不同溅射压强下制备的C d S e薄膜进行了霍尔效应测试,结果见表4.由表4中的数值绘制的C d S e薄膜的电阻率、载流子浓度随溅射压强的变化如图7所示.由图7可以看出,薄膜的电阻率出现了先增大后减小的趋势,而载流子浓度出现了先减小后增大的趋势.其原因可能与薄膜晶粒的不断生长和薄膜质量的不断提高有关.该结果与上述分析C d S e的带隙所得的结果一致.由图7还可以看出,在0.8P a溅射压强下制备的薄膜的电阻率最低(0.2 1 7 7 9c m).这表明溅射压强为0.8P a时,制备的薄膜的导电性能最佳.该结果可能与此时的薄膜结晶质量得到提高有关2 4.表3 不同溅射压强下制备的C d S e薄膜在近红外区的平均透射率和光学带隙值参数溅射压强/P a0.81.22.02.42.8近红外区的平均透射率/%6 7.4 06 9.8 56 8.5 57 3.7 97 0.7 4光学带隙/e V1.7 2 01.7 2 81.7 5 21.7 8 31.7 7 1表4 不同溅射压强下制备的C d S e薄膜的电阻率和载流子浓度参数溅射压强/P a0.81.22.02.42.8电阻率/(c m)0.2 1 7 7 90.2 3 6 7 50.5 4 8 5 40.5 6 1 1 50.4 1 3 8 4载流子浓度/c m-34.4 01 01 54.2 71 01 53.4 21 01 53.0 01 01 53.4 61 01 5512延边大学学报(自然科学版)第4 9卷 图7 C d S e薄膜的电阻率和载流子浓度随不同溅射压强的变化3 结论本文在不同的溅射压强下采用射频磁控溅射法制备了C d S e薄膜,利用X射线衍射仪、场发射扫描电子显微镜、能量色散X射线光谱仪、紫外可见 近红外分光光度计和霍尔效应测试仪对薄膜的结构、原子组成、微观结构、光电学特性进行研究发现:薄膜样品的优先取向为(1 1 1)方向;薄膜样品的晶粒尺寸随溅射压强的增大而减小;薄膜样品在近红外区的平均透射率约为7 3%;当溅射压强由0.8P a增加到2.8P a时,薄膜的带隙区间为1.7 2 01.7 7 1e V,电阻率区间为0.2 1 7 7 90.5 6 1 1 5c m,载流子浓度区间为4.4 01 01 53.0 01 01 5c m-3.以上结果表明,溅射压强对薄膜的结构以及光电性质具有较大影响.本文研究结果可为C d S e薄膜在光伏中的应用提供参考.在今后的研究中,我们将进一步研究不同元素掺杂对C d S e薄膜性质的影响.参考文献:1 L I C X,WANG F G,CHE N Y L,e t a l.C h a r a c t e r-i z a t i o n o f s p u t t e r e d C d S e t h i n f i l m s a s t h e w i n d o w l a y e r f o r C d T e s o l a r c e l l sJ.M a t e r i a l s S c i e n c e i n S e m i c o n d u c t o r P r o c e s s i n g,2 0 1 8,8 3:8 9-9 5.2 E L-ME NYAWY E M,A Z A B A A.O p t i c a l,e l e c t r i-c a l a n d p h o t o e l e c t r i c a l p r o p e r t i e s o f n a n o c r y s t a l l i n e c a d m i u m s e l e n i d e f i l m s f o r p h o t o s e n s o r a p p l i c a t i o n sJ.O p t i k,2 0 1 8,1 6 8:2 1 7-2 2 7.3 MA THUR I S,R AMAMUR TH I K,R AME S H B R.I n f l u e n c e o f d e p o s i t i o n d i s t a n c e a n d s u b s t r a t e t e m p e r a t u r e o n t h e C d S e t h i n f i l m s d e p o s i t e d b y e l e c t r o n b e a m e v a p o r a t i o n t e c h n i q u eJ.T h i n S o l i d-F i l m s,2 0 1 7,6 2 5:1 3 8-1 4 7.4 B AO Z,YAN G X,L I B,e t a l.T h e s t u d y o f C d S e t h i n f i l m p r e p a r e d b y p u l s e d l a s e r d e p o s i t i o n f o r C d S e/C d T e s o l a r c e l lJ.J o u r n a l o f M a t e r i a l s S c i-e n c e:M a t e r i a l s i n E l e c t r o n i c s,2 0 1 6,2 7(7):7 2 3 3-7 2 3 9.5 P A T I L V T,A T T A R D E R R,T O D A Y R,e t a l.S y n t h e s i s a n d c h a r a c t e r i z a t i o n o f n a n o s t r u c t u r e d v a c u u m e v a p o r a t e d B i d o p e d C d S e t h i n f i l m sJ.I O S R J A p p l P h y s,2 0 1 6,8(5):3 5-4 1.6 S AN THO S H T C M,B AN G E R A K V,S H I VA-KUMA R G K.E f f e c t o f B i d o p i n g o n t h e p r o p e r t i e s o f C d S e t h i n f i l m s f o r o p t o e l e c t r o n i c d e v i c e a p p l i c a-t i o n sJ.M a t e r i a l s S c i e n c e i n S e m i c o n d u c t o r P r o-c e s s i n g,2 0 1 7,6 8:1 1 4-1 1 7.7 S HAH N A,A L I A,MAQ S OO D A.C h a r a c t e r i z a-t i o n o f C d T e t h i n f i l m s f a b r i c a t e d b y c l o s e s p a c e d s u b l i m a t i o n t e c h n i q u e a n d a s t u d y o f C u d o p i n g b y i o n e x c h a n g e p r o c e s sJ.J o u r n a l o f N o n-C r y s t a l i n e S o l i d s,2 0 0 9,3 5 5(2 8/3 0):1 4 7 4-1 4 7 8.8 B HA T TA CHA R YA P,B O S E D N.P u l s e d l a s e r d e p o s i t i o n o f C d T e t h i n f i l m s f o r h e t e r o j u n c t i o n s o n s i l i c o nJ.S e m i c o n d u c t o r S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y,1 9 9 1,6(5):3 8 4.9 P A T E L H S,R A THO D J R,P A T E L K D,e t a l.S t r u c t u r a l a n d s u r f a c e s t u d i e s o f v a c u u m e v a p o r a t e d c a d m i u m t e l u r i d e t h i n f i l m sJ.Am e r i c a n J M a t e r S c i&T e c h,2 0 1 2,1:1 1-2 1.1 0 S HAO M,F I S CHE R A,G R E C U D,e t a l.R a d i o-f r e q u e n c y-m a g n e t r o n-s p u t e r e d C d S/C d T e s o l a r c e l l s o n s o d a-l i m e g l a s sJ.A p p l i e d P h y s i c s L e t-t e r s,1 9 9 6,6 9(2 0):3 0 4 5-3 0 4 7.1 1 B OON E J L,VAN D O R E N T P,B E R R Y A K.D e p o s i t i o n o f C d T e b y s p r a y p y r o l y s i sJ.T h i n S o l i d F i l m s,1 9 8 2,8 7(3):2 5 9-2 6 4.1 2 I S L AM M A,R AHMAN K S,HAQU E F,e t a l.E f f e c t o f S n d o p i n g o n t h e p r o p e r t i e s o f n a n o s t r u c-t u r e d Z n O t h i n f i l m s d e p o s i t e d b y C o-s p u t t e r i n g t e c h n i q u eJ.J o u r n a l o f N a n o s c i e n c e a n d N a n o-t e c h n o l o g y,2 0 1 5,1 5:9 1 8 4-9 1 9 1.1 3 L I Q,CHE N C,WANG M G,e t a l.S t u d y o n p h o-t o e l e c t r i c i t y p r o p e r t i e s o f S i C N t h i n f i l m s p r e p a r e d b y m a g n e t r o n s p u t t e r i n gJ.J o u r n a l o f M a t e r i a l s R e s e a r c h a n d T e c h n o l o g y,2 0 2 1,1 5:4 6 0-4 6 7.1 4 邢晓帅,刘影夏,于晓东,等.溅射功率和气压对直流磁控溅射制备钨薄膜的影响J.稀有金属材料与工程,2 0 2 2,5 1(2):6 8 2-6 8 8.1 5 刘艳,姜坤,吴宝嘉,等.沉积参数对二氧化钛薄膜结构相变的影响J.延边大学学报(自然科学版),2 0 1 4,4 0(1):3 4-3 7.1 6 R O S L Y H N,R AHMAN K S,A B D U L L AH S F,e t a l.T h e r o l e o f d e p o s i t i o n t e m p e r a t u r e i n t h e 612 第3期崔熙林,等:磁控溅射C d S e薄膜的光学和电学性质p h o t o v o l t a i c p r o p e r t i e s o f R F-s p u t t e r e d C d S e t h i n f i l m sJ.C r y s t a l s,2 0 2 1,1 1(1):7 3.1 7 Z HAO G L,Z HAN G T B,Z HAN G T,e t a l.E l e c-t r i c a l a n d o p t i c a l p r o p e r t i e s o f t i t a n i u m n i t r i d e c o a t i n g s p r e p a r e d b y a t m o s p h e r i c p r e s s u r e c h e m i-c a l v a p o r d e p o s i t i o nJ.J o u r n a l o f N o n-C r y s t a l l i n e S o l i d s,2 0 0 8,3 5 4(1 2/1 3):1 2 7 2-1 2 7 5.1 8 C U L L I T Y B D,S T O C K S R.E l e m e n t s o f X-r a y D i f f r a c t i o nM.3 r d E d i t i o n.N e w J e r s e y:P r e n t i c e H a l l,2 0 0 1:3 8 8.1 9 MA THUR I S,R AMAMUR TH I K,B A B U R R.E f f e c t o f S b i n c o r p o r a t i o n o n t h e s t r u c t u r a l,o p t i-c a l,m o r p h o l o g i c a l a n d e l e c t r i c a l p r o p e r t i e s o f C d S e t h i n f i l m s d e p o s i t e d b y e l e c t r o n b e a m e v a p o-r a t i o n t e c h n i q u eJ.T h i n S o l i d F i l m s,2 0 1 8,6 6 0:2 3-3 0.2 0 L A L I THA S,S A THYAMOO R THY R,S E N T-H I L A R A S U S,e t a l.I n f l u e n c e o f C d C l2 t r e a t m e n t o n s t r u c t u r a l a n d o p t i c a l p r o p e r t i e s o f v a c u u m e v a p o r a t e d C d T e t h i n f i l m sJ.S o l a r E n e r g y M a t e r i a l s a n d S o l a r C e l l s,2 0 0 6,9 0(6):6 9 4-7 0 3.2 1 S I N DHUA H S,MA I D UR S R,P A T I L P S,e t a l.N o n l i n e a r o p t i c a l a n d o p t i c a l p o w e r l i m i t i n g s t u d i e s o f Z n1-x M nxO t h i n f i l m s p r e p a r e d b y s p r a y p y r o l y-s i sJ.O p t i k,2 0 1 9,1 8 2:6 7 1-6 8 1.2 2 P A T I L K R,P A R AN J A P E D V,S A THAY E S D,e t a l.A p r o c e s s f o r p r e p a r a t i o n o f Q-C d S e t h i n f i l m s b y l i q u i d-l i q u i d i n t e r f a c e r e a c t i o n t e c h n i q u eJ.M a t e r i a l s L e t t e r s,2 0 0 0,4 6(2/3):8 1-8 5.2 3 KA L E R B,L OKHAN D E C D.S y s t e m a t i c s t u d y o n s t r u c t u r a l p h a s e b e h a v i o r o f C d S e t h i n f i l m sJ.T h e J o u r n a l o f P h y s i c a l C h e m i s t r y B,2 0 0 5,1 0 9(4 3):2 0 2 8 8-2 0 2 9 4.2 4 MAKOR I N E,AMA TA L O I A,KA R I M I P M,e t a l.O p t i c a l a n d e l e c t r i c a l p r o p e r t i e s o f C d O:S n t h i n f i l m s f o r s o l a r c e l l a p p l i c a t i o n sJ.I n t e r n a-t i o n a l J o u r n a l O p t o e l e c t r o n i c E n g i n e e r i n g,2 0 1 4,4(1):1 1-1 5.(上接第1 9 4页)在条件(H3)中取l(t)=t.由于t1,e,因此有t1+tt,t1+ts i nuts i nu.由此可知条件(H3)成立,且f(t,u(t)满足条件(H1)和条件(H3).利用()(e-1)8对式(1 5)进行求解可得(e-1)()l1.由此再根据定理3可知,边值问题(1 6)至少存在一个解.参考文献:1 MA Q H,MA C,WAN G J U.A L y a p u n o v-t y p e i n e q u a l i t y f o r a f r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n w i t h H a d a m a r d d e r i v a t i v eJ.J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l I n e q u a l i t i e s,2 0 1 7,1 1(1):1 3 5-1 4 1.2 L AA D J A L Z,A D J E R OU D N,MA Q.L y a p u n o v-t y p e i n e q u a l i t y f o r t h e H a d a m a r d f r a c t i o n a l b o u n d a r y v a l u e p r o b-l e m o n a g e n e r a l i n t e r v a l a,b J.J o u r n a l o f M a t h e m a t i c a l I n e q u a l i t i e s,2 0 1 9,1 3(3):7 8 9-7 9 9.3 武杰慧,马德香.一类分数阶微分方程边值问题的L y a p u n o v不等式及其正解的存在性J.汕头大学学报(自然科学版),2 0 2 2,3 7(2):2 6-3 3.4 张丽平.两类混合型分数阶微分方程的边值问题解的存在性研究D.昆明:云南师范大学,2 0 2 2.5 郑春华,宁艳艳.一类分数阶L a p l a c i a n方程边值问题解的存在性与唯一性J.云南民族大学学报(自然科学版),2 0 1 4,2 3(6):4 2 9-4 3 3.6 杨海鹏.B a n a c h压缩映射原理的应用J.湖南工程学院学报(自然科学版),2 0 1 8,2 8(1):5 3-5 6.7 甘亦苗,侯成敏.一类H a d a m a r d型分数阶微分方程解的存在唯一性J.延边大学学报(自然科学版),2 0 2 1,4 7(2):9 5-1 0 0.8 武杰慧.两类分数阶微分方程边值问题的L y a p u n o v不等式研究D.北京:华北电力大学,2 0 2 2.9 F E R R E I R A R A C.A L y a p u n o