一次函数和二次函数的性质与图象.doc

年 级
高一
学 科
数学
版 本
通用版
内容标题
一次函数和二次函数的性质与图象
编稿老师
房新宝

【本讲主要内容】
一次函数和二次函数的性质与图象

【知识掌握】
【知识点精析】
1. 一次函数定义：形如的函数叫一次函数。
一次函数图象：斜率为a，在y轴上截距为b的直线。
一次函数性质：在（－∞，+∞）上是单调函数，a>0增函数，a<0减函数。
2. 二次函数
（1）定义：形如的函数叫二次函数。
（2）图象：抛物线，对称轴：，顶点，开口方向a>0向上；a<0向下。
（3）二次函数的基本性质
<1>二次函数的三种表示法：

<2>当a>0，f(x)在区间［p，q］上的最大值为M，最小值为m，令
若，则
若，则
若，则；
若，则
特别提醒：
（1）学习“二次”函数时，要注意所给出函数解析式是不是“二次”的，即项的系数是否为零，必要时加以讨论。
（2）一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式常常联系起来考查，要理清它们之间的联系，解题时要做到适时转换。
（3）图象要记熟，它是我们记忆的关键。

【解题方法指导】
例1. （1）设x、y是关于m的方程的两个实根，则的最小值是（ ）
A. B. 18 C. 8 D.
剖析：由，得或。
于是有
。
由此可知，当a=3时，取得最小值8。
答案：C
（2）（2004年江苏，13）二次函数的部分对应值如下表：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y
6
0
-4
-6
-6
-4
0
6
则不等式的解集是____________。
解析：由表知，又x=0，y=-6，
代入知。
答案：

例2. 已知二次函数的图象与直线y=25有公共点，且不等式的解是，求a、b、c的取值范围。
解：依题意有解，故。
又不等式的解是。
且有

，代入得
。故得a、b、c的取值范围为。

评述：二次方程，二次不等式（或<0）与二次函数的图象联系比较密切，要注意利用图象的直观性来解二次不等式和二次方程的问题。

例3. 求函数在［0，2］上的值域。
思路分析：由可知对称轴为x=a是一个变量，应分a<0，0≤a≤1，1<a≤2，a>2四种情况分类讨论。
解：结合二次函数的图象，观察对称轴x=a与区间［0，2］的位置关系，得
①当a<0时，，

②当时，

③当时，

④当a>2时，
。
误区警示：讨论要全面，不重不漏，特别是，，不能把两者合为一个区间研究。
方法点拨：对于二次函数在区间［p，q］上的最大值和最小值：
若，则当是最小（大）值，且与中最大（小）者为最大（小）值；
若，则与中的最大者为最大值，最小者为最小值。

方法技巧：
1. 解决与二次函数有关的问题，关键是通过配方得出顶点，由此可知函数的图象、对称轴、单调区间、最值等。
2. 二次函数在闭区间［m，n］上最值的求法：

（1）若，则为函数的一个最值，另一个最值为或；
（2）若，则在［m，n］上为单调函数，和为函数的两个最值。
3. 一元二次方程的区间根问题：可从判别式、区间端点函数的正、负及对称轴与区间的关系三个方面考虑。
4. 注意根据题设条件恰当选择二次函数的三种表达形式，以简化解题过程。
5. 二次函数，当时，图象与x轴有两个交点，则。

【考点突破】
【考点指要】
本节内容属高考重点考查内容之一，比重5分～20分，多以选择题和解答题出现。常用到数形结合、等价转化分类讨论等数学思想。
考点：二次函数的性质
掌握二次函数的对称性、增减性、最值公式及图象与性质的关系，理解并掌握二次函数、二次方程与二次不等式的内在联系，能利用“数形结合”、“判别式”和“韦达定理”讨论二次方程根的情况及二次不等式的解集。

【典型例题分析】
例1. （1）（2004·北京）函数在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：，对称轴x=a，函数在区间［1，2］上存在反函数的充要条件是函数在［1，2］上单调，即a≤1或a≥2。
（2）（2003·全国）设a>0，，曲线在点P（）处切线的倾斜角的取值范围为，则p到曲线对称轴距离的取值范围为（ ）

A. B. C. D.
答案：B
解析：的导数为，由已知在点P（）处切线的倾斜角的取值范围为，因此有，而P到曲线的对称轴的距离为。
（3）（2003·北京）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为_________。
答案：
解析：设正方形周长为，面积和为S，则

令
由二次函数图象：当时，g(x)取得最小值，此时S最小。
∴正方形周长为。

例2. （2003·北京春招）某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元。未租出的车每辆每月需要维护费50元。
（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆车。
（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为，
整理得。
所以，当x=4050时f(x)最大，最大值为。

即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大利益为307050元。

例3. （2005·全国I文）已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式的解集为（1，3）。
（1）若方程有两个相等的根，求f(x)的解析式；
（2）若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围。
解：（1）的解集为（1，3）
，且

①
由方程得
②
∵方程②有两个相等的根

即
解得a=1或
由于a<0，舍去a=1
将代入①得f(x)的解析式为

（2）由

又a<0，可得的最大值为
由

解得或
故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是（－∞，）（，0）

【达标测试】
1. 设二次函数，若，则的值是（ ）
A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 与m有关
2. 二次函数满足且的两根为，则（ ）
A. 0 B. 3 C. 6 D. 1.5
3. 若x≥0，y≥0，且，那么的最小值为（ ）
A. 2 B. C. D. 0
4. 已知，m、n是方程的两根，且，则实数a、b、m、n的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知，其中a、b、c均是实数，则一定有（ ）
A. B.
C. D.
6. 方程0至少有一个负根的充要条件是（ ）
A. 0<a≤1 B. a<1 C. a≤1 D. 0<a≤1或a<0
7. 已知函数。若有最小值-2，则f(x)的最大值为（ ）
A. –1 B. 0 C. 1 D. 2
8. 都是定义在R上的函数，且方程有实数解，则不可能是（ ）
A. B. C. D.
9. 二次函数在区间［1，4］上的最小值是（ ）
A. –7 B. –4 C. –2 D. 2

10. a，b∈N*，方程和方程都有实根，则a+b的最小值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
11. 若函数的图象关于直线x=1对称，则a=________，b=________。
12. 已知函数的定义域为R，值域为，则a的范围为________。
13. 由已知函数，并且函数f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________。
14. 已知函数对任意实数x都有成立，若当时，恒成立，则b的取值范围是________。
15. 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本。若每辆车投入成本增加的比例为x（0<x<1），则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x。已知年利润=（出厂价－投入成本）×年销售量。
（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围。
16. 已知二次函数的定义域为R，在x=t处取得最值。若为一次函数，且。
（1）求的解析式；
（2）若时，恒成立，求t的取值范围。

【综合测试】
1. 设二次函数，如果（其中），则等于（ ）
A. B. C. c D.
2. 二次函数的图象的顶点在x轴上，且a、b、c为△ABC的三边长，则

△ABC为（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
3. 已知函数在区间上是增函数，则f(1)的范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 下图所示为二次函数的图象，则等于（ ）
A. B. C. D. 无法确定

5. 已知，在闭区间［0，m］上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是___________。
6. 已知函数，求y的最小值。
7. 要使有反函数，则a的最小值为__________。
8. 函数在区间［-1，1］上的最小值是__________，最大值是__________。
9. （2003年春季上海）若函数的图象关于直线x=1对称，则b=__________。
10. 已知函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的取值范围。
11. 设，当时，恒成立，求实数a的取值范围。
12. 对于函数，若存在，使成立，则称为f(x)的不动点。已知函数。
（1）当a=1，b=-2时，求f(x)的不动点；

（2）若对于任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围。
13. （2003年全国，文）设函数
（1）判断函数f(x)的奇偶性；
（2）求函数f(x)的最小值。
14. 已知的图象过点（-1，0），是否存在常数a、b、c，使不等式对一切实数x都成立？
15. （2005·浙江文）已知函数和的图象关于原点对称，且。
（1）求函数g(x)的解析式；
（2）解不等式
（3）若在［－1，1］上是增函数，求实数的取值范围。
16. （2005·郑州模拟）设关于x的一元二次方程有两个实根。
（1）求的值；
（2）求证：，且；
（3）如果，试求a的最大值。

【达标测试答案】
1. B 2. C 3. C 4. A 5. C
6. C 7. C 8. B 9. C 10. D
11. –4，6 12. a=3或-1
13. 1<a≤3 14. b<-1或b>2
15. 解：（1）由题意得

整理得
（2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当
，即
解不等式得。
答：为保证本年度的利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足。
16. 解：（1）设

又为一次函数
∴a=1，则
（2）①若时，要使恒成立，只需，
即，这与t<-1矛盾。
②若时，要使恒成立
只需，即

③若t>2时，要使恒成立
只需，即t≤3，∴2<t≤3
综上所述t的取值范围是［，3］

【综合测试答案】

1. D
解析：
2. B
解析：
∴顶点为（）
由题意知
∴△ABC为直角三角形。
3. A
解析：由的对称轴是，可知在上递增，由题设只需。

4. B
解析：
5. ［1，2］
解析：通过画二次函数图象知。
6. 解：。
令，则
，的定义域为
∵抛物线的对称轴方程是t=a
∴当a≥2时，；
当a<2且a≠0时，
7. –2
解析：要使有反函数，则在上是单调函数。

8. –3，9
解析：
当x=1时，；当x=-1时，

9. 6
解法一：二次函数的图象关于直线x=1对称，说明二次函数的对称轴为1，即。∴a=－4。而是定义在［a，b］上的，即a、b关于x=1也是对称的，。∴b=6。
解法二：∵二次函数的对称轴为x=1，∴f(x)可表示为，与原二次函数的表达式比较对应项系数，可得，b的计算同解法一。
解法三：∵二次函数的对称轴x=1，∴有，比较对应项系数，∴a=-4，b的计算同解法一。
10. 解：若m=0，则，显然满足要求
若m≠0，有两种情况：
①原点的两侧各有一个，则

②都在原点右侧，则
解得
综上可得
11. 解：（1）当a≤-1时，，恒成立，即。故此时。
（2）当a>-1时，，恒成立，即。故此时。
由（1）（2）知，当时，，恒成立。

12. 解：（1）当a=1，b=－2时，
或的不动点为x=3或x=-1。
（2）对任意实数b，f(x)恒有两个相异不动点对任意实数b，x恒有两个不等实根对任意实数b，恒成立对任意实数b，恒成立。
13. 解：（1）

∴f(x)不是R上的奇函数

不是偶函数
故是非奇非偶的函数
（2）当x≥2时，，此时
当x<2时，，此时
总之，
14. 解：∵f(x)的图象过点（-1，0）， ①
对一切x∈R均成立，
∴当x=1时也成立，即
故有
由①②得，

故对一切x∈R成立，

也即恒成立

解得。
∴存在一组常数，使不等式对一切实数x均成立。
评述：赋值法（特殊值法）可以使“探索性”问题变得比较明朗，它是解决这类问题比较常用的方法。
15. 解：（1）设函数的图象上任一点Q（）关于原点的对称点为P（x，y），
则即
∵点Q（）在函数的图象上
，即
故
（2）由可得

当时，
此时不等式无解。
当x<1时，

因此，原不等式的解集为
（3）
①当时，
在［-1，1］上是增函数

②当时，对称轴的方程为
当时，，解得
当时，，解得
16.（1）解：

（2）证明：令
由0得
∴抛物线f(x)的对称轴
又
∴f(x)图象与x轴的交点都在点（-1，0）的左侧，
故，且
（3）由（1）得
又

故当，即时，a取得最大值为。

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