资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．定义在上的函数满足，且当时，.若关于的方程在上至少有两个实数解，则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
2．设a，bR，，则（）
A. B.
C. D.
3．函数 的最小值和最大值分别为( )
A. B.
C. D.
4．函数在上的最小值为，最大值为2，则的最大值为（）
A. B.
C. D.2
5．函数y=ax﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点
A.（0，1） B.（1，1）
C.（2，0） D.（2，2）
6．下列四组函数中，定义域相同的一组是（）
A.和 B.和
C.和 D.和
7．数列的前项的和为（ ）
A. B.
C. D.
8．已知向量，，且，若，均为正数，则的最大值是
A. B.
C. D.
9．已知为锐角，且，，则
A. B.
C. D.
10．已知集合，，则
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（时）之间近似满足如图所示的图象．据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为___________小时．
12．幂函数的图像经过点，则的值为____
13．写出一个值域为，在区间上单调递增的函数______
14．已知，，则的最小值是___________.
15．由于德国著名数学家狄利克雷对数论、数学分析和物理学的突出贡献，人们将函数
命名狄利克雷函数，已知函数，下列说法中：
①函数的定义域和值域都是；②函数是奇函数；③函数是周期函数；④函数在区间上是单调函数.
正确结论是__________
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．函数，在内只取到一个最大值和一个最小值，且当时，；当时，
（1）求此函数的解析式；
（2）求此函数的单调递增区间
17．已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最小值为-12
（1）求的解析式；
（2）设函数在上的最小值为，求的表达式
18．已知函数（，且）.
（1）求的值，并证明不是奇函数；
（2）若，其中e是自然对数的底数，证明：存在不为0的零点，并求.
注：设x为实数，表示不超过x的最大整数.
参考数据：，，，.
19．已知全集，集合，或
求：（1）；
（2）.
20．已知函数，其中m为常数，且
（1）求m的值；
（2）用定义法证明在R上是减函数
21．某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、C
【解析】原问题等价于函数与的图象至少有两个交点
【详解】解：关于的方程在上至少有两个实数解，等价于函数与的图象至少有两个交点，
因为函数满足，且当时，，
所以当时，，时，，时，，
所以的大致图象如图所示：
因为表示恒过定点，斜率为的直线，
所以要使两个函数图象至少有两个交点，由图可知只需，即，
故选：C
2、D
【解析】利用不等式的基本性质及作差法，对结论逐一分析，选出正确结论即可.
【详解】因为，则，所以，即，故A错误；
因为，所以，则，
所以，即，
∴，，即，故B错误；
∵由，因，所以，又因为，所以，即，故C错误；
由可得，，故D正确.
故选：D.
3、C
【解析】2.∴当时，，当时，，故选C.
4、B
【解析】将写成分段函数，画出函数图象数形结合，即可求得结果.
【详解】当x≥0时，，
当＜0时，，
作出函数的图象如图：
当时，由=，解得=2
当时，
当＜0时，由,
即，
解得=，
∴此时=，
∵[]上的最小值为，最大值为2，
∴2，，
∴的最大值为，
故选：B
【点睛】本题考查含绝对值的二次型函数的最值，涉及图象的绘制，以及数形结合，属综合基础题.
5、D
【解析】根据a0=1（a≠0）时恒成立，我们令函数y=ax﹣2+1解析式中的指数部分为0，即可得到函数y=ax﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点的坐标
解：∵当X=2时
y=ax﹣2+1=2恒成立
故函数y=ax﹣2+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（2，2）
故选D
考点：指数函数的单调性与特殊点
6、C
【解析】根据根式、分式、对数的性质求各函数的定义域即可.
【详解】A：定义域为，定义域为，不合题设；
B：定义域为，定义域为，不合题设；
C：、定义域均为，符合题设；
D：定义域为，定义域为，不合题设；
故选：C.
7、C
【解析】根据分组求和可得结果.
【详解】，
故选：C
8、C
【解析】利用向量共线定理可得2x+3y=5，再利用基本不等式即可得出
【详解】∵，∴(3y－5)×1＋2x＝0，即2x＋3y＝5.
∵x＞0，y＞0，
∴5＝2x＋3y≥2，∴xy≤，当且仅当3y＝2x时取等号
故选C.
点睛】本题考查了向量共线定理和基本不等式，属于中档题
9、B
【解析】∵为锐角，且
∴
∵，即
∴，即
∴∴
故选B
10、A
【解析】由得，所以；
由得，所以.
所以．选A
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、
【解析】根据图象先求出函数的解析式，然后由已知构造不等式0.25，解不等式可得每毫升血液中含药量不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，他们之间的差值即为服药一次治疗疾病有效的时间
【详解】解：当时，函数图象是一个线段，由于过原点与点，
故其解析式为，
当时，函数的解析式为，
因为在曲线上，所以，解得，
所以函数的解析式为，
综上，，
由题意有，解得，所以，
所以服药一次治疗疾病有效的时间为个小时，
故答案为：．
12、2
【解析】因为幂函数，因此可知f()=2
13、
【解析】综合考虑值域与单调性即可写出满足题意的函数解析式.
【详解】，
理由如下：
为上的减函数，且，
为上的增函数，且，
，
故答案为：
14、
【解析】化简函数，由，得到，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，函数，
因为，可得，
当时，即时，函数取得最小值.
故答案为：.
15、①
【解析】由题意知，所以①正确；根据奇函数的定义，x是无理数时，显然不成立，故②错误；当x是有理数时，显然不符合周期函数的定义故③错误；函数在区间上是既不是增函数也不是减函数，故④错误；综上填①.
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）；（2）.
【解析】（1）由函数的最值求得振幅A，利用周期公式求得，根据五点法求，进而求得解析式；
（2）依据正弦函数单调区间，列出不等式，解之即可得到函数的单调递增区间
【详解】（1）在内函数只取到一个最大值和一个最小值，
当时，；当时，，则，
函数的最小正周期，则
由，可得，则此函数的解析式；
（2）由，可得，
则函数的单调递增区间为
17、（1）；（2）.
【解析】（1）根据不等式的解集是，令，然后由在区间上的最小值为-12，由求解.
（2）由（1）知函数的对称轴是，然后分，两种讨论求解.
【详解】（1）因为不等式的解集是，
令，
因为在区间上的最小值为-12，
所以，
解得，
所以.
（2）当，即时， ，
当，即时，
所以.
【点睛】方法点睛：(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解
18、（1），证明见解析
（2）证明见解析，
【解析】（1）利用，可证明；
（2）利用零点的判定方法证明（5），可求得
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
不是奇函数；
【小问2详解】
，
，
（5），
（5），
存在不为0的零点
19、（1）；（2）.
【解析】（1）直接求集合的交集运算解题即可；
（2）先求集合的补集，再求交集即可解题.
【详解】（1）因为全集，集合，或
所以
（2）或；
=或.
【点睛】本题考查求集合交集和补集的运算，属于基础题.
20、（1）1；（2）证明见解析.
【解析】(1)将代入函数解析式直接计算即可；
(2)利用定义法直接证明函数的单调性即可.
【小问1详解】
由题意得，
，
解得；
【小问2详解】
由(1)知，，所以R，
R，且，
则，
因为，所以，所以，
故，即，
所以函数在R上是减函数.
21、（1）400；
（2）不能获利，至少需要补贴35000元.
【解析】(1)每月每吨的平均处理成本为，利用基本不等式求解即得最低成本；
(2)写出该单位每月的获利f(x)关于x的函数，整理并利用二次函数的单调性求出最值即可作答.
【小问1详解】
由题意可知：，
每吨二氧化碳的平均处理成本为：
，
当且仅当，即时，等号成立，
∴该单位每月处理量为400吨时，每吨平均处理成本最低；
【小问2详解】
该单位每月的获利：
，
因，函数在区间上单调递减，
从而得当时，函数取得最大值，即，
所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴35000元才能使该单位不亏损.
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