河北省秦皇岛市第一中学2023届数学高一上期末预测试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．函数f（x）=-4x+2x+1的值域是（　　）
A. B.
C. D.
2．设全集U=N*，集合A={1，2，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（　　）

A. B.4，
C. D.3，
3．设点关于坐标原点的对称点是B，则等于（）
A.4 B.
C. D.2
4．用二分法求方程的近似解时，可以取的一个区间是（）
A. B.
C. D.
5．函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
6．当点在圆上变动时，它与定点的连线的中点的轨迹方程是（）
A. B.
C. D.
7．若，则的最小值是（）
A. B.
C. D.
8．已知的三个顶点A，B，C及半面内的一点P，若，则点P与的位置关系是　　
A.点P在内部 B.点P在外部
C.点P在线段AC上 D.点P在直线AB上
9．已知向量，向量，则的最大值，最小值分别是（ ）
A.，0 B.4，
C.16，0 D.4，0
10．已知函数f(x)＝－log2x，则f(x)的零点所在的区间是（）
A.(0，1) B.(2，3)
C.(3，4) D.(4，＋∞)
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．已知函数f（x）=x2，若存在t∈R，对任意x∈[1，m]（m＞1，m∈N），都有f（x+t）≤2x，则m的最大值为______
12．函数的零点个数是________.
13．若点在过两点的直线上，则实数的值是________.
14．过点且在轴，轴上截距相等的直线的方程为___________.
15．已知函数，若是上的单调递增函数，则的取值范围是__________
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．如图是函数的部分图象.

（1）求函数的解析式；
（2）若，，求.
17．如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点

(1)求证：EF∥平面A1B1BA；
(2)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．
18．已知函数.
（1）若为偶函数，求实数m的值；
（2）当时，若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当时，关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数m的取值范围.
19．已知幂函数图象经过点.
（1）求幂函数的解析式；
（2）试求满足的实数a的取值范围.
20．已知向量，
1若 ，共线，求x的值；
2若，求x的值；
3当时，求与夹角的余弦值
21．已知函数
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若在区间上存在唯一的最小值为-2，求实数m的取值范围

参考答案

一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、A
【解析】令t=2x（t＞0），则原函数化为g（t）=-t2+t+1（t＞0），然后利用二次函数求值域
【详解】令t=2x（t＞0），
则原函数化为g（t）=-t2+t+1（t＞0），
其对称轴方程为t=，
∴当t=时，g（t）有最大值为
∴函数f（x）=-4x+2x+1的值域是
故选A
【点睛】本题考查利用换元法及二次函数求值域，是基础题
2、C
【解析】由集合，，结合图形即可写出阴影部分表示的集合
【详解】解：根据条件及图形，即可得出阴影部分表示的集合为 ，
故选．
【点睛】考查列举法的定义，以及图表示集合的方法,属于基础题．
3、A
【解析】求出点关于坐标原点的对称点是B，再利用两点之间的距离即可求得结果.
【详解】点关于坐标原点的对称点是

故选：A
4、B
【解析】构造函数并判断其单调性，借助零点存在性定理即可得解.
【详解】，
令，在上单调递增，并且图象连续，，，在区间内有零点，
所以可以取的一个区间是.
故选：B
5、B
【解析】观察在上的图象，从而得到的取值范围.
【详解】解：观察在上的图象，
当时，或，
当时，，
∴的最小值为：，
的最大值为：，

∴的取值范围是
故选：B
【点睛】本题考查余弦函数的定义域和值域，余弦函数的图象，考查数形结合思想，属基础题
6、D
【解析】设中点的坐标为，则，利用在已知的圆上可得的中点的轨迹方程.
【详解】设中点的坐标为，则，
因为点在圆上，故，整理得到.
故选：D.
【点睛】求动点的轨迹方程，一般有直接法和间接法，
（1）直接法，就是设出动点的坐标，已知条件可用动点的坐标表示，化简后可得动点的轨迹方程，化简过程中注意变量的范围要求.
（2）间接法，有如下几种方法：①几何法：看动点是否满足一些几何性质，如圆锥曲线的定义等；②动点转移：设出动点的坐标，其余的点可以前者来表示，代入后者所在的曲线方程即可得到欲求的动点轨迹方程；③参数法：动点的横纵坐标都可以用某一个参数来表示，消去该参数即可动点的轨迹方程.
7、A
【解析】先由得到，利用基本不等式“1的妙用”即可求出最小值.
【详解】因为，所以且，
所以且，即，
所以

当且仅当时，即时等号成立.
故选：A
8、C
【解析】由平面向量的加减运算得：，所以：，由向量共线得：即点P在线段AC上，得解
【详解】因为：，
所以：，
所以：，
即点P在线段AC上，
故选C．
【点睛】本题考查了平面向量的加减运算及向量共线，属简单题．
9、D
【解析】利用向量的坐标运算得到|2用θ的三角函数表示化简求最值
【详解】解：向量，向量，则2（2cosθ，2sinθ+1），
所以|22＝（2cosθ）2+（2sinθ+1）2＝8﹣4cosθ+4sinθ＝8﹣8sin（），
所以|22的最大值，最小值分别是：16，0；
所以|2的最大值，最小值分别是4，0；
故选：D
【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式以及正弦函数的有界性
10、C
【解析】先判断出函数的单调性，然后得出的函数符号，从而得出答案.
【详解】由在上单调递减，在上单调递减
所以函数在上单调递减
又
根据函数f(x) 在上单调递减，由零点存在定理可得函数在(3，4)之间存在零点.
故选：C

二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、5
【解析】设g（x）=f（x+t）-2x=x2+（2t-2）x+t2≤0．从而得到g（1）≤0且g（m）≤0，求得t的范围，讨论t的最值，代入m的不等式求得m的范围，结合条件可得m的最大值
【详解】函数f（x）=x2，
那么f（x+t）=x2+2tx+t2，
对任意实数x∈[l，m]，都有f（x+t）≤2x成立，即有x2+（2t-2）x+t2≤0
令g（x）=x2+（2t-2）x+t2，从而得到g（1）≤0，且g（m）≤0，
由g（1）≤0可得，
由g（m）≤0，即m2+（2t-2）m+t2≤0
当时，；
当时，
综上可得，
由m为正整数，可得m的最大值为5
故答案为5
【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用二次函数的性质，考查运算求解能力，是中档题
12、3
【解析】令f(x)＝0求解即可.
【详解】，方程有三个解，故f(x)有三个零点.
故答案为：3.
13、
【解析】先由直线过两点，求出直线方程，再利用点在直线上，求出的值.
【详解】由直线过两点，得，
则直线方程为：，得，
即，又点在直线上，得，得.
故答案为：
【点睛】本题考查了已知两点求直线的方程，直线方程的应用，属于容易题.
14、或
【解析】当直线不过原点时设截距式方程；当直线过原点时设,分别将点代入即可
【详解】由题,当直线不过原点时设,则,所以,则直线方程为,即；
当直线过原点时设,则,所以,则直线方程为,即,
故答案为: 或
【点睛】本题考查求直线方程,考查截距式方程的应用,截距相同的直线问题,需注意过原点的情况
15、
【解析】利用函数的单调性求出a的取值范围，再求出的表达式并其范围作答.
【详解】因函数是上的单调递增函数，因此有，解得，
所以.
故答案为：

三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）
（2）
【解析】（1）由图象得到，且，得到，结合五点法，列出方程求得，即可得到函数的解析式；
（2）由题意，求得，，结合利用两角和的正弦公式，即可求解.
【小问1详解】
解：由图象可得，函数的最大值为，可得，
又由，可得，所以，所以，
又由图可知是五点作图法中的第三个点，
因为，可得，
因为，所以，所以.
【小问2详解】
解：因为，则，
又因为，所以，
由，则，有，
所以.
17、（1）详见解析（2）30°
【解析】（1）连接A1B，结合三角形中位线定理，得到平行，结合直线与平面平行，的判定定理，即可．（2）取的中点N，连接，利用直线与平面垂直判定定理，得到平面，找出即为所求的角，解三角形，计算该角 的大小，即可
【详解】解：(1)证明：如图，连接A1B.在△A1BC中，

因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1.
又EF⊄平面A1B1BA，
所以EF∥平面A1B1BA
(2)解：因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.
因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC，从而BB1⊥AE.
又BC∩BB1＝B，所以AE⊥平面BCB1，.
取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE.
因为N和E分别为B1C和BC的中点，所以NE∥B1B，NE＝B1B，
故NE∥A1A且NE＝A1A，所以A1N∥AE，且A1N＝AE.
因为AE⊥平面BCB1，所以A1N⊥平面BCB1，从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角．
在△ABC中，可得AE＝2，所以A1N＝AE＝2.
因为BM∥AA1，BM＝AA1，所以A1M∥AB，A1M＝AB，
由AB⊥BB1，有A1M⊥BB1.
在Rt△A1MB1中，可得A1B1＝4.
在Rt△A1NB1中，sin∠A1B1N＝，
因此∠A1B1N＝30°.
所以直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°
【点睛】本题考查了直线与平面垂直、平行判定定理和直线与平面所成角的找法，证明直线与平面平行关键找出一条直线与平面内一条直线平行，直线与平面所成角的找法关键找出直线垂直平面的那条直线，建立角，解三角形，即可．

18、（1）-1；（2）；
（3）
【解析】（1）根据偶函数解得：m=-1，再用定义法进行证明；
（2）记，判断出在上单增，列不等式组求出实数a的取值范围；
（3）先判断出在R上单增且，令，把问题转化为在上有两根，令，，利用图像有两个交点，列不等式求出实数m的取值范围.
【小问1详解】
定义域为R.
因为为偶函数，所以，即，解得：m=-1.
此时，
所以
所以偶函数，
所以m= -1.
【小问2详解】
当时，不等式可化为：，
即对任意恒成立.
记，只需.
因为在上单增，在上单增，
所以在上单增，
所以，
所以，解得：，
即实数a的取值范围为.
【小问3详解】
当时，在R上单增，在R上单增，所以在R上单增且.
则可化为.
又因为在R上单增，所以，换底得：
，即.
令，则，问题转化为在上有两根，
即，
令，，分别作出图像如图所示：

只需，解得：.
即实数m的取值范围为.
【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
19、（1）；（2）.
【解析】（1）把点的坐标代入函数解析式求出的值，即可写出的解析式；（2）根据在定义域上的单调性，把不等式化为关于的不等式组，求出解集即可
【详解】（1）幂函数的图象经过点，
，
解得，
幂函数；
（2）由（1）知在定义域上单调递增，
则不等式可化为

解得，
实数a的取值范围是.
【点睛】本题考查了幂函数的定义与应用问题，属于容易题
20、（1）；（2）；（3）
【解析】（1）根据题意，由向量平行的坐标公式可得，解可得的值，即可得答案；
（2）若，则有，利用数量积的坐标运算列方程，解得的值即可；
（3）根据题意，由的值可得的坐标，由向量的坐标计算公式可得和的值，结合，计算可得答案
【详解】根据题意，向量，，
若，则有，解可得
若，则有，
又由向量，，
则有，即，
解可得.
根据题意，若，
则有，
，

【点睛】本题主要考查两个向量共线、垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，两个向量夹角公式的应用，属于中档题
21、（1）,
（2）
【解析】（1）用诱导公式将函数化为，然后可解；
（2）根据m介于第一个最小值点和第二个最小值点之间可解.
【小问1详解】

所以的最小正周期，
由，解得，
所以的单调递增区间为.
【小问2详解】
令，得
因为在区间上存在唯一的最小值为-2，
所以，，即
所以实数m的取值范围是.