资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．若则一定有
A. B.
C. D.
2．用长度为24米的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙（如图），要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为
A.3米 B.4米
C.6米 D.12米
3．定义在的函数，已知是奇函数，当时，单调递增，若且，且值（ ）
A.恒大于0 B.恒小于0
C.可正可负 D.可能为0
4．已知实数a、b，满足，，则关于a、b下列判断正确的是（）
A.a＜b＜2 B.b＜a＜2
C.2＜a＜b D.2＜b＜a
5．半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（ ）
A. B.
C. D.
6．已知点，，则直线的倾斜角为（ ）
A. B.
C. D.
7．设函数，其中，，，都是非零常数，且满足，则（）
A. B.
C. D.
8．已知，，，则a、b、c大小关系为（）
A. B.
C. D.
9．某市中心城区居民生活用水阶梯设置为三档，采用边际用水量确定分档水量为:
第一档水量为240立方米/户年及以下部分；
第二档水量为240立方米/户年以上至360立方米/户年部分(含360立方米/户年)；
第三档水量为360立方米/户年以上部分.
家庭常住人口在4人(不含4人)以上的多人口户，凭户口簿，其水量按每增加一人各档水量递增50立方米/年确定.
第一档用水价格为2.1元/立方米；第二档用水价格为3.2元/立方米；第三档用水价格为6.3元/立方米.
小明家中共有6口人，去年整年用水花费了1602元，则小明家去年整年的用水量为（ ）.
A.474立方米 B.482立方米
C.520立方米 D.540立方米
10．下列命题中，其中不正确个数是
①已知幂函数的图象经过点，则
②函数在区间上有零点，则实数的取值范围是
③已知平面平面，平面平面，，则平面
④过所在平面外一点，作，垂足为，连接、、，若有，则点是的内心
A.1 B.2
C.3 D.4
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．若，，且，则的最小值为__________
12．在上，满足的取值范围是______.
13．经过原点并且与直线相切于点的圆的标准方程是__________
14．已知函数是定义在上且以3为周期的奇函数，当时，，则时，__________，函数在区间上的零点个数为 __________
15．若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为______.
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．设函数.
（1）当时，若对于，有恒成立，求取值范围；
（2）已知，若对于一切实数恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值.
17．已知直线和点，设过点且与平行的直线为.
（1）求直线的方程；
（2）求点关于直线的对称点
18．已知函数，在区间上有最大值，最小值，设函数.
（1）求的值；
（2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.
19．已知函数.
（1）若为偶函数，求实数m的值；
（2）当时，若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当时，关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数m的取值范围.
20．已知不过第二象限的直线l：ax-y-4=0与圆x2+（y-1）2=5相切
（1）求直线l的方程；
（2）若直线l1过点（3，-1）且与直线l平行，直线l2与直线l1关于直线y=1对称，求直线l2的方程
21．设关于x二次函数
（1）若，解不等式；
（2）若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、D
【解析】本题主要考查不等关系．已知,所以，所以，故．故选
2、A
【解析】主要考查二次函数模型的应用
解：设隔墙长度为，则矩形另一边长为=12－2，矩形面积为=（12－2）=，0<<6，所以=3时，矩形面积最大，故选A
3、A
【解析】由是奇函数，所以图像关于点对称，
当时，单调递增，所以当时单调递增，由，
可得，，由可知，
结合函数对称性可知
选A
4、D
【解析】先根据判断a接近2，进一步对a进行放缩，，进而通过对数运算性质和基本不等式可以判断a>2；
根据b的结构，构造函数，得出函数的单调性和零点，进而得到a,b的大小关系，最后再判断b和2的大小关系，最终得到答案.
【详解】.
构造函数：，易知函数是R上的减函数，且，由，可知：，又，∴，则a>b.
又∵，∴a>b>2
故选：D.
【点睛】对数函数式比较大小通常借助中间量，除了0和1之外，其它的中间量需要根据题目进行分析，中间会用到指对数的运算性质和放缩法；另外，构造函数利用函数的单调性比较大小是比较常用的一种方法，需要我们对式子的结构进行仔细分析，平常注意归纳总结.
5、C
【解析】求出扇形的弧长，然后求出圆锥的底面周长，转化为底面半径，求出圆锥的高，然后求出体积．
【详解】设底面半径为r，则，所以.
所以圆锥高.
所以体积.
故选：C.
【点睛】本题考查圆锥的性质及体积，圆锥问题抓住两个关键点：（1）圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面周长；（2）圆锥底面半径r、高h、母线l组成直角三角形，满足勾股定理，本题考查这两种关系的应用，属于简单题.
6、B
【解析】由两点求斜率公式可得AB所在直线当斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解
【详解】解：∵直线过点，，
∴，
设AB的倾斜角为α（0°≤α＜180°），
则tanα＝1，即α＝45°
故选B
【点睛】本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题
7、C
【解析】代入后根据诱导公式即可求出答案
【详解】解：由题，
∴，
∴，
故选：C
【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式的应用，属于基础题
8、C
【解析】根据对数函数以及指数函数单调性比较大小即可.
【详解】
则
故选：C
9、D
【解析】根据题意，建立水费与用水量的函数关系式，即可求解.
【详解】设小明家去年整年用水量为x，水费为y.
若时，则；
若时，则；
若时，则.
令，解得：
故选：D
10、B
【解析】①
②因为函数在区间上有零点，所以 或,即
③平面平面，平面平面，，在平面内取一点P作PA垂直于平面与平面的交线, 作PB垂直于平面,则所以平面
④因为,且,所以,即是的外心
所以正确命题为①③,选B
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、##
【解析】运用均值不等式中“1”的妙用即可求解.
【详解】解：因为，，且，
所以，当且仅当时等号成立，
故答案为：.
12、
【解析】结合正弦函数图象可知时，结合的范围可得到结果.
【详解】
本题正确结果：
【点睛】本题考查根据三角函数值的范围求解角所处的范围，关键是能够熟练应用正弦函数图象得到对应的自变量的取值集合.
13、
【解析】设圆心坐标，则，，，根据这三个方程组可以计算得：，所以所求方程为：
点睛：设出圆心与半径，根据题意列出方程组，解出圆心和半径即可
14、 ①. ②.5
【解析】（1）当时，，
∴，
又函数是奇函数，
∴
故当时，
（2）当时，令，得，即，
解得，即，
又函数为奇函数，故可得，且
∵函数是以3为周期的函数，
∴，，
又，
∴
综上可得函数在区间上的零点为，共5个
答案：，5
15、
【解析】由复合函数的同增异减性质判断得在上单调递减，再结合对称轴和区间边界值建立不等式即可求解.
【详解】由复合函数的同增异减性质可得，在上严格单调递减，
二次函数开口向上，对称轴为
所以，即
故答案为：
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、 (1)(2)
【解析】（1）据题意知，把不等式的恒成立转化为恒成立，设，则，根据二次函数的性质，求得函数的最大致，即可求解.
（2）由题意，根据二次函数的性质，求得，进而利用基本不等式，即可求解.
【详解】（1）据题意知，对于，有恒成立，
即恒成立，因此 ，
设，所以，
函数在区间上是单调递减的，
，
（2）由对于一切实数恒成立，可得，
由存在，使得成立可得，
，
，当且仅当时等号成立，
【点睛】本题主要考查了恒成立问题的求解，以及基本不等式求解最值问题，其中解答中掌握利用分离参数法是求解恒成立问题的重要方法，再合理利用二次函数的性质，合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
17、（1）x+2y-3=0（2）B（2，-2）
【解析】（1）根据两直线平行则斜率相同，再将点代入即可求出直线的方程；（2）设出所求点的坐标，可表示出中点的坐标,再根据点关于直线的对称性质可得方程组，即可求出对称点的坐标.
试题解析：（1）设, 点代入
∴:
（2）设，则，的中点
∴
∴
∴
18、（1）；（2）；（3）
【解析】（1）利用二次函数闭区间上的最值，通过a与0的大小讨论，列出方程，即可求a，b的值；
（2）转化不等式f（2x）﹣k•2x≥0，为k在一侧，另一侧利用换元法通过二次函数在x∈[﹣1，1]上恒成立，求出最值，即可求实数k的取值范围；
（3）化简方程f（|2x﹣1|）+k（3）＝0，转化为两个函数的图象的交点的个数，利用方程有三个不同的实数解，推出不等式然后求实数k的取值范围
【详解】解：（1）g（x）＝a（x﹣1）2+1+b﹣a，
∵a＞0，∴g（x）在[2，3]上为增函数，
故，可得 ，⇔
∴a＝1，b＝0
（2）方程f（2x）﹣k•2x≥0化为2x2≥k•2x，
k≤1
令t，k≤t2﹣2t+1，
∵x∈[﹣1，1]，∴t，记φ（t）＝t2﹣2t+1，
∴φ（t）min＝φ（1）＝0，
∴k≤0
（3）由f（|2x﹣1|）+k（3）＝0
得|2x﹣1|（2+3k）＝0，
|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）＝0，|2x﹣1|≠0，
令|2x﹣1|＝t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0（t≠0），
∵方程|2x﹣1|（2+3k）＝0有三个不同的实数解，
∴由t＝|2x﹣1|的图象（如图）知，
t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2＝1，
记φ（t）＝t2﹣（2+3k）t+（1+2k），
则或
∴k＞0
【点睛】本题考查函数恒成立，二次函数闭区间上的最值的求法，考查转化思想与数形结合的思想
19、（1）-1；（2）；
（3）
【解析】（1）根据偶函数解得：m=-1，再用定义法进行证明；
（2）记，判断出在上单增，列不等式组求出实数a的取值范围；
（3）先判断出在R上单增且，令，把问题转化为在上有两根，令，，利用图像有两个交点，列不等式求出实数m的取值范围.
【小问1详解】
定义域为R.
因为为偶函数，所以，即，解得：m=-1.
此时，
所以
所以偶函数，
所以m= -1.
【小问2详解】
当时，不等式可化为：，
即对任意恒成立.
记，只需.
因为在上单增，在上单增，
所以在上单增，
所以，
所以，解得：，
即实数a的取值范围为.
【小问3详解】
当时，在R上单增，在R上单增，所以在R上单增且.
则可化为.
又因为在R上单增，所以，换底得：
，即.
令，则，问题转化为在上有两根，
即，
令，，分别作出图像如图所示：
只需，解得：.
即实数m的取值范围为.
【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
20、（1）2x-y-4=0 （2）2x+y-9=0
【解析】（1）利用直线l与圆x2+（y-1）2=5相切，，结合直线l不过第二象限，求出a，即可求直线l的方程；
（2）直线l1的方程为2x-y+b=0，直线l1过点（3，-1），求出b，即可求出直线l1的方程；利用直线l2与l1关于y=1对称，求出直线的斜率，即可求直线l2的方程
【详解】（1）∵直线l与圆x2+（y-1）2=5相切，∴，
∵直线l不过第二象限，∴a=2，
∴直线l的方程为2x-y-4=0；
（2）∵直线l1过点（3，-1）且与直线l平行，
∴直线l1方程为2x-y+b=0，
∵直线l1过点（3，-1），∴b=-7，
则直线l1的方程为2x-y-7=0，
∵直线l2与l1关于y=1对称，∴直线l2的斜率为-2，且过点（4，1），
∴直线l2的斜率为y-1=-2（x-4），即化简得2x+y-9=0
【点睛】本题考查直线方程，考查直线与直线的位置关系，属于中档题
21、（1）；
（2）.
【解析】（1）由题设有，解一元二次不等式求解集即可.
（2）由题意在上恒成立，令并讨论m范围，结合二次函数的性质求参数范围.
【小问1详解】
由题设，等价于，即，解得，
所以该不等式解集为.
【小问2详解】
由题设，在上恒成立
令，则对称轴且，
①当时，开口向下且，要使对恒成立，
所以，解得，则
②当时，开口向上，只需，即
综上，
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