资源描述
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．设函数与的图象的交点为，则所在的区间为( )
A B.
C. D.
2．已知函数恰有2个零点，则实数a取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
3．函数与的图象可能是（）
A. B.
C. D.
4．已知函数，，的图象的3个交点可以构成一个等腰直角三角形，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
5．已知集合，，则
A.或 B.或
C. D.或
6．已知函数，若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围为（）
A. B.
C. D.
7．已知命题：，，那么命题为（）
A.， B.，
C.， D.，
8．已知直线x+3y+n=0在x轴上的截距为-3，则实数n的值为（ ）
A. B.
C. D.
9．若a2＋b2＝2c2（c≠0），则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为
A. B.1
C. D.
10．函数，设，则有
A. B.
C. D.
11． “，”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C 充要条件 D.既不充分也不必要条件
12．若一元二次不等式的解集为，则的值为（ ）
A. B.0
C. D.2
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．总体由编号为，，，，的个个体组成.利用下面的随机数表选取样本，选取方法是从随机数表第行的第列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第个个体的编号为__________
14．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方式如下表：
每户每月用水量
水价
不超过12m的部分
3元/m
超过12 m但不超过18 m的部分
6元/ m
超过18 m的部分
9元/ m
若某户居民本月交纳水费为66元，则此户居民本月用水量为____________.
15．已知，则的最大值为_______
16．已知函数且关于的方程有四个不等实根，写出一个满足条件的值________
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}
（1）求集合P7中元素的个数；
（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并
18．已知定义域为D的函数，若存在实数a，使得，都存在满足，则称函数具有性质.
（1）判断下列函数是否具有性质，说明理由；①；②，.
（2）若函数的定义域为D，且具有性质，则“存在零点”是“”的___________条件，说明理由；（横线上填“充分而不必要”、“必要而不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”）
（3）若存在唯一的实数a，使得函数，具有性质，求实数t的值.
19．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，已知AD=2，，AB=2CD=4
（1）求证：平面PBD⊥平面PAD；
（2）若M为PC的中点，求四棱锥M-ABCD的体积
20．已知函数是上的偶函数，且当时，.
（1）求的值；
（2）求函数的表达式，并直接写出其单调区间（不需要证明）；
（3）若，求实数的取值范围.
21．如图所示,是圆柱的母线,是圆柱底面圆的直径,是底面圆周上异于的任意一点,.
(1)求证:；
(2)求三棱锥体积的最大值,并写出此时三棱锥外接球的表面积.
22．已知集合，，.
（Ⅰ）求，；
（Ⅱ）若，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、C
【解析】令，则，故的零点在内，因此两函数图象交点在内，故选C.
【方法点睛】本题主要考查函数图象的交点与函数零点的关系、零点存在定理的应用，属于中档题.零点存在性定理的条件：（1）利用定理要求函数在区间上是连续不断的曲线；（2）要求；（3）要想判断零点个数还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性).
2、D
【解析】由在区间上单调递减，分类讨论，，三种情况，根据零点个数求出实数a的取值范围.
【详解】函数在区间上单调递减，且方程的两根为.
若时，由解得或，满足题意.
若时，，，当时，，即函数在区间上只有一个零点，因为函数恰有2个零点，所以且.
当时，，，此时函数有两个零点，满足题意.
综上，
故选：D
3、D
【解析】注意到两函数图象与x轴的交点，由排除法可得.
【详解】令，得或，则函数过原点，排除A；
令，得，故函数，都过点，排除BC.
故选：D
4、C
【解析】先根据函数值相等求出，可得，由此可知等腰直角三角形的斜边上的高为，所以底边长为，令底边的一个端点为，则另一个端点为，由此可知，可得，据此即可求出结果.
【详解】令和相等可得，即；
此时，即等腰直角三角形的斜边上的高为，所以底边长为，
令底边的一个端点为，则另一个端点为，
所以，即，
当时，的最小值，最小值为
故选：C
5、A
【解析】进行交集、补集的运算即可．
【详解】；
，或
故选A．
【点睛】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算．
6、C
【解析】先分析出的奇偶性，再得出的单调性，由单调性结合奇偶性解不等式得到，再利用均值不等式可得答案.
【详解】的定义域满足，由，
所以在上恒成立.所以的定义域为
则
所以，即为奇函数.
设，由上可知为奇函数.
当时，，均为增函数，则在上为增函数.
所以在上为增函数.
又为奇函数，则在上为增函数，且
所以在上为增函数.
所以在上为增函数.
由，即
所以对任意实数x恒成立
即，由
当且仅当，即时得到等号.
所以
故选：C
7、B
【解析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.
【详解】因为命题：，是全称量词命题，
所以其否定是存在量词命题，即，，
故选：B
8、B
【解析】根据题意，分析可得点（﹣3，0）在直线x+3y+n=0上，将点的坐标代入直线方程，计算可得答案
【详解】根据题意，直线x+3y+n=0在x轴上的截距为﹣3，
则点（﹣3，0）在直线x+3y+n=0上，即（﹣3）×+n=0，
解可得：n=3；
故选B
【点睛】本题考查直线的一般式方程以及截距的计算，关键是掌握直线一般方程的形式，属于基础题
9、D
【解析】因为，所以设弦长为，则，即.
考点：本小题主要考查直线与圆的位置关系——相交.
10、D
【解析】>1，<0，0<<1，∴b<c<1，
又在x∈（-∞，1）上是减函数，∴f(c)<f(b)<0，而f(a)>0，∴f(c)<f(b)<f(a) .
点睛：在比较幂和对数值的大小时，一般化为同底数的幂（利用指数函数性质）或同底数对数（利用对数函数性质），有时也可能化为同指数的幂（利用幂函数性质）比较大小，在不能这样转化时，可借助于中间值比较，如0或1等．把它们与中间值比较后可得出它们的大小
11、A
【解析】根据充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】∵ “，”可推出“”，
“”不能推出“，”，例如，时，，
∴ “，”是“”充分不必要条件.
故选：A
12、C
【解析】由不等式与方程的关系转化为，从而解得
【详解】解：∵不等式kx2﹣2x+k＜0的解集为{x|x≠m}，
∴，
解得，k＝﹣1，m＝﹣1，
故m+k＝﹣2，
故选：C
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、
【解析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论.
【详解】按照随机数表的读法所得样本编号依次为23,21,15，可知第3个个体的编号为15.
故答案为：15.
14、
【解析】根据阶梯水价，结合题意进行求解即可.
【详解】解：当用水量为时，水费为，而本月交纳的水费为66元，显然用水量超过，
当用水量为时，水费为，
而本月交纳的水费为66元，所以本月用水量不超过，
即有，
因此本月用水量为，
故答案为：
15、
【解析】消元，转化为求二次函数在闭区间上的最值
【详解】
，
，
时，取到最大值，
故答案为：
16、（在之间都可以）.
【解析】画出函数的图象，结合图象可得答案.
【详解】
如图，当时，
，当且仅当时等号成立，
当时，，
要使方程有四个不等实根，只需使即可，
故答案为：（在之间都可以）.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（1）46 （2）n的最大值为14
【解析】（1）对于集合P7 ，有n=7．当k=4时，Pn={|m∈In，k∈In}中有3个数（1，2，3）与
In={1，2，3…，n}中的数重复，由此求得
集合P7中元素的个数为 7×7﹣3=46
（2）先证当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并集．否则，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B=Pn⊇In
不妨设1∈A，则由于1+3=22，∴3∉A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，但1+15=42，
这与A为稀疏集相矛盾
再证P14满足要求．当k=1时，P14={|m∈I14，k∈I14}=I14，可以分成2个稀疏集的并集
事实上，只要取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，则A1和B1都稀疏集，且A1∪B1=I14
当k=4时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，…，}，可以分为下列3个稀疏集的并：
A2={，，，}，B2={，，}
当k=9时，集合{|m∈I14}中，除整数外，剩下的数组成集合{，，，，…，，}，
可以分为下列3个稀疏集的并：
A3={，，，，}，B3={，，，，}
最后，集合C═{|m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9 }中的数的分母都是无理数，
它与Pn中的任何其他数之和都不是整数，
因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14
综上可得，n的最大值为14
18、（1）①不具有性质；②具有性质
（2）必要而不充分条件，理由见解析
（3）
【解析】（1）根据举例说明当时不存在；取可知具有性质.（2）分别从存在零点，证明.和若，具有性质时，.两个角度证明“存在零点”是“”的必要而不充分条件.（3）令函数的值域为，的值域.若函数有性质，则有对，使得成立，所以，分情况讨论的范围，从而求出的取值.
【小问1详解】
函数不具有性质.理由如下：
对于，因为，所以不存在满足.
所以函数不具有性质.
函数具有性质.理由如下：
对于，取，则.
因为，
所以函数具有性质.
【小问2详解】
必要而不充分理由如下：
①若存在零点，令，则.
因为，取，则，且.
所以具有性质，但.
②若，因为具有性质，
取，则存在使得.
所以，即存在零点.
综上可知，“存在零点”是“”的必要而不充分条件.
【小问3详解】
记函数的值域为，函数的值域.
因为存在唯一的实数，使得函数有性质，即存在唯一的实数，对，使得成立，所以.
①当时，，其值域.
由得.
②当，且时，是增函数，所以其值域
由得，舍去.
③当时，的最大值为，
最小值为4，
所以的值域.
由得，舍去.
当时，的最大值为，最小值为，
所以的值域.
由得（舍去）.
19、（1）证明过程详见解析（2）
【解析】(1)先证明BD⊥平面PAD，即证平面PBD⊥平面PAD.(2) 取AD中点为O，则PO是四棱锥的高,再利用公式法求四棱锥M-ABCD的体积
【详解】（1）在三角形ABD中由勾股定理得AD⊥BD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BD⊥平面PAD，则平面PBD⊥平面PAD.
（2）取AD中点为O，则PO是四棱锥的高，，底面ABCD的面积是三角形ABD面积的，即，所以四棱锥P-ABCD的体积为.
【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查空间几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理转化能力.
20、（1）
（2）答案见解析（3）
【解析】（1）根据偶函数的性质直接计算；
（2）当时，则，根据偶函数的性质即可求出；
（3）由题可得，根据单调性可得，即可解出.
【小问1详解】
因为是上的偶函数，所以.
【小问2详解】
当时，则，则，
故当时，，
故，
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
【小问3详解】
若，即，即
因为在单调递减，所以，
故或，解得：或，
即.
21、 (1)见解析；(2) .
【解析】（1）由圆柱易知平面，所以，由圆的性质易得，进而可证平面；
（2）由已知得三棱锥的高,当直角的面积最大时,三棱锥的体积最大,当点在弧中点时最大, 此时外接球的直径即可得解.
试题解析：
(1)证明:∵已知是圆柱的母线,.∴平面
∵是圆柱底面圆的直径,是底面圆周上异于的任意一点,
∴,又,∴平面
又平面
(2)解:由已知得三棱锥的高,当直角的面积最大时,
三棱锥的体积最大,当点在弧中点时最大,
,
结合(1)可得三棱锥的外接球的直径即为,
所以此时外接球的直径.
.
点睛：一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.
22、（1）（2）或.
【解析】（Ⅰ）由交并补集定义可得；
（Ⅱ），说明有公共元素，由这两个集合的形式，知或即可.
试题解析：
（Ⅰ），，
，
又，
；
（Ⅱ）若，则需或，
解得或.
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