贵州省大方县第一中学2022年高一上数学期末教学质量检测试题含解析.doc

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1．已知偶函数的定义域为且，，则函数的零点个数为（ ）
A. B.
C. D.
2．设，为平面向量，则“存在实数，使得”是“向量，共线”的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3．设点分别是空间四边形的边的中点，且，，，则异面直线与所成角的正弦值是（ ）
A. B.
C. D.
4．已知函数，把函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，若是在内的两根，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
5．已知f(x)、g(x)均为[﹣1，3]上连续不断的曲线，根据下表能判断方程f(x)=g(x)有实数解的区间是（ ）
x
﹣1
0
1
2
3
f(x)
﹣0677
3.011
5.432
5.980
7.651
g(x)
﹣0.530
3.451
4.890
5.241
6.892
A.(﹣1，0) B.(1，2)
C.(0，1) D.(2，3)
6．下列函数中在定义域上为减函数的是 （ ）
A. B.
C. D.
7．三个数20.3，0.32，log0.32的大小顺序是
A.0.32＜log0.32＜20.3 B.0.32＜20.3＜log0.32
C.log0.32＜20.3＜0.32 D.log0.32＜0.32＜20.3
8．已知，，则直线与直线的位置关系是（ ）
A.平行 B.相交或异面
C.异面 D.平行或异面
9．已知偶函数在区间单调递减，则满足的x取值范围是　　
A. B.
C. D.
10．若正实数满足，（为自然对数的底数），则（）
A. B.
C. D.
11．已知全集，集合，，则（）
A. B.
C D.
12．两平行直线l1：3x+2y+1＝0与l2：6mx+4y+m＝0之间的距离为
A.0 B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13．若关于的不等式的解集为，则实数__________
14．已知，，则的值为
15．设常数使方程在闭区间上恰有三个不同的解，则实数的取值集合为________，_______
16．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．已知函数.
（1）证明为奇函数；
（2）若在上为单调函数，当时，关于的方程：在区间上有唯一实数解，求的取值范围.
18．已知函数（，且）
（1）若函数的图象过点，求b的值；
（2）若函数在区间上的最大值比最小值大，求a的值
19．如图，以Ox为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于P，Q两点，已知点P的坐标为

（1）求的值；
（2）若，求的值
20．在三棱锥中，，，O是线段AC的中点，M是线段BC的中点.

（1）求证：PO⊥平面ABC；
（2）求直线PM与平面PBO所成的角的正弦值.
21．已知函数
（1）求函数导数；
（2）求函数的单调区间和极值点.
22．已知函数
（Ⅰ）当时，求在区间上的值域；
（Ⅱ）当时，是否存在这样的实数a，使方程在区间内有且只有一个根？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1、D
【解析】令得，
作出和在上的函数图象如图所示，
由图像可知和在上有个交点，
∴在上有个零点，
∵，均是偶函数，
∴在定义域上共有个零点，
故选

点睛：
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等
2、A
【解析】结合充分条件和必要条件的概念以及向量共线即可判断.
【详解】充分性：由共线定理即可判断充分性成立；
必要性：若，，则向量，共线，但不存在实数，使得，即必要性不成立.
故选：A.
3、C
【解析】取BD中点G，连结EG、FG
∵△ABD中，E、G分别为AB、BD的中点
∴EG∥AD且EG=AD=4，
同理可得：FG∥BC且FG=BC=3，
∴∠FEG（或其补角）就是异面直线AD与EF所成的角

∵△FGE中，EF=5，EG=4，FG=3，∴EF2=25=EG2+FG2，得
故答案为C．
4、A
【解析】把函数图象向右平移个单位，得到函数，化简得 且周期为，因为是在内的两根，所以必有，根据 得，
令，则，，所以 ,故选A.
5、C
【解析】设h(x)=f(x)﹣g(x)，利用h(0)=f(0)﹣g(0)=﹣0.44<0，h(1)=f(1)﹣g(1)=0.542>0，即可得出结论.
【详解】设h(x)=f(x)﹣g(x)，则h(0)=f(0)﹣g(0)=﹣0.44<0，h(1)=f(1)﹣g(1)=0.542>0，
∴h(x)的零点在区间(0，1)，
故选：C.
【点睛】思路点睛：该题考查的是有关零点存在性定理的应用问题，解题思路如下：
（1）先构造函数h(x)=f(x)﹣g(x)；
（2）利用题中所给的有关函数值，得到h(0)=﹣0.44<0，h(1)=0.542>0；
（3）利用零点存在性定理，得到结果.
6、C
【解析】根据基本初等函数的单调性逐一判断各个选项即可得出答案.
【详解】对于A，由函数，定义域为，且在上递增，故A不符题意；
对于B，由函数，定义域为，且在上递增，故B不符题意；
对于C，由函数，定义域为，且在上递减，故C符合题意；
对于D，由函数，定义域为，且在上递增，故D不符题意.
故选：C
7、D
【解析】由已知得：，，，所以.故选D.
考点：指数函数和对数函数的图像和性质.
8、D
【解析】由直线平面，直线在平面内，知，或与异面
【详解】解：直线平面，直线在平面内，
，或与异面，
故选：D
【点睛】本题考查平面的基本性质及其推论，解题时要认真审题，仔细解答
9、D
【解析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得，解不等式可得x的取值范围，即可得答案
【详解】根据题意，偶函数在区间单调递减，则在上为增函数，
则，
解可得：，
即x的取值范围是；
故选D
【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性综合应用，注意将转化为关于x不等式，属于基础题
10、C
【解析】由指数式与对数式互化为相同形式后求解
【详解】由题意得：，，，①，
又，，
，
和是方程的根，
由于方程的根唯一，，
由①知，，
故选：C
11、C
【解析】根据集合补集和交集运算方法计算即可.
【详解】表示整数集Z里面去掉这四个整数后构成的集合，
∴.
故选：C.
12、C
【解析】根据两平行直线的系数之间的关系求出,把两直线的方程中的系数化为相同的,然后利用两平行直线间的距离公式,求得结果.
【详解】直线l1与l2平行,所以,解得,
所以直线l2的方程为:,
直线:即,与直线:的距离为:
.
故选:C
【点睛】本题考查直线平行的充要条件,两平行直线间的距离公式,注意系数必须统一,属于基础题.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、
【解析】先由不等式的解得到对应方程的根，再利用韦达定理，结合解得参数a即可.
【详解】关于的不等式的解集为，
则方程的两根为，则，
则由，得，即，
故.
故答案为：.
14、3
【解析】，故答案为3.
15、 ①. ②.
【解析】利用辅助角公式可将问题转化为在上直线与三角函数图象的恰有三个交点，利用数形结合可确定的取值；由的取值可求得的取值集合，从而确定的值，进而得到结果.
【详解】，
方程的解即为在上直线与三角函数图象的交点，

由图象可知：当且仅当时，直线与三角函数图象恰有三个交点，
即实数的取值集合为；
，或，
即或，
此时，，，.
故答案为：；.
【点睛】思路点睛：本题考查与三角函数有关的方程根的个数问题，解决方程根的个数的基本思路是将问题转化为两函数交点个数问题，从而利用数形结合的方式来进行求解.
16、二
【解析】由点P（tanα，cosα）在第三象限，得到tanα＜0，cosα＜0，从而得到α所在的象限
【详解】因为点P（tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0，
则角α的终边在第二象限，
故答案为二
点评：本题考查第三象限内的点的坐标的符号，以及三角函数在各个象限内的符号

三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）先求函数的定义域，再根据的关系可证明奇偶性；
（2）根据单调性及奇函数性质，有，再通过换元，转化为二次函数，通过区间分类讨论可求解.
【小问1详解】
对任意的，，则对任意的恒成立，所以，函数的定义域为，
∴，
∴，故函数为奇函数；
【小问2详解】
∵函数为奇函数且在上的单调函数，
∴
由
可得，其中，
设，则，
则.∵则，
若关于的方程在上只有一个实根，
则或.
所以，
令，其中.
所以，函数在时单调递增.
①若函数在内有且只有一个零点，在内无零点.
则，解得；
②若为函数的唯一零点，则，解得，
∵，则.
且当时，设函数的另一个零点为，则，
可得，符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
18、（1）1（2）或
【解析】（1）将点坐标代入求出b的值；（2）分与两种情况，根据函数单调性表达出最大值和最小值，列出方程，求解a的值.
【小问1详解】
，解得.
【小问2详解】
当时，在区间上单调递减，此时，，所以，解得：或0（舍去）；
当时，在区间上单调递增，此时，，所以，解得：或0（舍去）.
综上：或
19、（1）（2）
【解析】(1)由三角函数的定义首先求得的值，然后结合二倍角公式和同角三角函数基本关系化简求解三角函数式的值即可；
(2)由题意首先求得的关系，然后结合诱导公式和两角和差正余弦公式即可求得三角函数式的值.
【详解】（1）由三角函数定义得，，
∴原式
（2）∵，且，
∴，，
∴，
∴
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，二倍角公式及其应用，两角和差正余弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20、（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）利用勾股定理得出线线垂直，结合等边三角形的特点，再次利用勾股定理得出线线垂直，进而得出线面垂直；
（2）根据线面垂直面，得出线和面的夹角，从而得出线面角的正弦值.
【详解】（1）由，有，从而有，
且
又是边长等于的等边三角形，
.
又，从而有
又平面.
（2）过点作交于点，连.
由（1）知平面，得，又平面

是直线与平面所成的角.
由（1），从而为线段的中点，
，
，

所以直线与平面所成的角的正弦值为
21、（1）；
（2）函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.函数的极大值点为，极小值点为.
【解析】（1）直接利用导数求导得解；
（2）令，求出方程的根，再列表得解.
【小问1详解】
解：由题得.
【小问2详解】
解：，
令或.
当变化时，的变化情况如下表，

正
0
负
0
正

单调递增
极大值点
单调递减
极小值点
单调递增
所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.函数的极大值点为，极小值点为.
22、（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，.
【解析】（Ⅰ）先把代入解析式，再求对称轴，进而得到函数的单调性，即可求出值域；
（Ⅱ）函数在区间内有且只有一个零点，转化为函数和的图象在内有唯一交点，根据中是否为零，分类讨论，结合函数的性质，即可求解.
【详解】（Ⅰ）当时，，
对称轴为：，
所以函数在区间单调递减，在区间单调递增；
则，
所以在区间上的值域为；
（Ⅱ）由，
令，可得，
即，
令，，，
函数在区间内有且只有一个零点，
等价于两个函数与的图象在内有唯一交点；
①当时，在上递减，
在上递增，
而，
所以函数与的图象在内有唯一交点.
②当时，图象开口向下，
对称轴为，
在上递减，
在上递增，
与的图象在内有唯一交点，
当且仅当，
即，
解得，
所以.
③当时，图象开口向上，
对称轴为，
在上递减，
在上递增，
与的图象在内有唯一交点，
，
即，
解得，
所以.
综上，存在实数，使函数于在区间内有且只有一个点.
【点睛】关键点睛：本题主要考查了求一元二次函数的值域问题，以及函数与方程的综合应用，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数图象的交点个数问题，结合函数的性质求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力.