第四届学用杯全国数学知识应用竞赛八年级初赛决赛试题及答案.doc

第四届“学用杯”
全国数学知识应用竞赛 八年级初赛试题（A）卷
（本卷满分150分，考试时间120分钟）
题号
一
二
三
总分
得分

得分

评卷人

一、填空题（每小题5分，共40分）
1．仓库里的钢管是逐层堆放的，堆放时上一层比下一层吨一根．有一堆钢管，最下面的一层有根，最上面一层有根，那么这堆钢管共有 层．
2．一个长，宽，高分别为为厘米，厘米，厘米的长方体，先从此长方体中尽可能大地切下一个正方体，然后再从剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，那么剩下部分的体积是 立方厘米．
3．小强骑自行车上学，从家至学校，双脚一共踩了次（假设他作无障碍无滑动运行）．已知小强骑的自行车的车轮直径是英寸（英寸米），踏板处的牙盘有个齿，后轮轴侧的飞轮有个齿，则小强家到学校的距离为 米（取，结果精确到个位）．
4．西郊动物的“激流勇进”有两种型号，一种承载人，票价元；一种承载人，票价元．现在一个人的旅游团，打算全部乘坐“激流勇进”，则他们至少需要 元买票．
5．小刚所在的八年级1班组建了一支业余足球队，小刚的好朋友小明问小刚的号码，小刚说：“若设我的号是，那么把我们队所有人的号码加起来，再减去我的号码，恰好等于100，而我们队员的号码是从1开始，既没有跳号，也没有重复．”请你算一下，小刚的号码是 ，他们队共有 人．
6．小王所在的学校举行了一次考试，考了若干科课程，后来加试了一科，小王考了98分，这时小王的平均成绩比最初提高了1分；后来又加试了一科，小王考得70分，这时小王的平均成绩比最初的平均成绩下降了1分，则小王共考了（含加试的两科） 科课程，最后的平均成绩为 ．
7．在古代的算书中，经常以诗歌的形式来把一些实际生活背景的题目写出来．下面就有这样一道题：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”那么这个客栈有 间房，一共来了 名客人．
8．请在一个长为13厘米的无刻度的尺子上添加4个刻度，使之可以度量之间的任何整厘米长的尺寸（注：度量指一次量出，如5可以由刻度5直接量出或由刻度6和11间接量出，而不能由2和3量出，另外，0和13是原有的刻度，不必添加）．如1，2，6，10就是符合要求的一种刻法，请你再找出一种符合要求的刻法 ．
得分

评卷人

二、选择题（每小题5分，共40分）
图

9．把8个相同的小正方体按如图1的方式堆放，它的外表会有若干个小正方形，如果将图中标有字母的一个小正方体搬去，这时外表含有的小正方形的个数与搬动前相比　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　　　）
Ａ．不增不减 Ｂ．减少1个 Ｃ．减少2个 Ｄ．减少3个

10．张阿姨，李阿姨到农贸市场买大米，第一次，张阿姨买了100千克大米，李阿姨买了100元的大米；第二次，张阿姨还是买了100千克大米，李阿姨还是买了100元的大米．下列说法正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ ）
Ａ．如果米价下降张阿姨买的合算 Ｂ．如果米价上涨张阿姨买的合算
Ｃ．无论米价怎样变化李阿姨买的合算 Ｄ．无法判断谁买的合算
11．你玩过这种游戏吗？如图所示的螺线图，一个小朋友从外往里跑，跑到最里面后，又从里往外跑，在此过程中，圈外的小朋友往他身上丢沙包，如果打中了，里面跑的小朋友就输了，如果在这个过程中没有打中，里面的小朋友就赢了，现在假设两相邻的平行线之间的距离都是1米，那么螺线（实线）的总长度是　　　　　　　　（ ）
　　Ａ．55 Ｂ．63 Ｃ．60 Ｄ．57
图

12．质检员小李对本厂生产的一批电话机进行了检测，发现前50部中有49部是公有优质品，以后的每8部中有7部是优质品，且这批电话机的优质率不低于90％，则这批电话机最多有 　（ ）
　　Ａ．180部 Ｂ．200部 Ｃ．210部 Ｄ．225部
13．某武警大队进行大练兵比赛，1中队和2中队都派了几名代表参加，已知1中队的代表平均每人得70分，2中队的代表平均每人得60分，而且这两个中队代表的总分为740分，那么1中队和2中队参赛代表的人数分别为 　（　　 ）
　　Ａ．3，8或10，2 Ｂ．2，5或4，7
Ｃ．8，3或2，10 Ｄ．5，2或7，4
14．在一次数学兴趣活动中，同学们做了一个找朋友的游戏，游戏规定：所持算式表示的数相同的两个人是朋友．有五个同学明明，亮亮，华华，冰冰，强强分别藏在五张椅子后面，他们所藏在椅子上按顺序分别放着写有五个算法的牌子：，，，，．这时主持人小英宣布明明，亮亮，华华两两是朋友．那么请大家猜一猜冰冰和强强是否是朋友？ 　（ ）
　　Ａ．是 Ｂ．不是 Ｃ．条件不足，不能确定
15．为了增强体质，小芳和小芬一起到市中心的“艺术广场”去跑步锻炼身体．她们从圆形跑道上的某一雕塑处出发，按相反方向跑步，小芳的速度是每秒2米，小芬的速度是每秒3秒，如果她们同时出发并当她们在出发的雕塑处第一次再相遇的时候结束，那么她们从出发到结束之间的相遇的次数是　 　 　（ ）
　　Ａ．4 Ｂ．5 Ｃ．9 Ｄ．无法判断
16．如图所示，在大圆内画一个最大的正方形，正方形内画一个最大的圆，圆内又画一个最大的正方形，如此画下去，共画了4个圆，则最大的圆与最小的圆的面积之比为
（ ）
图
　　Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

得分

评卷人

三、解答题（每小题20分，共40分）
17．为迎接外国使节来访，仪仗队某小组进行队列造型设计，首先组长让全体队员排成一个方阵（即行与列的人数一样多的队形），人数正好够，然后组长又继续组织了几个队形的变化，最后一个造型需要5人一组，手拿鲜花变换队形．在讨论分组方案时，一组员说现在的队员人数按“5人一组”分将多出3人．同学们，你们说一说这可能吗？为什么？

18．六个篮子分别装有，，，，，（为正整数）个小球，晓红和杨霞两个同学做游戏，从某个篮子中轮流取球，每人每次可以取一个或两个，但是不可以不取，并规定谁取走了最后一个小球谁败，抽签决定由晓红先取，但由杨霞决定从哪个篮子取．
　　你认为谁能获胜，请你设计一个必胜的方案．

得分

评卷人

四、开放题（本题30分）
19．请你用总数不超过5个的圆，三角形的长方形等，为自己的班级或学校设计一个标志，要求这个标志是轴对称图形，能够体现你们在班风建设方面的特色（如团结，文明等等），你还要在这个标志旁边注上你想要表达的特色以及它的含义．怎么样？试试看吧！

第四届“学用杯”
全国数学知识应用竞赛　八年级初赛试题（Ａ）卷
参考答案
一、1． 2． 3． 4． 5．，
　6．， 7．， 8．，，，或，，，
二、9．Ａ 10．Ｃ 11．Ｂ 12．Ｃ 13．Ｃ 14．Ａ
15．Ａ 16．Ｃ
三、17．队型设计题答案
解：不可能
因为全体队员可排成一个方阵，所以总人数是一个完全平方数，设每行人，则总人数为人，根据变化队形时按5人分组，可考虑为，，，，中的某种情形，这里为正整数，从而全体人数可能是
；
；
；
．
．
由此可见，不论哪一种情形，总人数按每组5人分组所多出的人数只可能是1或4，不可能多3人．
18．杨霞能获胜
选有或个球的篮子，并且在每一个回合中和晓红共取3个球．
19．评分标准：
等级
得分
要求
一级

图案设计符合要求，做出的图案美观，新颖，主题明题，语言叙述能生动形象的描述主题．
二级

图案设计符合要求，做出的图案主题明确，语言叙述能突出主题．
三级

图案设计符合要求，语言叙述清楚．
四级

图案设计基本符合要求，语言叙述无误．

第四届“学用杯”全国数学知识应用竞赛
八年级初赛（Ｂ）卷试题
一、填空题（每小题5分，共40分）
1．今年春季的禽流感，使鸡的产蛋量下降．再加上农产品价格的提高与饲料价格的提高，鸡蛋由原来元／公斤上升到元／公斤，为此一些小商贩趁机把熟鸡蛋的价格由每个元，提高到每个元，顾客觉得太贵了，承受不了．倘若小商贩要维持原来的利润率，熟鸡蛋的价格应定为每个 元（设鸡蛋每十六个一公斤，结果精确到）．
2．益友商场搞促销，买元商品赠元券（等同于现金），小冰的妈妈买了一件标价元的上衣，得到券元，她用这元券买一件衬衣（可打折），她正好用完券，则她买的两件衣服总共算下来打了 折（结果精确到）．
3．“十一黄金周”某超市为了方便人们出门旅游，推出“旅游方便套餐”进行销售，甲种套餐：火腿肠根，面包个；乙种套餐：火腿肠根，面包个，果汁瓶；丙种套餐：火腿肠根，面包个，果汁瓶．已知火腿肠每根元，面包每个元，果汁每瓶元，月号该商店销售这三种套餐共得元，其中火腿肠的销售额为元，则果汁的销售额为 元．
4．王师傅买了一辆新型轿车，油箱的容积为升，“十一”期间王师傅载着全家人到距北京公里的某旅游景点去旅游，出发前加满油，汽车每行驶公里耗油升，且为了保险起见，油箱里至少应存油升，则在途中至少需加油 次．
5．陈浩去超市买羽毛球拍，羽毛球和羽毛球网．超市里有种羽毛球拍，种羽毛球和种羽毛球网，那么陈浩买一套羽毛球用具有 种不同的选择．
6．水上乐园的团体门票票价如下：
购票人数

以上
单价（元）

　今有甲乙两个旅游团，都超过人，且甲团人数少于乙团人数，若两团分别购票，总计应付门票元；若全在一起作为一个团购票，总计应支出门票费元，则甲团有 人，乙团有 人．
7．剪纸是我国最普及的民间传统装饰艺术之一．现在请你试一试：用一张纸制作一个由个“丰”字横排而成的带状图案，需将这张纸对折次，折好的纸块上画 形状的图案，再用剪刀剪好后拉开．
8．有两位同学参加了四次测验，他们的平均分数不同，但都是低于分的整数．他们又参加了第五次测验，测验后他们的平均成绩都提高到了分．则第五次测验时，两位学生的得分分别是 ， （五次测验的满分都是分）．
二、选择题（每小题分，共分）
9．环境对人体的影响很大，环保与健康息息相关．目前，家具市场对板材进行了环保认证，其中甲醛含量是一个重要的指标．国家规定每板材含甲醛低于且不小于的为合格品，含甲醛低于的则为级产品．某人订做了级板材家具，请你帮他确定家具中所含甲醛的范围应为 （　　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10．小康村一养鱼专业户，想知道他们家一个鱼塘中大约有多少条鱼．上月他从鱼塘里随机捕捞了条鱼，在鱼身上做了标记，然后又放回去．本月他又从鱼塘里捞出条鱼，发现其中有条是做过标记的．假定上月鱼塘中的到本月已经不在鱼塘中（由于死亡或捕捞），这个月鱼塘中的上月并不在鱼塘中（由于出生和放养），那么上个月这个鱼塘中大约有多少条鱼 （　　　）
　Ａ．条 Ｂ．条 Ｃ．条 Ｄ．条
11．周末，王雪带领小朋友玩摸球游戏：在不透明塑料袋里装有个白色和个黄色的乒乓球，摸出两个球都是黄色的获胜．小明一次从袋里摸出两个球；小刚左手从袋里摸出一个球，然后右手摸出一个球；小华则先从袋里摸出一个球看一下颜色，又放回袋里，再从袋里摸出一个球．这时，小明急了，说：小刚，小华占了便宜，不公平．你认为如何 （　　　）
　Ａ．不公平，小刚，小华占便宜了
Ｂ．公平
Ｃ．不公平，小华吃亏了
Ｄ．不公平，小华占便宜了
12．在小正方体的各面上分别写有六个数字，将其投掷两次，第一次投掷后，侧面上的四个数字和是；第二次投掷后这个和是．试问写有数字“”的面相对的面上的数字是 （　　　）
　Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
13．某大型音乐会在艺术中心举行．观众在门口等候检票进入大厅，且排队的观众按照一定的速度增加，检票速度一定，当开放一个大门时，需用半小时待检观众全部进入大厅，同时开放两个大门，只需十分钟，现在想提前开演，必须在分钟内全部检完票，则音乐厅应同时开放的大门数是 　　（　　　）
　Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个
14．某房地产开发公司用万元购得一块土地，该土地可以建造每层为平方米的楼房，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）的每平方米平均建筑费用与建楼高度有关，楼房多建一层，整幢楼房每平方米建筑费用平均提高，已知建层楼房时，每平方米的建筑费用为元．为了使该楼每平方米的平均综合费用最省（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应该把该楼建成 （　　　）
　Ａ．层 Ｂ．层 Ｃ．层 Ｄ．层
15．某住宅小区的圆形花坛如图所示，圆中阴影部分种了两种不同的花，，，，
分别是小圆的圆心，且小圆的直径等于大圆的的半径．设小圆的交叉部分所种花的面积和为．在小圆外，大圆内所种花的面积和为，则和的大小关系是
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　　）

图1
　Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．无法确定

16．五子连珠棋和象棋、围棋一样，深受广大棋迷的喜爱．其规则是：在的正方形棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任意方向连成五子者为胜．如图，是五子棋爱好者王博和电脑的对弈图的一部分：（王博执黑子先行，电脑执白子后走）．观察棋盘，思考：若点的位置记作，王博必须在哪个位置上落子，才不会让电脑在最短时间内获胜 （　　　）
　Ａ．或 Ｂ．或
A
图2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Ｃ．或 Ｄ．或

三、解答题（每小题分，共分）
　17．游戏推理：星期天，小明和叔叔一起玩扑克牌，叔叔想考考小明，便拿出两副牌，一边说一边做：取两副牌，每副牌的排列顺序按头两张是大王、小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色又按，，，，，，顺序排列，然后把两幅扑克牌叠放在一起，把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层如此下去，猜想最后一张是哪张牌．小明想了想，又算了算，得出了正确答案，你知道是哪张牌吗？说出理由．
　18．操作说理：我们很容易通过折叠把正方形纸片的某条边等分或等分，在一次折纸时晓亮同学对一个正方形纸片进行了如下操作，完成以后，发现点正好是的三等分点，但是他说不出其中的道理，请你帮他说明（提示：直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和）．
A
B
C
D
A
B
C
D
E
E
C
D
A
B
F
G
F
C
D
A
B
E
①
②
④
③
图3

四、开放题（本题分）
　19．实践应用：在裕华中学进行的学生会换届选举中，文涛和张森两位同学分别负责七、八两个年级选票的发放和统计工作，选票制成开的卡片．选举结束后，他们把选票收了上来．
　　文涛在整理选票时发现，有不少选票放反了（反面向上），也有一些放倒了（上下颠倒），花了不少时间才整理好．
　　张森在发选票之前，把选票的右上角统一裁去了一小块，选票收上来后，放错的较少，有一些放错的也很快整理好了．
　　请你用数学知识解释为什么文涛同学的选票不好整理，而张森同学的选票比较好整理？
　　就在这次选举中张森同学把选票右上角裁去一小块的做法，谈谈你的看法．
五、附加题（本题分）
　20．动手实践作品展示．
　　1．作品形式：小发明、小创造、小模型、小程序、小课件、研究报告以及小论文等（凡属于运用数学知识、方法、思想、，并通过动手、动脑具体操作或借助计算机技术来完成的原创作品均可）；
　　2．作品要求：附相关实物、图形、文字说明以及相关报道、评价等．

第四届“学用杯”全国数学知识应用竞赛
八年级初赛(B)卷试题参考答案

一、1．0.6 2．5.5 3．150 4．2 5．90 6．41，71

7．　　　　8．88，89

二、9．Ｂ 10．Ｃ 11．Ｄ 12．Ｄ 13．Ｂ 14．Ｃ 15．Ｃ 16．Ｂ
三、17．先给每张牌标上牌号1，2，3，4……从简单情况入手，不难得到下表：　　
游戏
牌数
留下
牌号
规律
游戏牌数
留下
牌号
规律
2
2

11
6

3
2

12
8

4
4

13
10

5
2

14
12

6
4

15
14

7
6

16
16

8
8

17
2

9
2

18
4

10
4

……
……
……
　　剩下的牌号（参加牌数）（为最靠近且小于的数）．
　　运用规律得出答案：两副牌共有（张），留下的牌号为
（号）．又因为每副牌有大、小王各1张，黑桃、红桃、方块、梅花各13张，
（张），．最后剩下的应是方块6．
18．设正方形的边长为的长度为，则在中，．
即．
解这个方程，得．
四、19．（1）32开的卡片是矩形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以容易放反、
放倒．
（2）截去一角后就不再有对称性，所以不容易放错．

第四届“学用杯”
全国数学知识应用竞赛　八年级决赛试题
一、（本题20分）王浩家有一间长7.5m，宽5m的客厅需要铺设地砖，王浩看中了两种地砖，甲种地砖的长与宽分别为50cm和40cm，乙种地砖的长与宽分别为40cm和25cm，每块甲种地砖的售价是每块乙种地砖售价的两倍．
（1）若不考虑铺设方法，王浩应该选购哪种地砖？
（2）若想铺设时地砖的长短方向与房间的长短方向一致，且在长短方向或宽窄方向上只允许使用一块经过裁剪的地砖，则应该选购哪种地砖，为什么？

图1
二、（本题20分）某生活小区临街的一面有块如图1所示的梯形空地，物业部门打算把这块空地美化一下，以供观赏．初步打算沿对角线修两条小路，把梯形分成四块，种上相同种类的花．四块地的面积分别为，一位物业工人很快看出两种需要花的棵数大致相等．
（1）你知道他是根据什么判断的吗？
（说明与之间关系的理由？）
（2）请你用学过的知识探究
三者之间的关系？
三、（本题20分）某种零件加工时，需要把两个半圆环形拼成一个完整的圆环，并确定这个圆环的圆心，在加工时首先要检测两个半圆环形是否合格．检测方法如图2所示，把直角钢尺的直角顶点放在圆周上，如果在移动钢尺的过程中，钢尺的两个直角边始终和两点接触，并且直角顶点一直在圆周上，就说明这个半圆环形是合格的．
把两个合格的半圆环形拼接在一起就形成了如图3所示的一个圆环．
请你利用三角板和铅笔确定这个圆环的圆心．（在图3上作出圆心，并作必要的文字说明）

图2
图3

四、（本题20分）近几年，为了改善办学条件，国家鼓励多渠道办学．某人准备投资1200万的硬件建设费兴办一所中学，他对该地区的教育市场进行了调查，得出一组数据如下表（以班级为单位）．

班级学生数
配备教师数
硬件建设(万元)
教师年薪(万元)
初中
50
2.0
28
1.2
高中
40
2.5
58
1.6
根据物价部门的有关规定：初中是义务教育阶段，收费标准适当控制，预计除书本费以外每生每年可收600元．高中每生每年可收取1500元．因生源和环境等条件限制，办学规模以初、高中总共30个班为宜，每年只能招收起始年级，教师实行聘任制．初、高中教育周期为三年，请你合理地安排招生计划，使年利润最大，大约经过多少年可以收回全部投资？（不考虑除教师年薪和硬件建设以外的支出）
五、（本题30分）材料作文
两个人轮流在一张桌面（长方形或正方形或圆形）上摆放同样大小的硬币，规则是：每人每次摆一个，硬币不能相互重叠，也不能有一部分在桌面边沿之外，摆好以后不准移动，这样经过多次摆放，直到谁最先摆不下硬币，谁就认输，按照这个规则，你用什么办法才能取胜？
初看起来，只能碰运气，其实不然，只要你先摆，并且采取中心对称策略，你就一定能取胜．取胜的秘诀是：你先把一枚硬币放在桌面的对称中心上，以后根据对方所放硬币的位置，在和它关于中心对称的位置上放下一枚硬币．这样，由于对称性，只要对方能放下一枚硬币，你就能在其对称的位置上放一枚硬币．所以一定能赢．
这个游戏对你有什么启示，你是否做过类似的游戏．请以《我这样用数学》为题写一篇400字左右的小短文．
六、（本题40分）从下列题目中任选一个，联系相识知识及现实生活，写一篇数学作文，字数控制在1000字以内．
1．正方形的自述
2．游戏与数学
3．数学增强了我的自信
4．从图形折叠中我学到了……
5．生活处处用数学
6．我与“学用杯竞赛”

加油呀！你一定能取得好成绩！
第四届“学用杯”全国数学知识应用竞赛
八年级 决赛试题
参考答案
一、（1）若不考虑铺设方法，只考虑面积，则需用甲地砖（块）．
即188块；需用乙地砖（块）．此时选购乙地砖便宜．
　 （2）按要求铺设，若用甲地砖，则在长短方向上铺15块，在宽窄方向上铺完12块后，还剩半块地砖的地面没铺，这部分地面再需要8块地砖便可．这样共需要甲地砖块．若用乙地砖，在宽窄方向上铺20块，在长短方向上铺完18块后，还剩地砖的地面没铺，这部分地还需用20块地砖．因此共需要乙地砖块．由于每块甲地砖的价格是乙地砖的2倍，所以此时选购甲地砖便宜．
二、（1）（等底等高）

所以
　 （2）
三、由检测方法可知，如果钢尺的直角顶点在圆周上，那么，直角钢尺和圆周的另两个交点就确定圆的一个直径．
把直角钢尺的直角顶点放在圆周上，把钢尺和圆周的两个交点作标记，确定圆的一个直径，再用相同的方法确定圆的另一条直径．
两条直径的交点就是圆心．
四、设初中编个班，高中编个班，则
解不等式，得．
设年利润为则

即（万元）
又．
可以看出越大越小
当时，（万元）
设经过年可收回投资
第一年收回：（万元）
第二年收回：（万元）
第三年收回：（万元）
经过年可收回投资；则

因此，学校规模初中18个班；高中12个班；第一年初中招生6个班；300人，高中招生4个班160人，从第三年开始利润34.8万元，经过36年可以收回全部投资．