初二数学截长补短含答案.doc

1、如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45 °，则有结论EF＝BE＋FD成立；

（1）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
解：

（1）延长CB到G，使BG=FD，连接AG，
∵∠ABG=∠D=90°，AB=AD，
∴△ABG≌△ADF，
∴∠BAG=∠DAF，AG=AF，
∵∠EAF=
1
2
∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAE，
∴△AEF≌△AEG，
∴EF=EG=EB+BG=EB+DF．

（2）若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.
解：小题1:结论EF=BE＋FD不成立，应当是EF=BE－FD．
在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．
应当是EF=BE－FD．
在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC＝180°,∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF．
∵AB＝AD，
∴△ABG≌△ADF.∴AG＝AF．
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF.∴EG＝EF
即EF=BE－BG=BE－FD．

25．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°, ∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数
量关系： ；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．
（可利用（2）得到的结论）

解：（1）如图①AH=AB；
（2）数量关系成立.如图②，延长CB至E，使BE=DN，
∵ABCD是正方形
∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°
∴Rt△AEB≌Rt△AND
∴AE=AN，∠EAB=∠NAD
∴∠EAM=∠NAM=45°
∵AM=AM 
∴△AEM≌△ANM
∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，
∴AB=AH；
（3）如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND
∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°
分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE，
由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD，                          
设AH=x，则MC=x-2，NC=x-3                             
在Rt△MCN中，由勾股定理，得                                     
∴
解得（不符合题意，舍去）
∴AH=6。

图③