热统课程答案(全).pdf

第一章热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数压强系数和等温压缩系数。解:已知理想气体的物态方程为pV=nRT,（1）由此易得1.2 证明任何种具有两个独立参量q的物质,其物态方程可由实验测 得的体胀系数戊及等温压缩系数。,根据下述积分求得:InV=、（adT-qdp）如果=丄,亏=丄,试求物态方程。T P解:以T,p为自变量,物质的物态方程为其全微分为=（,p）.dV=dV dTI dT+（。V、（dp.(1)全式除以,有dV 1(dV1(8V （根据体胀系数。和等温压缩系数。的定义,可将上式改写为1-=adT-KTdp.（2）上式是以T,2为自变量的完整微分,沿任意的积分路线积分,有InV=adT-KTdp（3）若=丄,o=丄,式（3）可表为 T PnV=f-dT dp.（4）T P）选择图示的积分路线,从（，p。）积分到（T,P。）,再积分到（T,p）,相应地体P（T,P）(Po)(T,Po)积由力最终变到,有PL=P=C(常量),T TqP v=c(5)式（5）就是由所给。=丄,=丄求得的物态方程。确定常量。需要进步的 T P实验数据。21.3 在（TC和I%下,测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为 =4.85 X IOkt和/=7.8x10,pj a和可近似看作常量,今使铜块加热至10。C。问:（a）压强要增加多少p“才能使铜块的体积维持不变?（b）若压强增加 100厶,铜块的体积改变多少?解:（a）根据1.2题式（2）,有=adT-KTdp.（1）上式给出,在邻近的两个平衡态,系统的体积差加,温度差附和压强差dp之 间的关系。如果系统的体积不变,即与打的关系为dp=dT.（2）kt在a和可以看作常量的情形下,将式（2）积分可得以Pi=色（）（3）kt将式（2）积分得到式（3）首先意味着,经准静态等容过程后,系统在初态 和终态的压强差和温度差满足式（3）。但是应当强调,只要初态（V,厶）和终 态（2）是平衡态,两态间的压强差和温度差就满足式（3）。这是因为,平 衡状态的状态参量给定后,状态函数就具有确定值,与系统到达该状态的历 史无关。本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。在加热 过程中,铜块各处的温度可以不等,铜块与热源可以存在温差等等,但是只 要铜块的初态和终态是平衡态,两态的压强和温度差就满足式（3）。将所给数据代入,可得5110=622因此,将铜块由0 C加热到10 C,要使铜块体积保持不变,压强要增强622p（b）1.2题式（4）可改写为彳=戊（心一70一弓（,2 一巧）.（4）将所给数据代入,有3AV V=4.85x10-5x10-7.8x10-7x100=4.07x10-4.因此,将铜块由oc加热至nrc,压强由也增加1002,铜块体积将增加原体 积的 4.07x10-4 倍。1.4 简单固体和液体的体胀系数和等温压缩系数与数值都很小,在 定温度范围内可以把夕和。看作常量.试证明简单固体和液体的物态方程可 近似为V（T,）=%（,0）l+a（T-）一0司.解:以二为状态参量,物质的物态方程为=（,P）.根据习题1.2式（2）,有-=adT K dp.（1）将上式沿习题1.2图所示的路线求线积分,在。和。可以看作常量的情形下,有或V（T,p）（。）。）.（3）考虑到。和“的数值很小,将指数函数展开,准确到。和的线性项,有V（T,，p）l+a（T3K7（p p。）.（4）如果取Po=O,即有v（r,夕）=（,）+1（t）一今司.（5）1.5描述金属丝的几何参量是长度L,力学参量是张,物态方程是/（J,L,T）=O实验通常在1下进行,其体积变化可以忽略。线胀系数定义为4等温杨氏模量定义为丄（包 其中A是金属丝的截面积,一般来说,a和/是的函数,对仅有微弱 的依赖关系,如果温度变化范围不大,可以看作常量,假设金属丝两端固定。试证明,当温度由?i降至时,其张的增加为AJ=-YAa（T2-Tl）解:由物态方程（1）知偏导数间存在以下关系:=-aAY.(2)所以,有(3)积分得AJ=-YAa（T2-Ti）.（4）与1.3题类似,上述结果不限于保持金属丝长度不变的准静态冷却过程,只 要金属丝的初态是平衡态,两态的张差=（厶,厶）（厶,7；）就满足式（4）,与经历的过程无关。1.6 一理想弹性线的物态方程为 5其中厶是长度,L是张J为零时的L值,它只是温度T的函数是常量.试 证明:(a)等温扬氏模量为bT(LI I.【)在张为零时,=犯.其中A是弹性线的截面面积。(b)线胀系数为a=aQ-it-1+2其中他1 dL。Lo dT(c)上述物态方程适用于橡皮带,设=300K,b=1.33xlO-3N-K-A=lxlO-6m2,cro=5xlO-4K1,试计算当分别为0.5,1.0,1.5和2.0 时的 V,值,并画出,y,戊对的曲线.L。解:(a)根据题设,理想弹性物质的物态方程为(1)由此可得等温杨氏模量为(2)张为零时,厶=,.(b)线胀系数的定义为由链式关系知6所以 2I乙。L)L 2LdL(dT(3)(4)而幻(c)根据题给的数据,匕戊对丄的曲线分别如图-2(a),(b),(c)厶所示。71.7 抽成真空的小匣带有活门,打开活门让气体冲入,当压强达到外界 压强p0时将活门关上,试证明:小匣内的空气在没有与外界交换热量之前,它的内能。与原来在大气中的内能。之差为。4=pM,其中弘是它原来在 大气中的体积,若气体是理想气体,求它的温度与体积。解:将冲入小匣的气体看作系统。系统冲入小匣后的内能。与其原来在 大气中的内能。由式(1.5.3)。=W+Q(1)确定。由于过程进行得很迅速,过程中系统与外界没有热量交换,0=0.过程 中外界对系统所做的功可以分为唄和%两部分来考虑。一方面,大气将系统 压入小匣,使其在大气中的体积由、变为零。由于小匣很小,在将气体压入 小匣的过程中大气压强P。可以认为没有变化,即过程是等压的(但不是准静 态的)。过程中大气对系统所做的功为叱=_p()AV=Po%.另一方面,小匣既抽为真空,系统在冲入小匣的过程中不受外界阻,与外 界也就没有功交换,则%=0.因此式(1)可表为。%.(2)如果气体是理想气体,根据式(1.3.11)和(1.7.10),有pM=nRT,(3)r-i式中”是系统所含物质的量。代入式(2)即有T=o.(5)活门是在系统的压强达到P。时关上的,所以气体在小匣内的压强也可看作P。,其物态方程为p(y=nRyT.(6)与式(3)比较,知%.(7)1.8 满足p=C的过程称为多方过程,其中常数名为多方指数。试证8明:理想气体在多方过程中的热容量G为 va解:根据式（1.6.1）,多方过程中的热容量。典圏;哥，哥对于理想气体,内能。只是温度的函数,(1)所以(2)将多方过程的过程方程式pH 二。与理想气体的物态方程联立,消去压强p可 得(3)将上式微分,有所以代入式（2）,即得TVn-l=Q(常量)。VnidT+(V)Vn-2TdV=0,(4)(5)其中用了式（L 7.8）和（1.7.9）L9试证明:理想气体在某过程中的热容量，如果是常数,该过程一 定是多方过程,多方指数二口邑。假设气体的定压热容量和定容热容量是Q-c常量。解:根据热力学第一定律,有9du=d0+dw.（1）对于准静态过程有dw=-pdv,对理想气体有dU=CvdT,气体在过程中吸收的热量为&Q=CndT,因此式（1）可表为（C-Cv）dT=pdV.（2）用理想气体的物态方程除上式,并注意Cp-6=试,可得（Q-Cv）-=（Cp-Cv）.（3）将理想气体的物态方程全式求微分,有dp 十 dV _ dT（4）p M T.式（3）与式（4）联立,消去它,有TC-Cy）农+（C-Cp）器=。（5）p V令二G二,可将式（5）表为6-胆+竺=。（6）p V如果和G都是常量,将上式积分即得pVnC（常量）。（7）式（7）表明,过程是多方过程。1.10声波在气体中的传播速度为假设气体是理想气体,其定压和定容热容量是常量,试证明气体单位质量的 内能M和烯可由声速及给出:10a,a,U-7+Uf）,h-F/ini）r-1其中向,%为常量。解:根据式（1.8.9）,声速的平方为2=,（1）其中V是单位质量的气体体积。理想气体的物态方程可表为pV=RT,m式中机是气体的质量,是气体的摩尔质量。对于单位质量的气体,有=尺,（2）m代入式（1）得a=RT.（3）m+以,表示理想气体的比内能和比焰（单位质量的内能和焰）。由式（1.7.10）（1.7.12）知m+u=RT r-i+机+式,(4)将式（3）代入,即有a2u=-F 斯。1)(5)式（5）表明,如果气体可以看作理想气体,测定气体中的声速和即可确定 气体的比内能和比炮。1.11大气温度随高度降低的主要原因是在对流层中的低处与高处之间空 气不断发生对流,由于气压随高度而降低,空气上升时膨胀,下降时收缩,空气的导热率很小,膨胀和收缩的过程可以认为是绝热过程,试计算大气温 度随高度的变化率孚,并给出数值结果。az11解:取Z轴沿竖直方向（向上）。以p（z）和P（z+）分别表示在竖直高度为 Z和z+次处的大气压强。二者之关等于两个高度之间由大气重量产生的压 强,即p（z）=P（z+dz）+夕（z）gdz,（1）式中是高度为Z处的大气密度,g是重力加速度。将p（z+）展开,有dz代入式（1）,得dz式（2）给岀由于重力的存在导致的大气压强随高度的变化率。以表大气的平均摩尔质量。在高度为Z处,大气的摩尔体积为,P（z）则物态方程为P兩小z),(3)T（z）是竖直高度为Z处的温度。代入式（2）,消去。得d(mgP(z)=-(z RT(z)由式（1.8.6）易得气体在绝热过程中温度随压强的变化率为包、X-1Tr p(4)(5)综合式（4）和式（5）,有d(。-T(z)=I中丿（小一賛答(6)大气的=1.41（大气的主要成分是氮和氧,都是双原子分子）,平均摩尔质量 为 =29x1。3kg.moi,g=9.8ms-2,代入式（6）得色（z）=-lOK-kml（7）dz V 7式（7）表明,每升高1km,温度降低!0Ko这结果是粗略的。由于各种没 有考虑的因素,实际每升高1km,大气温度降低6K左右。121.12假设理想气体的g和g之比/是温度的函数,试求在准静态绝热过程 中和V的关系,该关系式中要用到个函数爪T）,其表达式为;缶解:根据式（1.8.1）,理想气体在准静态绝热过程中满足CvdT+pdV=0.用物态方程pVsH除上式,第一项用成除,第二项用pV除,CydT dV+=0.nRT V可得利用式(1.7.8)和(1.7.9),Cp-Cv=nR,Cp_ L可将式（2）改定为1 dT dV +=0./-I T V将上式积分,如果是温度的函数,定义ln7”)=J-一四厂1 TlnF(T)+lnV=C1(常量),可得或F(T)V=C(常量)。(1)(2)(3)(4)(5)(6)式（6）给出当是温度的函数时,理想气体在准静态绝热过程中和V的关 系1.13利用上题的结果证明:当为温度的函数时,理想气体卡诺循环的 效率仍为=1.（解:在是温度的函数的情形下,1.9就理想气体卡诺循环得到的式13（1.9.4）（1.9.6）仍然成立,即仍有2InW=Qx-Q2=RT-RT-.1 4根据1.13题式（6）,对于1.9中的准静态绝热过程（二）和（四）,有 尸（匕=尸（厶）匕,IW）匕=）咚 I从这两个方程消去（和）,得所以在是温度的函数的情形下,理想气体卡诺循环的效率仍为1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。解:假设在p-V图中两条绝热线交于c点,如图所示。设想一等温线与两条绝热线分别交于点和点（因为等温线的斜率小于绝热线的斜率,这样 14的等温线总是存在的）,则在循环过程ABC4中,系统在等温过程会中从外界 吸取热量Q,而在循环过程中对外做功W,其数值等于三条线所围面积（正值）。循环过程完成后,系统回到原来的状态。根据热力学第一定律,有W=Q 这样来,系统在上述循环过程中就从单热源吸热并将之完全转变为功了,这违背了热力学第二定律的开尔文说法,是不可能的。因此两条绝热线不可 能相交。1.15 热机在循环中与多个热源交换热量,在热机从其中吸收热量的热 源中,热源的最高温度为小在热机向其放出热量的热源中,热源的最低温度 为,试根据克氏不等式证明,热机的效率不超过1厶.解:根据克劳修斯不等式（式（1.13.4）,有。,i式中2.是热机从温度为的热源吸取的热量（吸热。,为正,放热。,为负）。将 热量重新定义,可将式（1）改写为0（2）一、打式中0是热机从热源吸取的热量,2是热机在热源q放出的热量,0,2恒 正。将式（2）改写为假设热机从其中吸取热量的热源中,热源的最高温度为小 在热机向其放出热 量的热源中,热源的最低温度为,必有円z*2,故由式（3）得15。厂，z2.j 12 k(4)定义=Z0为热机在过程中吸取的总热量,Q?=fQk为热机放出的总热量,则式(4),可表为 旦色,(5)(t2或厶金.(6)厶。根据热力学第一定律,热机在循环过程中所做的功为w=q1-q2.热机的效率为1.16 理想气体分别经等压过程和等容过程,温度由7I升至假设是 常数,试证明前者的嫡增加值为后者的“咅。解:根据式(1.15.8),理想气体的嫡函数可表达为S=CplnT nRlnp+S0.(1)在等压过程中温度由/j升到心时,熾增加值AS。为ASC,ln 厶.(2)根据式(1.15.8),理想气体的嫡函数也可表达为S=CvlnT+nRlnV+S0.在等容过程中温度由1升到时,嫡增加值金为ASy=Cvln-.丄1所以巴金 cv(3)(4)(5)161.17 温度为（TC的1kg水与温度为1000C的恒温热源接触后,水温达到 100 C 试分别求水和热源的埔变以及整个系统的总埔变。欲使参与过程的整 个系统的埔保持不变,应如何使水温从0 C升至100 C?已知水的比热容为 4.18J-g，KT.解:0 C的水与温度为100 C的恒温热源接触后水温升为100 C,这过程 是不可逆过程。为求水、热源和整个系统的嫡变,可以设想个可逆过程,它使水和热源分别产生原来不可逆过程中的同样变化,通过设想的可逆过程 来求不可逆过程前后的燜变。为求水的埔变,设想有一系列彼此温差为无穷小的热源,其温度分布在 0（：与100（2之间。令水依次从这些热源吸热,使水温由0C升至100 C。在这可 逆过程中,水的燜变为S,3=mc ln2Z2=io3x4.18xln=13O4.6J-k（1）水从0 C升温至100 C所吸收的总热量。为2=mCpAT=103x4.18xl00=4.18xl05J.为求热源的燧变,可令热源向温度为100 C的另热源放出热量。在这 可逆过程中,热源的矯变为A5=_ 4-8xl05=_ii20 6J.K1.（2）由于热源的变化相同,式（2）给出的埔变也就是原来的不可逆过程中热源的 燜变。则整个系统的总燜变为$总=5水+AS热源=184J-K（3）为使水温从0 C升至100 C而参与过程的整个系统的熾保持不变,应令水 与温度分布在0 C与100 C之间的系列热源吸热。水的燧变水仍由式（1）给出。这一系列热源的燧变之和为 r373 mcdT 1/、AS 热源=-t =一1304.6 JK1,（4）参与过程的整个系统的总埔变为总臣水+臣热源二,（5）1.18 10A的电流通过个25。的电阻器,历时1s。17(a)若电阻器保持为室温27,试求电阻器的熾增加值。(b)若电阻器被绝热壳包装起来,其初温为27 C,电阻器的质量为10g,比热容为0.84J.gT.K问电阻器的燃增加值为多少?解:(a)以T,p为电阻器的状态参量。设想过程是在大气压下进行的,如果电阻器的温度也保持为室温27 c不变,则电阻器的嫡作为状态函数也就 保持不变。(b)如果电阻器被绝热壳包装起来,电流产生的焦耳热Q将全部被电阻 器吸收而使其温度由人升为北,所以有mcp(1北)=i2Rt,故i2Rtmcp4=4+!02x25xl=300 H-710-2x0.48x103 600K.电阻器的嫡变可参照 1.17例二的方法求出,为AS=由 mcdT Tf 9 0 600 1=mc ln=10-2x0.84xl03ln=5.8J-K-1.此 T 卩 3001.19均匀杆的温度一端为小另一端为,试计算达到均匀温度，7；+72)后的埔增。解:以L表示杆的长度。杆的初始状态是/=0端温度为心,/=L端温度为 温度梯度为(设 心)。这是个非平衡状态。通过均匀杆中的热 传导过程,最终达到具有均匀温度;(十+心)的平衡状态。为求这过程的燜变,我们将杆分为长度为的许多小段,如图所示。位于/到/+的小段,初温为7=+上.(1)卜-L-TdZ勿勿勿勿勿勿勿72%这小段由初温T变到终温，厶+心)后的嫡增加值为18(2)其中是均匀杆单位长度的定压热容量。根据嫡的可加性,整个均匀杆的嫡增加值为AS=阳（+厶!丄（石 7=CP Iny ln5 dl如L=CpMn黄二;（小nT；厶InT；乙+厶）2 2=c 山北+.北山山、2 2(3)式中Cp=cg是杆的定压热容量。1.20 一物质固态的摩尔热量为G,液态的摩尔热容量为G.假设G和 G都可看作常量.在某压强下,该物质的熔点为,相变潜热为。.求在 温度为小刀 0.(1)以H，S分别表示物体在开始和终结状态的埔,则物体的燜变为Sa=S2-Sv(2)热机经历的是循环过程,经循环过程后热机回到初始状态,埔变为零,即A5,=0.(3)以。表示热机从物体吸取的热量,0表示热机在热源放出的热量,W表示热 机对外所做的功。根据热力学第一定律,有Q=Q+W,所以热源的燜变为2;(4)厶 t2将式(2)(4)代入式(1),即有20上式取等号时,热机输出的功最大,故(6)式（6）相应于所经历的过程是可逆过程。1.22有两个相同的物体,热容量为常数,初始温度同为（。今令一制冷 机在这两个物体间工作,使其中一个物体的温度降低到为止。假设物体维 持在定压下,并且不发生相变。试根据燧增加原理证明,此过程所需的最小 功为+%一2（%n=7解:制冷机在具有相同的初始温度1的两个物体之间工作,将热量从物 体2送到物体1,使物体2的温度降至心为止。以?i表示物体1的终态温度,g 表示物体的定压热容量,则物体1吸取的热量为2=g（）物体2放出的热量为。2=。（1）（2）经多次循环后,制冷机接受外界的功为W=Q1-Q2=Cp（T1+T2-2Ti）（3）由此可知,对于给定的（和心,愈低所需外界的功愈小。用圖,和3分别表示过程终了后物体1,物体2和制冷机的嫡变。由 嫡的相加性和嫡增加原理知,整个系统的嫡变为AS=AS1+AS2+A530（4）显然AS1=Cpln|,AS2=C In 厶S3=0.因此嫡增加原理要求p T221或隼 1,（6）T-对于给定的厶和,最低的Ti为T-IL代入（3）式即有111111 p FT!乙 L 12 丿式（7）相应于所经历的整个过程是可逆过程。1.23简单系统有两个独立参量。如果以,S为独立参量,可以以纵坐 标表示温度T,横坐标表示燧S,构成T-S图。图中的一点与系统的个平衡 态相对应,一条曲线与一个可逆过程相对应。试在图中画出可逆卡诺循环过 程的曲线,并利用T-S图求可逆卡诺循环的效率。解:可逆卡诺循环包含两个可逆等温过程和两个可逆绝热过程。在T-S图上,等温线是平行于轴的直线。可逆绝热过程是等燧过程,因此在T-S 图上绝热线是平行于S轴的直线。图1-5在T-S图上画出了可逆卡诺循环的 四条直线。（-）等温膨胀过程工作物质经等温膨胀过程（温度为十）由状态I到达状态H。由于工作 物质在过程中吸收热量,燧由1升为$2。吸收的热量为屐=7；6），（1）0等于直线I II下方的面积。22（二）绝热膨胀过程工作物质由状态n经绝热膨胀过程到达状态ni。过程中工作物质内能减 少并对外做功,其温度由?j下降为,嫡保持为S不变。（三）等温压缩过程工作物质由状态山经等温压缩过程（温度为）到达状态氏。工作物质在过程中放出热量,嫡由S2变为放出的热量为。2=（52-5）,（2）&等于直线皿田下方的面积。（四）绝热压缩过程工作物质由状态!V经绝热压缩过程回到状态I 温度由升为小熾保持 为不变。在循环过程中工作物质所做的功为W=Q1-Q2,（3）等于矩形I nnnv所包围的面积。可逆卡诺热机的效率为2,2-”厶 Qi Q!（邑5）式上面的讨论显示,应用T-S图计算（可逆）卡诺循环的效率是非常方便 的。实际上T-S图的应用不限于卡诺循环。根据式（1.14.4）dQ=TdS,（5）系统在可逆过程中吸收的热量由积分Q=TdS（6）给出。如果工作物质经历了如图中A8CD4的（可逆）循环过程,则在过程血。0ES23中工作物质吸收的热量等于面积A3C尸,在过程CD4中工作物质放出的热量 等于面积AQCE厂,工作物质所做的功等于闭合曲线A5CD4所包的面积。由此 可见(可逆)循环过程的热功转换效率可以直接从T-S图中的面积读出。在 热计算中-S图被广泛使用。补充题1 Imol理想气体,在2TC的恒温下体积发生膨胀,其压强由20p 准静态地降到lp“,求气体所作的功和所吸取的热量。解:将气体的膨胀过程近似看作准静态过程。根据式(1.4.2),在准静态 等温过程中气体体积由匕膨胀到唳,外界对气体所做的功为W=-(B pdV=-RT p=-RTln匕=-RTln厶.M V 匕 pB气体所做的功是上式的负值,将题给数据代入,得W=RTln 厶=8.31X 300 X ln20=7.47xl03 J.Pb在等温过程中理想气体的内能不变,即AC/=O.根据热力学第一定律(式(153),气体在过程中吸收的热量。为。一w=7.47x103 J补充题2在25 c下,压强在。至1000凡之间,测得水的体积为V=(18.066-0.715XIO 3p+0.046xW62)cm3-mol1如果保持温度不变,将Imol的水从1A1加压至1000%,求外界所作的功。解:将题中给出的体积与压强关系记为V-a+bp+cp1.(1)由此易得dV=(b+2cp)dp.(2)保持温度不变,将Imol的水由Ip加压至1000H,外界所做的功为W=_pdV=_rp(b+2cp)dp=-(bp2+cp3)24在上述计算中我们已将过程近拟看作准静态过程。补充题3承前L 6题,使弹性体在准静态等温过程中长度由压缩为七,试计算外界所作的功。解:在准静态过程中弹性体长度有dL的改变时,外界所做的功是dW 二 JdL.(1)将物态方程代入上式,有dW=bl-dL.(2)【厶)丿在等温过程中是常量,所以在准静态等温过程中将弹性体长度由压缩为 七时,外界所做的功为W=P JdL=bT P-牛 dL 匕i3)=-bTL8(值得注意,不论将弹性体拉长还是压缩,外界作用都与位移同向,外界所 做的功都是正值。补充题4在。C和1下,空气的密度为L29kg.m空气的定压比热容 Cp=996Jkg.K=1.41。今有27m的空气,试计算:(i)若维持体积不变,将空气由oc加热至20c所需的热量。(ii)若维持压强不变,将空气由oc加热至20 c所需的热量。(iii)若容器有裂缝,外界压强为1%,使空气由OC缓慢地加热至20 c 所需的热量。解:(a)由题给空气密度可以算27m得空气的质量叫为旳=1.29x27=34.83kg.定容比热容可由所给定压比热容算出cv=0-996 xl03=0.706 X io3 J-kgK1.25维持体积不变,将空气由o“c加热至2(rc所需热量2为Qv=miCV(72-71)=34.83 X 0.706 xlO3x 20=4.920 x105 j(b)维持压强不变,将空气由O C加热至20 c所需热量为=叫CpO力=34.83 X 0.996 xio3x 20=6.938x105 J.(c)若容器有裂缝,在加热过程中气体将从裂缝漏出,使容器内空气质 量发生变化。根据理想气体的物态方程pV=二 RT,m片为空气的平均摩尔质量,在压强和体积不变的情形下,容器内气体的质量 与温度成反比。以%(表示气体在初态的质量和温度,相表示温度为时气 体的质量,有叫 J=mT,所以在过程(C)中所需的热量。为Q=Cp，rn(T)dT=mJiCp牛=加吗.将所给数据代入,得Q=34.83 X 273 x 0.996 x 103ln 亠273=6.678x105 J.补充题5热泵的作用是通过个循环过程将热量从温度较低的物体传送 到温度较高的物体上去。如果以逆卡诺循环作为热泵的循环过程,热泵的效 率可以定义为传送到高温物体的热量与外界所做的功的比值。试求热泵的效 率。如果将功直接转化为热量而令高温物体吸收,则“效率”为何?解:根据卡诺定理,通过逆卡诺循环从温度为的低温热源吸取热量。2,将热量。I送到温度为看的高温热源去,外界必须做功W=Q1-Q2.因此如果以逆卡诺循环作为热泵的过程,其效率为26式中第三步用了旦=。2 丁2的结果(式(1.12.7)和(1.12.8)由式(1)知,效率恒大于1。如果7i与相差不大,可以相当高。不过由于设备的价格和运转的实际效率,这 种方法实际上很少使用。将功直接转化为热量(如电热器),效率为1。补充题6根据燧增加原理证明第二定律的开氏表述:从单热源吸取热 量使之完全变成有用的功而不引起其它变化是不可能的。解:如果热力学第二定律的开尔文表述不成立,就可以令一热机在循环过程中从温度为T的单热源吸取热量。,将之全部转化为机械功而输出。热机与热源合起来构成一个绝热系统。在循环过程中,热源的嫡变为义,而热 T机的嫡不变,这样绝热系统的嫡就减少了,这违背了嫡增加原理,是不可能的。第二章均匀物质的热力学性质2.1已知在体积保持不变时,气体的压强正比于其热力学温度.试证 明在温度保质不变时,该气体的嫡随体积而增加.解:根据题设,气体的压强可表为P=f(V)T,(1)式中，(V)是体积的函数.由自由能的全微分dF=-SdT-pdV得麦氏关系将式(1)代入,有27=f(v)=?(3)由于,故有修。.这意味着,在温度保持不变时,该气体的燜随体积而增加.2.2设一物质的物态方程具有以下形式:p=f(y)T,试证明其内能与体积无关.解:根据题设,物质的物态方程具有以下形式:p=f(y)T,(1)故有=f(VV(2)但根据式(2.2.7),有dU dV一P，V(3)所以dU dV=Tf(y)-p=o.T(4)这就是说,如果物质具有形式为(1)的物态方程,则物质的内能与体积无关,只是温度的函数.0 q+、/、/OS)2.3 求 i正:(。)卽丿H 1mZ丿U解:焰的全微分为dH=TdS+Vdp.令dH=0,得(dS =0-包、个人2.5试证明一个均匀物体的在准静态等压过程中嫡随体积的增减取决 于等压下温度随体积的增减.解:热学用偏导数（描述等压过程中的嫡随体积的变化率,用耳I。I。描述等压下温度随体积的变化率.为求出这两个偏导数的关系,对复合函数29S=S V)=S(p,T(p,V)求偏导数,有（空/至rar=Sfar【。VdT）Xdv）p t UvJ/因为C，0,T0,所以且的正负取决于包的正负.I。I。式（2）也可以用雅可经行列式证明:(1)(2)（曳二。p）3丿尸3（,p）改s,p）e（T,p）a（r,p）,P）(2)2.6 试证明在相同的压强降落下,气体在准静态绝热膨胀中的温度降落 大于在节流过程中的温度降落.解:气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由偏导数円 和医描述.嫡函数”，P）的全微分为（中丿S I如在可逆绝热过程中dS=O,故有(1)最后一步用了麦氏关系式（2.2.4）和式（2.2.8）.焰”（,P）的全微分为在节流过程中加=0,故有30(2)最后一步用了式（2.2.10）和式（1.6.6）.将式（1）和式（2）相减,得I如丿s I中丿H CP所以在相同的压强降落下,气体在绝热膨胀中的温度降落大于节流过程中的 温度降落.这两个过程都被用来冷却和液化气体.由于绝热膨胀过程中使用的膨胀机有移动的部分,低温下移动部分的润 滑技术是十分困难的问题,实际上节流过程更为常用.但是用节流过程降温,气体的初温必须低于反转温度.卡皮查（1934年）将绝热膨胀和节流过程结 合起来,先用绝热膨胀过程使氮降温到反转温度以下,再用节流过程将氮液 化.2.7 实验发现,气体的压强，与体积V的乘积以及内能。都只是温度 的函数,即pv=/（nU=U（T试根据热学理论,解:根据题设,由式（2.2.7）和式讨论该气体的物态方程可能具有什么形式.气体具有下述特性:pv=）,U=U（T）.（2）,有而由式（1）可得，包二女dTJvV dT(1)(2)(3)(4)将式（4）代入式（3）,有31迓二 dT或逝=史(5)/T,积分得ln/=lnr+lnC,或pV=CT.(6)式中。是常量.因此,如果气体具有式(1),(2)所表达的特性,由热力学理论知其物态方程必具有式(6)的形式,确定常量C需要进一步的实验结果.2.8证明并由此导出根据以上两式证明,理想气体的定容热容量和定压热容呈只是温度的函数 解:式(2.2.5)给出(1)以,V为状态参量,将上式求对的偏导数,有年,(2)I dV)T dVdT丿 dTdV)(打其中第二步交换了偏导数的求导次序,第三步应用了麦氏关系(2.2.3).由 理想气体的物态方程pV=nRT知,在V不变时,P是的线性函数,即320.所以 V这意味着,理想气体的定容热容量只是温度的函数.在恒定温度下将式（2）积分,得(3)式（3）表明,只要测得系统在体积为力时的定容热容量,任意体积下的定容 热容量都可根据物态方程计算出来.同理,式（2.2.8）给出(4)以,为状态参量,将上式再求对p的偏导数,有、1卽）t丁S、丁1 82s I中。J。(d2s(5)1其中第二步交换了求偏导数的次序,第三步应用了麦氏关系（2.2.4）,由理 想气体的物态方程pV=nRT知,在p不变时V是的线性函数,即所以、卽Jt=0.这意味着理想气体的定压热容量也只是温度的函数.在恒定温度下将式（5）积分,得式（6）表明,只要测得系统在压强为区时的定压热容量,任意压强下的定压33热容量都可根据物态方程计算出来.2.9证明范氏气体的定容热容量只是温度的函数,与比体积无关.解:根据习题2.8式（2）范氏方程（式（1.3.12）可以表为nRT a Z Xp=-丁.（4丿V-nb V2由于在V不变时范氏方程的p是的线性函数,所以范氏气体的定容热容量 只是的函数,与比体积无关.不仅如此,根据2.8题式（3）（T,=g（T,匕）+票dV,（3）我们知道,Vf8时范氏气体趋于理想气体.令上式的匕一,式中的g（T,治）就是理想气体的热容量.由此可知,范氏气体和理想气体的定容热容量是相 同的.顺便提及,在压强不变时范氏方程的体积V与温度T不呈线性关系.根据 2.8题式（5）这意味着范氏气体的定压热容量是,的函数.2.10证明理想气体的摩尔自由能可以表为Fm=忆匕澗 UmQ-TdT-RTlnVm-TSmQ71、打+UmQ-TSmQ-RTinVm解:式（2.4.13）和（2.4.14）给出了理想气体的摩尔吉布斯函数作为 其自然变量T,P的函数的积分表达式.本题要求出理想气体的摩尔自由能作 为其自然变量,吃的函数的积分表达式.根据自由能的定义（式（1.18.3）,34摩尔自由能为Fm=Um-TSm.（1）其中和鼠是摩尔内能和摩尔嫡,根据式（1.7.4）和（1.15.2）,理想气体 的摩尔内能和摩尔埔为。二 f CvdT+U.,（2）m J V mO1Sm=dT+RnVm+Sm0,（3）所以Fm=CVmdT-TdT-RTnVm+Um0-TSm0.（4）利用分部积分公式xdy=xy ydx,令x=r y=Ja,可将式（4）右方头两项合并而将式（4）改写为FlTcVmdT-RT lnVm+Um0-TSm0.（5）2.11 求范氏气体的特性函数,并导出其他的热力学函数.解:考虑Imol的范氏气体.根据自由能全微分的表达式（2.1.3）,摩尔 自由能的全微分为dFm=-SmdT-pdVm.（1）积分得F(T,Vm)=-RTln(Vm-b)-f(T(3)由于式（2）左方是偏导数,其积分可以含有温度的任意函数/（.我们利用358时范氏气体趋于理想气体的极限条件定出函数/（T）,根据习题2.11式（4）,理想气体的摩尔自由能为Fm=cVmdT-dT-RTlnVm+UmTSm0.（4）将式（3）在.8时的极限与式（4）加以比较,知f（TcvT-TdT+Um.-TSm.（5）所以范氏气体的摩尔自由能为Fm（T,Vm）=cVmdT-TdT-RTln（Vm-b）-+Uin0-TSm0.（6）式（6）的（7,）是特性函数范氏气体的摩尔嫡为黑=叁=母江+尺也（。）+鼠。.（7）摩尔内能为Um=Fm+TSm=mdT-+Um0.（8）2.12 弹簧在恒温下的恢复X与其伸长X成正比,即X=小,比例 系数4是温度的函数.今忽略弹簧的热膨胀,试证明弹簧的自由能,嫡S和 内能U的表达式分别为F（T,x）=F（T,0）+1a2,s（t,x）=s（t,o）一籌.U（T,x）=U（T,O）+白嚼k解:在准静态过程中,对弹簧施加的外力与弹簧的恢复力大小相等,方 向相反.当弹簧的长度有厶的改变时,外力所做的功为dW-Xdx.（1）根据式（1.14）,弹簧的热力学基本方程为dU=TdS-Xdx.(2)36弹簧的自由能定义为F=U TS,其全微分为dF SdT Xdx.将胡克定律X=k代入,有dF=-SdT+Axdx,因此在固定温度下将上式积分,得F（T,x）=F（T,0）+a%6/x=F（T,0）+1-Ax2,其中（T,）是温度为T,伸长为零时弹簧的自由能.弹簧的嫡为u=f+ts=u(t,o)+；弹簧的内能为A一鳴犬2.(3)(4)(5)(6)在力学中通常将弹簧的势能记为没有考虑A是温度的函数.根据热力学,U力学是在等温过程中外界所做的功,是自由能,2.13 X射线衍射实验发现,橡皮带未被拉紧时具有无定形结构;当受张 而被拉伸时,具有晶形结构.这事实表明,橡皮带具有大的分子链.（a）试讨论橡皮带在等温过程中被拉伸时,它的嫡是增加还是减少;（b）试证明它的膨胀系数刍是负的.LoL）.解:（a）嫡是系统无序程度的量度.橡皮带经等温拉伸过程后由无定形结37构转变为晶形结构,说明过程后其无序度减少,即嫡减少了,所以有（b）由橡皮带自由能的全微分dF SdT+JdL可得麦氏关系aEdJaF综合式（1）和式（2）,知由橡皮带的物态方程（,）=0知偏导数间存在链式关系dJ 8TdT aZdLdL dTdJ dTdL在温度不变时橡皮带随张而伸长说明综合式（3）-（5）知所以橡皮带的膨胀系数是负的,即2.14假设太阳是黑体,根据下列数据求太阳表面的温度;单位时间内 投射到地球大气层外单位面积上的太阳辐射能量为1.35x103j.mZs-i（该值称为 太阳常量）,太阳的半径为6.955xlCfm,太阳与地球的平均距离为1.495x10“m.38解:以此表示太阳的半径.顶点在球心的立体角幽在太阳表面所张的面 积为用Q.假设太阳是黑体,根据斯特藩玻耳兹曼定律（式（268）,单位 时间内在立体角dQ内辐射的太阳辐射能量为oT 比 dQ.（1）单位时间内,在以太阳为中心,太阳与地球的平均距离此为半径的球面上接 受到的在立体角也内辐射的太阳辐射能量为1.35x103/?.。.令两式相等,即得7 （3）1丿将b,凡和的数值代入,得。5760K.2.15计算热辐射在等温过程中体积由匕变到K时所吸收的热量.解:根据式（1.14.3）,在可逆等温过程中系统吸收的热量为Q=TAS.（1）式（2.6.4）给出了热辐射的備函数表达式S=-aT3V.（2）所以热辐射在可逆等温过程中体积由K变到、时所吸收的热量为。=化匕）.（3）2.16试讨论以平衡辐射为工作物质的卡诺循环,计算其效率.解:根据式（261）和（263）,平衡辐射的压强可表为p=aT4,（1）3因此对于平衡辐射等温过程也是等压过程.式（2.6.