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专题二-三角函数、平面向量专题二 三角函数、平面向量第一讲三角函数的图象与性质(选择、填空题型)命题全解密MINGTIQUANJIEMI三角函数的周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性；函数yAsin(x)的解析式、图象及其变换、单调区间的求法常与向量、解三角形、不等式等知识交汇考查利用三角函数的图象与性质求三角函数值域的方法；利用公式求三角函数的周期的方法；利用整体代换求三角函数的单调区间的方法；利用平移变换与伸缩变换求函数的解析式的方法 重要性质函数ysinxycosxytanx图象单调性在2k，2k(kZ)上单调递增；在2k，2k(kZ)上单调递减在2k，2k(kZ)上单调递增；在2k，2k(kZ)上单调递减在k，k(kZ)上单调递增对称性对称中心：(k，0)(kZ)；对称轴：xk(kZ)对称中心：(kZ)；对称轴：xk(kZ)对称中心：(kZ)重要变换1ysinxysin(x)ysin(x)yAsin(x)(A0，0)2ysinxysinxysin(x)yAsin(x)(A0，0)易错提醒1忽视定义域求解三角函数的单调区间、最值(值域)以及作图象等问题时，要注意函数的定义域2重要图象变换顺序在图象变换过程中，注意分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向3忽视A，的符号在求yAsin(x)的单调区间时，要特别注意A和的符号，若0，0)的部分图象如图所示，则f(1)f(2)f(3)f(2015)的值为()A0 B3C6 D解析由图可得，A2，T8，8，f(x)2sinx，f(1)，f(2)2，f(3)，f(4)0，f(5)，f(6)2，f(7)，f(8)0，而201582517，f(1)f(2)f(2015)0.答案A(2)已知函数f(x)sinxcosx(0)，ff0，且f(x)在区间上递减，则()A3 B2C6 D5解析f(x)在上单调递减，且ff0，f0，f(x)sinxcosx2sin，ff2sin0，k(kZ)，又，0，2.答案B函数表达式yAsin(x)B的确定方法字母确定途径说明A由最值确定AB由最值确定B由函数的周期确定相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点差的绝对值为个周期由图象上的特殊点确定一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置利用待定系数法并结合图象列方程或方程组求解1已知函数f(x)cos0，|的部分图象如图所示，则yf取得最小值时x的取值集合为()A. B.C. D.答案B解析因为f(x)cossin(x)，由图可知，所以2.又由图得sin1，即22k，kZ，所以2k，kZ，又|，所以，所以f(x)sin，则yf(x)sinsin，由2x2k，kZ，得xk，kZ，所以yf取得最小值时x的取值集合为，故选B.2如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A5 B6C8 D10答案C解析由题图可知3k2，k5，y3sin5，ymax358.热点二函数yAsin(x)的图象变换例2(1)函数f(x)sin(x)的图象如图所示，为了得到ysinx的图象，只需把yf(x)的图象上所有点A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度解析由图象知：，T.又，2.由f0得：2k(kZ)，即k(kZ)|，即f(x)sinsin，故选A.答案A(2)为得到函数ysin的图象，可将函数ysinx的图象向左平移m个单位长度，或向右平移n个单位长度(m，n均为正数)，则|mn|的最小值是()A. B.C. D.解析由题意可知，m2k1，k1为非负整数，n2k2，k2为正整数，|mn|，当k1k2时，|mn|min.答案B三角函数图象平移问题处理策略(1)看平移要求：首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数，这是判断移动方向的关键点(2)看移动方向：移动的方向一般记为“正向左，负向右”，看yAsin(x)中的正负和它的平移要求(3)看移动单位：在函数yAsin(x)中，周期变换和相位变换都是沿x轴方向的，所以和之间有一定的关系，是初相，再经过的压缩，最后移动的单位是.1已知函数f(x)sin(xR)，把函数f(x)的图象向右平移个单位长度得函数g(x)的图象，则下列结论错误的是()A函数g(x)在区间上为增函数B函数g(x)为偶函数C函数g(x)的最小正周期为D函数g(x)的图象关于直线x对称答案D解析因为f(x)sin(xR)，所以g(x)sincos2x，故函数g(x)的最小正周期T，函数g(x)为偶函数，且gcos0，故函数g(x)的图象不关于直线x对称，当0x时，02x，则函数g(x)在区间上为增函数，故选D.2将函数f(x)sin2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象若对满足|f(x1)g(x2)|2的x1，x2，有|x1x2|min，则()A. B.C. D.答案D解析由已知得g(x)sin(2x2)，满足|f(x1)g(x2)|2，不妨设此时yf(x)和yg(x)分别取得最大值与最小值，又|x1x2|min，令2x1，2x22，此时|x1x2|，又0，故，选D.热点三函数yAsin(x)的图象和性质的综合应用例3(1)已知函数f(x)sin(x)的最小正周期是，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f(x)的图象()A关于直线x对称 B关于直线x对称C关于点对称 D关于点对称解析f(x)的最小正周期为，2，f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)sinsin的图象，又g(x)的图象关于原点对称，k，kZ，k，kZ，又|，0)的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g(x)的图象. 关于函数g(x)，下列说法正确的是()A在上是增函数B其图象关于直线x对称C函数g(x)是奇函数D当x时，函数g(x)的值域是2,1解析f(x)sinxcosx2sin，由题设知，T，2，f(x)2sin.把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位，得到g(x)2sin2sin2cos2x的图象，g(x)是偶函数且在上是减函数，其图象关于直线x不对称，所以A，B，C错误当x时，2x，则g(x)min2cos2，g(x)max2cos1，即函数g(x)的值域是2,1，故选D.答案D本例(1)中条件不变，若平移后得到的图象关于y轴对称，则f(x)的图象又关于谁对称？答案D解析g(x)的图象关于y轴对称，则k，kZ，可求，f(x)sin，2xk，可得x，令k1，则x，故选D.求解函数yAsin(x)的性质问题的三种意识(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)Asin(x)的形式(2)整体意识：类比ysinx的性质，只需将yAsin(x)中的“x”看成ysinx中的“x”，采用整体代入求解令xk(kZ)，可求得对称轴方程令xk(kZ)，可求得对称中心的横坐标将x看作整体，可求得yAsin(x)的单调区间，注意的符号(3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A0，A0.12015四川高考下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是()Aycos BysinCysin2xcos2x Dysinxcosx答案A解析采用验证法由ycos(2x)sin2x，可知该函数的最小正周期为且为奇函数，故选A.2已知函数f(x)Asin(x)(A，均为正的常数)的最小正周期为，当x时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是()Af(2)f(2)f(0) Bf(0)f(2)f(2)Cf(2)f(0)f(2) Df(2)f(0)，且2，2，0，f(2)f(2)f(0)，即f(2)f(2)0，0，的部分图象如图所示，则将yf(x)的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为()Aysin2xBycos2xCysin Dysin答案D解析A1，由T得T，2，fsin1，|，则， 故f(x)sin，向右平移个单位后，得ysin.2已知函数f(x)sin2xsincos2xcossin(0)，将函数f(x)的图象向左平移个单位后得到函数g(x)的图象，且g，则_.答案解析f(x)sin2xsincos2xcossinsin2xsincoscossin2xsincos2xcoscos(2x)，g(x)coscos.g，22k(kZ)，即2k(kZ)00)的图象的相邻两支截直线y2所得线段长为，则f的值是()A B.C1 D.答案D解析由题意可知该函数的周期为，2，f(x)tan2x，ftan，故选D.3将函数f(x)cosxsinx(xR)的图象向左平移a(a0)个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则a的最小值是()A. B.C. D.答案B解析f(x)cosxsinx22cos，由题知ak，kZ，所以ak，kZ，又因为a0，所以a的最小值为.4函数f(x)2cos(x)(0)对任意x都有ff，则f等于()A2或0 B2或2C0 D2或0答案B解析由ff可知函数图象关于直线x对称，则在x处函数取得最值，所以f2，故选B.5已知平面向量a(2cos2x，sin2x)，b(cos2x，2sin2x)，f(x)ab，要得到ysin2xcos2x的图象，只需要将yf(x)的图象()A.向左平行移动个单位B向右平行移动个单位C向左平行移动个单位D向右平行移动个单位答案D解析由题意得：f(x)ab2cos4x2sin4x2(cos2xsin2x)(cos2xsin2x)2cos2x2sin，而ysin2xcos2x2sin2sin，故只需将yf(x)的图象向右平移个单位即可故选D.6函数f(x)(1cos2x)sin2x(xR)是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为的偶函数答案D解析注意到sin2x(1cos2x)，因此f(x)(1cos2x)(1cos2x)(1cos22x)sin22x(1cos4x)，即f(x)(1cos4x)，f(x)(1cos4x)f(x)，因此函数f(x)是最小正周期为的偶函数，选D.7已知函数f(x)Asin(x)(0)的图象如图所示，若f(x0)3，x0，则sinx0的值为()A.B.C. D.答案B解析由图象知A5，T2，1，且12k，又00，0)的图象与两条直线l1：ym(Am0)，l2：ym的两个交点，记S(m)|xNxM|，则S(m)的图象大致是()答案C解析如图所示，作曲线yf(x)的对称轴xx1，xx2，点M与点D关于直线xx1对称，点N与点C关于直线xx2对称，所以xMxD2x1，xCxN2x2，所以xD2x1xM，xC2x2xN.又点M与点C、点D与点N都关于点B对称，所以xMxC2xB，xDxN2xB，所以xM2x2xN2xB,2x1xMxN2xB，得xMxN2(xBx2)，xNxM2(xBx1)，所以|xMxN|(常数)，选C.二、填空题11.函数ysinxcosxx的单调递增区间是_答案解析ysinxcosxsin，函数的单调递增区间为(kZ)，又x，单调递增区间为.12若函数f(x)cos2xasinx在区间是减函数，则a的取值范围是_答案(，2解析f(x)cos2xasinx12sin2xasinx，令tsinx，x，则t，原函数化为y2t2at1，由题意及复合函数单调性的判定可知y2t2at1在上是减函数，结合抛物线图象可知，所以a2.13函数f(x)sin(x)(xR)的部分图象如图所示，如果x1，x2，且f(x1)f(x2)，则f(x1x2)_.答案解析 由图可知，则T，2，又，f(x)的图象过点，即sin1，得，f(x)sin.而x1x2，f(x1x2)fsinsin.14已知0，在函数y2sinx与y2cosx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则_.答案解析由题意，两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，易知|PQ|2(x2x1)2(y2y1)2，其中|y2y1|()2，|x2x1|为函数y2sinx2cosx2sin的两个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(2)22(2)2，.第二讲三角恒等变换与解三角形(选择、填空题型)命题全解密MINGTIQUANJIEMI同角三角函数间的基本关系及诱导公式；三角恒等变换利用正弦定理与余弦定理解三角形；以实际生活为背景，与度量工作、测量距离和高度及工程建筑等生产实际相结合命制新颖别致的考题常与函数、数列、平面向量以及三角函数的图象和性质解三角形等知识交汇考查配凑法，“切”与“弦”互换法，代换法利用正、余弦定理求边或角的方法；利用正、余弦定理求解实际问题的方法. 必记公式1同角三角函数之间的关系(1)平方关系：sin2cos21；(2)商数关系：tan.2诱导公式(1)公式：S2k；S；S；S；(2)巧记口诀：奇变偶不变，符号看象限，当锐角看3两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sincoscossin；(2)cos()coscossinsin；(3)tan()；(4)辅助角公式：asinbcossin()cos()4二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin22sincos；(2)cos2cos2sin22cos2112sin2；(3)tan2.5降幂公式(1)sin2；(2)cos2.6正弦定理2R(2R为ABC外接圆的直径)变形：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC.sinA，sinB，sinC.abcsinAsinBsinC.7余弦定理a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC.推论：cosA，cosB，cosC.变形：b2c2a22bccosA，a2c2b22accosB，a2b2c22abcosC.8面积公式SABCbcsinAacsinBabsinC.重要结论解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解(4)已知三边，利用余弦定理求解易错提醒1同角关系应用错误：利用同角三角函数的平方关系开方时，忽略判断角所在的象限或判断出错，导致三角函数符号错误2诱导公式的应用错误：利用诱导公式时，三角函数名变换出错或三角函数值的符号出错3忽视解的多种情况如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由ABC，求C，再由正弦定理或余弦定理求边c，但解可能有多种情况4忽略角的范围应用正、余弦定理求解边、角等量的最值(范围)时，要注意角的范围5忽视解的实际意义求解实际问题，要注意解得的结果要与实际相吻合 热点一三角变换及求值例1(1)已知sinsin，则sin的值是()AB.C. D解析sin()sinsincoscossinsinsincossincos，故sinsincoscossinsincos.答案D(2)如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，AOC.若|BC|1，则cos2sincos的值为_解析由题意得|OB|BC|1，从而OBC为等边三角形，sinAOBsin，又cos2sincossincossin.答案1化简求值的方法与思路三角函数式的化简求值可以采用“切化弦”“弦化切”来减少函数的种类，做到三角函数名称的统一，通过三角恒等变换，化繁为简，便于化简求值，其基本思路为：找差异，化同名(同角)，化简求值2解决条件求值应关注的三点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小1 sin20cos10cos160sin10()A B.C D.答案D解析原式sin20cos10cos20sin10sin(2010).2若tan2tan，则()A1 B2C3 D4答案C解析3，故选C.热点二利用正弦、余弦定理解三角形例2(1)在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin(BA)sin(BA)3sin2A，且c，C，则ABC的面积是()A. B.C. D.或解析sin(BA)sinBcosAcosBsinA，sin(BA)sinBcosAcosBsinA，sin2A2sinAcosA，sin(BA)sin(BA)3sin2A，即2sinBcosA6sinAcosA.当cosA0时，A，B，又c，得b.由三角形面积公式知Sbc；当cosA0时，由2sinBcosA6sinAcosA可得sinB3sinA，根据正弦定理可知b3a，再由余弦定理可知cosCcos，可得a1，b3，所以此时三角形的面积为SabsinC.综上可得三角形的面积为或，所以选D.答案D(2)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosCccosBasinA，则ABC的形状为()A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D不确定解析由题可知sinBcosCsinCcosBsin2A，即sin(BC)sin2A，sinAsin2A，sinA0sinA1，0A，A.所以ABC为直角三角形，故选A.答案A(3)已知平面图形ABCD为凸四边形(凸四边形即任取平面四边形一边所在的直线，其余各边均在此直线的同侧)，且AB2，BC4，CD5，DA3，则四边形ABCD面积S的最大值为()A. B2C4 D6解析根据题意，连接BD，则S23sinA45sinC3sinA10sinC.根据余弦定理得，BD21312cosA4140cosC，得10cosC3cosA7，两边同时平方得100cos2C9cos2A60cosCcosA49，得100sin2C9sin2A6060cosCcosA，而S2(3sinA10sinC)2100sin2C9sin2A60sinCsinA6060cosAcosC60sinCsinA6060cos(CA)120，所以S2，故选B.答案B本例(2)中条件变为“(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)”，则ABC的形状如何？解由已知(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，得a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)，所以2a2cosAsinB2b2cosBsinA.由正弦定理得sin2AcosAsinBsin2BcosBsinA，即sin2AsinAsinBsin2BsinAsinB.因为0A，0B，所以sin2Asin2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB.所以ABC是等腰三角形或直角三角形解三角形问题的方法(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理； (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理1在ABC中，a4，b5，c6，则_.答案1解析由正弦定理得sinAsinBsinCabc456，又由余弦定理知cosA，所以2cosA21.2设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sinB，C，则b_.答案1解析由sinB得B或，因为C，所以B，所以B，于是A.由正弦定理，得，所以b1.3在ABC中，B120，AB，A的角平分线AD，则AC_.答案解析如图，在ABD中，由正弦定理，得sinADB.由题意知0ADB60，所以ADB45，则BAD180BADB15，所以BAC2BAD30，所以C180BACB30，所以BCAB，于是由余弦定理，得AC.热点三与解三角形有关的交汇问题例3(1)设ABC的三个内角为A，B，C，且tanA，tanB，tanC,2tanB成等差数列，则cos(BA)()A BC. D.解析由条件，得tanCtanB，tanAtanB，所以ABC为锐角三角形又tanAtan(CB)tanB，得tanB2，所以tanA1，所以tan(BA).因为BA，所以cos(BA)，故选D.答案D(2)设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且sin2Asin2Bsin2C，面积S1,2，则下列不等式一定成立的是()Aab(ab)16 Bbc(bc)8C6abc12 D12abc24解析依题意得sin(AB)(AB)sin(AB)(AB)sin2C，展开并整理得2sin(AB)cos(AB)2sinCcosC.又sin(AB)sinC，于是有2sinCcos(AB)2sinCcosC2sinCcos(AB)cos(AB)，展开并整理得4sinAsinBsinC，sinAsinBsinC.又SabsinCbcsinAcasinB，因此S3a2b2c2sinAsinBsinCa2b2c2.由1S2得1a2b2c223，即 8abc16，因此选项C、D不一定成立又bca0，因此bc(bc)bca8，即有bc(bc)8，选项B一定成立又abc0，因此ab(ab)abc8，即有ab(ab)8，显然不能得出ab(ab)16，选项A不一定成立综上所述，选B.答案B与解三角形有关的交汇问题的关注点此类问题的核心是正、余弦定理的应用，解决此类问题应抓住以下三点：(1)透过现象看本质，在掌握交汇知识的同时，用好正、余弦定理；(2)根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化；(3)结合内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式1ABC的内角为A，B，C，点M为ABC的重心，如果sinAsinBsinC0，则内角A的大小为_答案解析由正弦定理，得abc.因为M是ABC的重心，所以0，所以ba，ca，所以cosA，所以A.2在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆1上，则的值为_答案解析. 课题9利用正弦、余弦定理解三角形在ABC中，A，AB6，AC3，点D在BC边上，ADBD，求AD的长审题过程由余弦定理求a边利用正弦定理及三角恒等变换公式求出AD的长. 设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2b2c22bccosBAC(3)262236cos1836(36)90，所以a3.又由正弦定理得sinB，由题设知0Bc，所以C为锐角，因此cosC，于是cos(BC)cosBcosCsinBsinC. 一、选择题1已知tan2，则()A. BC. D.答案D解析解法一(切化弦的思想)：因为tan2，所以sin2cos，cossin.又因为sin2cos21，所以解得sin2.所以.故选D.解法二(弦化切的思想)：因为.故选D.2若tan(45)0，则下列结论正确的是()Asin0 Bcos0Csin20 Dcos20答案D解析tan(45)0，k180135k18045，k3602702k36090，cos20，故选D.3已知ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2b2c2bc，bc4，则ABC的面积为()A. B1C. D2答案C解析a2b2c2bc，cosA，A，又bc4，ABC的面积为bcsinA，故选C.4有四个关于三角函数的命题：p1：sinxsinyxy或xy；p2：xR，sin2cos21；p3：x，yR，cos(xy)cosxcosy；p4：x， cosx.其中真命题是()Ap1，p3 Bp2，p3Cp1，p4 Dp2，p4答案D解析对于命题p1，若sinxsiny，则xy2k，kZ或者xy2k，kZ，所以命题p1是假命题对于命题p2，由同角三角函数基本关系知命题p2是真命题