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七年级培优试题及答案

1．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B；
（1）求证：CD⊥AB，并指出你在证明过程中应用了哪两个互逆的真命题；
（2）如图2，若AE平分∠BAC，交CD于点F，交BC于E．求证：∠AEC=∠CFE；
（3）如图3，若E为BC上一点，AE交CD于点F，BC=3CE，AB=4AD，△ABC、△CEF、△ADF的面积分别为S△ABC、S△CEF、S△ADF，且S△ABC=36，则S△CEF﹣S△ADF=　3　．（仅填结果）
【考点】命题与定理；三角形的面积；直角三角形的性质．
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠B=90°，然后求出∠A+∠ACD=90°，从而得到∠ADC=90°，再根据垂直的定义证明即可；
（2）根据角平分线的定义可得∠CAE=∠BAE，再根据直角三角形两锐角互余可得∠CAE+∠AEC=90°，∠BAE+∠AFD=90°，从而得到∠AEC=∠AFD，再根据对顶角相等可得∠AFD=∠CFE，然后等量代换即可得证；
（3）根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出S△ACD和S△ACE，然后根据S△CEF﹣S△ADF=S△ACE﹣S△ACD计算即可得解．
【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，
即CD⊥AB，
证明时应用了“直角三角形两锐角互余”和“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”；

（2）证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE，
∵∠CAE+∠AEC=90°，∠BAE+∠AFD=90°，
∴∠AEC=∠AFD，
∵∠AFD=∠CFE（对顶角相等），
∴∠AEC=∠CFE；

（3）解：∵BC=3CE，AB=4AD，
∴S△ACD=S△ABC=×36=9，S△ACE=S△ABC=×36=12，
∴S△CEF﹣S△ADF=S△ACE﹣S△ACD
=12﹣9
=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了命题与定理，三角形的面积，直角三角形两锐角互余的性质，有两个锐角互余的三角形是直角三角形，（3）利用等高的三角形的面积的比等于底边的比求出S△ACD和S△ACE是解题的关键．
2. Rt△ABC中，∠C=90°，点D，E分别是边AC，BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图①，且∠α=50°，则∠1+∠2=　140°　；
（2）若点P在斜边AB上运动，如图②，则∠α、∠1、∠2之间的关系为　∠1+∠2=90°+∠α　；
（3）如图③，若点P在斜边BA的延长线上运动（CE＜CD），请直接写出∠α、∠1、∠2之间的关系：　∠2﹣∠1=90°+∠α；∠2=∠1+90°；∠1﹣∠2=∠α﹣90°　；
（4）若点P运动到△ABC形外（只需研究图④情形），则∠α、∠1、∠2之间有何关系？并说明理由．

【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【专题】探究型．
【分析】（1）连接PC，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，再表示出∠1+∠2即可；
（2）利用（1）中所求得出答案即可；
（3）利用三角外角的性质分三种情况讨论即可；
（4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出．
【解答】解：（1）如图，连接PC，
∵∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C，
∵∠DPE=∠α=50°，∠C=90°，
∴∠1+∠2=50°+90°=140°，
故答案为：140°；

（2）连接PC，
∵∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C，
∵∠C=90°，∠DPE=∠α，
∴∠1+∠2=90°+∠α；
故答案为：∠1+∠2=90°+∠α；

（3）如图1，
∵∠2=∠C+∠1+∠α，
∴∠2﹣∠1=90°+∠α；
如图2，∠α=0°，∠2=∠1+90°；
如图3，∵∠2=∠1﹣∠α+∠C，
∴∠1﹣∠2=∠α﹣90°．

故答案为；∠2﹣∠1=90°+∠α；∠2=∠1+90°；∠1﹣∠2=∠α﹣90°．

（4）

∵∠PFD=∠EFC，
∴180°﹣∠PFD=180°﹣∠EFC，
∴∠α+180°﹣∠1=∠C+180°﹣∠2，
∴∠2=90°+∠1﹣α．
故答案为：∠2=90°+∠1﹣α．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和外角的性质、对顶角相等的性质，熟练利用三角形外角的性质是解题的关键．

3.阅读下面的材料:
如图①，在中，试说明.
分析:通过画平行线，将、、作等量代换，使各角之和恰为一个平角，依辅助线不同而得多种方法.

第24题
解:如图②，延长到点,过点作 //.
因为//(作图所知)，
所以,(两直线平行，同位角、内错角相等).
又因为(平角的定义)，
所以(等量代换).
如图③，过上任一点，作//, //，这种添加辅助线的方法能说明吗?并说明理由.

. 能 理由：因为∥，所以，因为∥，所以，所以，因为，
所以.

4.如图，在△ABC中(BC>AC)，∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E.设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P，问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由.
.①若，此时线段CP1为△CFG1的斜边FG1上的中线.证明如下：
∵，∴.
又∵，∴.
∴. ∴.
又∵，∴. ∴.
∴线段CP1为△CFG1的斜边FG1上的中线.
②若，此时线段CP2为△CFG2的斜边FG2上的高线.证明如下：
∵，
又∵DE⊥AC，∴. ∴.
∴. ∴CP2⊥FG2.
∴线段CP2为△CFG2的斜边FG2上的高线.
③当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线.

5.如图，是的边上任意一点，、分别是线段、的中点，且的面积为20 cm2，求的面积.

. 因为是的中点，所以是的中线，是的中线，所以是的中线，所以=5（cm2）
6.在中，.如图①，于点,平分，则易知.
(1)如图②，平分, 为上的一点，且于点，这时与、有何数量关系?请说明理由;

(2)如图③，平分,为延长线上的一点，于点，请你写出这时与、之间的数量关系(只写结论，不必说明理由).

.
(1)如图辅助线：作，.
(2)

7． BC∥OA，∠B=∠A=100︒，试回答下列问题：
(1)如图，求证：OB∥AC；

(2)如图，若点E、F在BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF

①∠EOC的度数；
②求∠OCB：∠0FB的值；
③如图，若∠OEB=∠OCA，此时∠OCA= (在横线上填上答案即可)．

(1)证明：∵BC∥OA ∴∠B+∠0=180°．∵∠A=∠B．∴∠A+∠O=180°．∴OB∥AC．
(2)①∠A=∠B=：100°，由(1)得∠BOA=180°-∠B=80°．
∵∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF，BC∥OA，
∴∠FOC=∠FOA，∠EOF=∠BOF．
∴∠EOC=∠EOF+∠FOC= (∠BOF+∠FOA)= ∠BOA=40°．
②∵BC∥OA，∴∠FCO=∠COA．
又∵∠FOC=,∠AOC，．∴∠FOC=∠FCO．
∵∠FOC+∠FCO=180°-∠OFC，且∠BFO=180°-∠0FC，
∴∠OFB=∠FOC+∠FCO=2∠OCB．
∴∠0CB：∠0FB=1：2．
③由(1)知OB∥AC，∴∠OCA=∠BOC．
由(2)可以设∠B0E=∠E0F=，∠FOC=∠COA=，∴∠OCA=∠BOC=2+
∵∠ECO+∠EOC=180°-∠OEC，且∠OEB=180°-∠OEC，
即∠OEB=∠EOC+∠ECO=++=+2
∵∠OEB=∠OCA．∴2+=+2·即=
∵∠AOB=80°，∴==20°．
∴∠OCA=2+=40°+20°=60°
8.如图7所示，直线a∥b，则∠A＝_______.
.如图8所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝______.

9.阅读下列材料：
一般地，n个相同的因数a相乘， 记为．如2×2×2==8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为 (即=3)．一般地，若=6(>0且≠1，6>0)，则n叫做以a为底b的对数，记为 (即=n)．如3=81，则4叫做以3为底81的对数，记为 (即=4)．
(1)计算以下各对数的值：
= ；= ；= ．
(2)观察(1)中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，、、之间又满足怎样的关系式；
(3)由(2)的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗?
= (a>0且a≠1，M>0，N>0)；
(4)根据幂的运算法则：=以及对数的含义证明上述结论．
10.（1）阅读材料：
求l+2++++…+2的值．
解：设S= l+2++++…+ +2 ，将等式两边同时乘2，
得2S=2+++++…+2+2．
将下式减去上式，得2S-S=2一l
即S=2一l，
即1+2+ +++…+2= 2一l
仿照此法计算：
(1)1+3++…+ (2) +…+

11.阅读下列一段话，并解决后面的问题．观察下面一列数：l，2，4，8，…我们发现，这列数从第二项起，每一项与它前一项的比值都是2．我们把这样的一列数叫做等比数列，这个共同的比值叫做等比数列的公比．
(1)等比数列5，一15，45，…的第4项是_______；
(2)如果一列数a1，a2，a3，…是等比数列，且公比是q，那么根据上述规定有
,,…所以a2=a1q,a3=a2q=a1q·q=a1q2,a4=a3q=a1q2·q=a1q3, …
则an=______；(用a1与q的代数式表示)
(3)一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项和第4项．

12．如图1，△ABC中，两条角平分线BD，CE交于点M，MN⊥BC于点N，将∠MBN记为∠1，∠MCN记为∠2．∠CMN记为∠3．
（1）若∠A=98°，∠BEC=124°，则∠2=　26　°，∠3﹣∠1=　49　°；
（2）猜想∠3﹣∠1与∠A的数量关系，并证明你的结论；
（3）若∠BEC=α，∠BDC=β，如图2所示，用含α和β的代数式表示∠3﹣∠1的度数．（直接写出结果即可）

【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【专题】计算题．
【分析】（1）利用三角形外角性质得到∠BEC=∠A+∠ACE，则可计算出∠ACE=26°，再根据角平分线定义得到∠2=∠ACE=26°，接着在△BCE中计算出∠EBC，从而得到∠1的度数，然后利用互余求∠3=64°，最后计算∠3﹣∠1；
（2）利用三角形外角性质得∠BMC=∠MDC+∠DCM，∠MDC=∠A+∠ABD，即∠BMC=∠2+∠A+∠1，再利用三角形内角和得到180°﹣∠1﹣∠2=∠2+∠A+∠1，然后把∠2=90°﹣∠3代入后整理得到∠3﹣∠1=∠A；
（3）利用三角形外角性质得∠BEC=∠A+∠ACE，∠BDC=∠A+∠ABD，加上∠1=∠EBM，∠2=∠DCM，则α=∠A+∠2，β=∠A+∠1，把两式相加后把∠A=∠3﹣∠1代入得到α+β=2（∠3﹣∠1）+90°﹣∠3+∠1，整理即可得到∠3﹣∠1=α+β﹣90°．
【解答】解：（1）∵∠BEC=∠A+∠ACE，
∴∠ACE=124°﹣98°=26°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠2=∠ACE=26°，
∴∠EBC=180°﹣∠2﹣∠BEC=30°，
而BD平分∠ABC，
∴∠1=×30°=15°，
∵MN⊥BC，
∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣26°=64°；
∴∠3﹣∠1=49°，
故答案为26，49；
（2）∠3﹣∠1=∠A．理由如下：
∵∠BMC=∠MDC+∠DCM，
而∠MDC=∠A+∠ABD，∠DCM=∠2，
∴∠BMC=∠2+∠A+∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠ABD，
∴∠BMC=∠2+∠A+∠1，
∴180°﹣∠1﹣∠2=∠2+∠A+∠1，
∴2∠2+2∠1=180°﹣∠A，
而∠2=90°﹣∠3，
∴2（90°﹣∠3）+2∠1=180°﹣∠A，
∴∠3﹣∠1=∠A；
（3）∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BDC=∠A+∠ABD，
而∠1=∠EBM，∠2=∠DCM，
∴α=∠A+∠2，β=∠A+∠1，
∴α+β=2∠A+∠2+∠1，
而∠A=∠3﹣∠1，
∴α+β=2（∠3﹣∠1）+90°﹣∠3+∠1，
∴∠3﹣∠1=α+β﹣90°．

【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．正确运用角平分线和三角形外角性质是解题的关键．

13.已知：如图①，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A在射线OP上，点B在射线OQ上（A、B不与O点重合），点C在射线ON上且OC=2，过点C作直线l∥PQ，点D在点C的左边且CD=3．
（1）直接写出△BCD的面积．
（2）如图②，若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交OC于E，交AC于F，求证：∠CEF=∠CFE．
（3）如图③，若∠ADC=∠DAC，点B在射线OQ上运动，∠ACB的平分线交DA的延长线于点H，在点B运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．

考点：坐标与图形性质；垂线；三角形的面积．
分析：（1）因为△BCD的高为OC，所以S△BCD=CD•OC，
（2）利用∠CFE+∠CBF=90°，∠OBE+∠OEB=90°，求出∠CEF=∠CFE．
（3）由∠ABC+∠ACB=2∠DAC，∠H+∠HCA=∠DAC，∠ACB=2∠HCA，求出∠ABC=2∠H，即可得答案．
解答： 解：（1）S△BCD=CD•OC=×3×2=3．
（2）如图②，

∵AC⊥BC，
∴∠BCF=90°，
∴∠CFE+∠CBF=90°，
∵直线MN⊥直线PQ，
∴∠BOC=∠OBE+∠OEB=90°，
∵BF是∠CBA的平分线，
∴∠CBF=∠OBE，
∵∠CEF=∠OBE，
∴∠CFE+∠CBF=∠CEF+∠OBE，
∴∠CEF=∠CFE．
（3）如图③，

∵直线l∥PQ，
∴∠ADC=∠PAD，
∵∠ADC=∠DAC
∴∠CAP=2∠DAC，
∵∠ABC+∠ACB=∠CAP，
∴∠ABC+∠ACB=2∠DAC，
∵∠H+∠HCA=∠DAC，
∴∠ABC+∠ACB=2∠H+2∠HCA
∵CH是，∠ACB的平分线，
∴∠ACB=2∠HCA，
∴∠ABC=2∠H，
∴=．
点评：本题主要考查垂线，角平分线和三角形面积，解题的关键是找准相等的角求解．
14.如图，四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F．
（1）若∠F=80，则∠ABC+∠BCD=　200°　；∠E=　100°　；
（2）探索∠E与∠F有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）给四边形ABCD添加一个条件，使得∠E=∠F所添加的条件为　AB∥CD　．

【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理．
【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠FBC+∠BCF=180°﹣∠F=100°，再由角平分线定义得出∠ABC=2∠FBC，∠BCD=2∠BCF，那么∠ABC+∠BCD=2∠FBC+2∠BCF=2（∠FBC+∠BCF）=200°；由四边形ABCD的内角和为360°，得出∠BAD+∠CDA=360°﹣（∠ABC+∠BCD）=160°．由角平分线定义得出∠DAE=∠BAD，∠ADE=∠CDA，那么∠DAE+∠ADE=∠BAD+∠CDA=（∠BAD+∠CDA）=80°，然后根据三角形内角和定理求出∠E=180°﹣（∠DAE+∠ADE）=100°；
（2）由四边形ABCD的内角和为360°得到∠BAD+∠CDA+∠ABC+∠BCD=360°，由角平分线定义得出∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF=180°，又根据三角形内角和定理有∠DAE+∠ADE+∠E=180°，∠FBC+∠BCF+∠F=180°，那么∠DAE+∠ADE+∠E+∠FBC+∠BCF+∠F=360°，于是∠E+∠F=360°﹣（∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF）=180°；
（3）由（2）可知∠E+∠F=180°，如果∠E=∠F，那么可以求出∠E=∠F=90°，根据三角形内角和定理求出∠DAE+∠ADE=90°，再利用角平分线定义得到∠BAD+∠CDA=180°，于是AB∥CD．
【解答】解：（1）∵∠F=80，
∴∠FBC+∠BCF=180°﹣∠F=100°．
∵∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F，
∴∠ABC=2∠FBC，∠BCD=2∠BCF，
∴∠ABC+∠BCD=2∠FBC+2∠BCF=2（∠FBC+∠BCF）=200°；
∵四边形ABCD的内角和为360°，
∴∠BAD+∠CDA=360°﹣（∠ABC+∠BCD）=160°．
∵四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，
∴∠DAE=∠BAD，∠ADE=∠CDA，
∴∠DAE+∠ADE=∠BAD+∠CDA=（∠BAD+∠CDA）=80°，
∴∠E=180°﹣（∠DAE+∠ADE）=100°；

（2）∠E+∠F=180°．理由如下：
∵∠BAD+∠CDA+∠ABC+∠BCD=360°，
∵四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F，
∴∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF=180°，
∵∠DAE+∠ADE+∠E=180°，∠FBC+∠BCF+∠F=180°，
∴∠DAE+∠ADE+∠E+∠FBC+∠BCF+∠F=360°，
∴∠E+∠F=360°﹣（∠DAE+∠ADE+∠FBC+∠BCF）=180°；

（3）AB∥CD．
故答案为200°；100°；AB∥CD．
【点评】本题考查了三角形、四边形内角和定理，角平分线定义，平行线的判定，等式的性质，利用数形结合，理清角度之间的关系是解题的关键．

15．已知：在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠E+∠F=100°，将△DEF如图摆放，使得∠D的两条边分别经过点B和点C．
（1）当将△DEF如图1摆放时，则∠ABD+∠ACD=240度
（2）当将△DEF如图2摆放时，请求出∠ABD+∠ACD的度数，并说明理由；
（3）能否将△DEF摆放到某个位置时，使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB？直接写出结论不能．（填“能”或“不能”）

考点：多边形内角与外角；三角形内角和定理；三角形的外角性质．
分析：（1）要求∠ABD+∠ACD的度数，只要求出∠ABC+∠CBD+∠ACB+∠BCD，利用三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣40°=140°；根据三角形内角和定理，∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=100°，∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠CBD+∠ACB+∠BCD=140°+100°=240°；
（2）要求∠ABD+∠ACD的度数，只要求出∠ABC+∠ACB﹣（∠BCD+∠CBD）的度数．根据三角形内角和定理，∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=100°；根据三角形内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=140°，∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB﹣（∠BCD+∠CBD）=140°﹣100°=40°；
（3）不能．假设能将△DEF摆放到某个位置时，使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB．则∠CBD+∠BCD=∠ABD+∠ACD=100°，那么∠ABC+∠ACB=200°，与三角形内角和定理矛盾，所以不能．
解答： 解：（1）在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=40°
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣40°=140°
在△BCD中，∠D+∠BCD+∠CBD=180°
∴∠BCD+∠CBD=180°﹣∠D
在△DEF中，∠D+∠E+∠F=180°
∴∠E+∠F=180°﹣∠D
∴∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=100°
∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠CBD+∠ACB+∠BCD=140°+100°=240°．
故答案为：240°；

（2）∠ABD+∠ACD=40°；
理由如下：
∵∠E+∠F=100°
∴∠D=180°﹣（∠E+∠F）=80°
∴∠ABD+∠ACD=180°﹣∠A﹣∠DBC﹣∠DCB
=180°﹣40°﹣（180°﹣80°）
=40°；

（3）不能．假设能将△DEF摆放到某个位置时，使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB．则∠CBD+∠BCD=∠ABD+∠ACD=100°，那么∠ABC+∠ACB=200°，与三角形内角和定理矛盾，所以不能．
故答案为：不能．
点评：考查三角形内角和定理，外角性质．熟练掌握这些性质是解题的关键．

16．已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O 重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC=x°．

（1）如图1，若AB∥ON，则
①∠ABO的度数是20°；
②当∠BAD=∠ABD时，x=120°；当∠BAD=∠BDA时，x=60°．
（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．

考点：三角形的角平分线、中线和高；平行线的性质；三角形内角和定理．
专题：计算题．
分析：利用角平分线的性质求出∠ABO的度数是关键，分类讨论的思想．
解答： 解：（1）①∵∠MON=40°，OE平分∠MON∴∠AOB=∠BON=20°
∵AB∥ON∴∠ABO=20°
②∵∠BAD=∠ABD∴∠BAD=20°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=120°
∵∠BAD=∠BDA，∠ABO=20°∴∠BAD=80°∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=60°
故答案为：①20 ②120，60

（2）①当点D在线段OB上时，
若∠BAD=∠ABD，则x=20
若∠BAD=∠BDA，则x=35
若∠ADB=∠ABD，则x=50
②当点D在射线BE上时，因为∠ABE=110°，且三角形的内角和为180°，
所以只有∠BAD=∠BDA，此时x=125．
综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，
且x=20、35、50、125．
点评：本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．

17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°．
（1）求∠BAE的度数；
（2）求∠DAE的度数；
（3）探究：小明认为如果只知道∠B﹣∠C=40°，也能得出∠DAE的度数？你认为可以吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．

考点：三角形内角和定理；角平分线的定义；三角形的外角性质．
专题：探究型．
分析：（1）利用三角形的内角和定理求出∠BAC，再利用角平分线定义求∠BAE．
（2）先求出∠BAD，就可知道∠DAE的度数．
（3）用∠B，∠C表示∠DAE即可．
解答： 解：（1）∵∠B=70°，∠C=30°，
∴∠BAC=180°﹣70°﹣30°=80°，
因为AE平分∠BAC，
所以∠BAE=40°；

（2）∵AD⊥BC，∠B=70°，
∴∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°，
而∠BAE=40°，
∴∠DAE=20°；

（3）可以．
理由如下：
∵AE为角平分线，
∴∠BAE=，
∵∠BAD=90°﹣∠B，
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=﹣（90°﹣∠B）=，
若∠B﹣∠C=40°，则∠DAE=20°．
点评：熟练运用角平分线定义和三角形的内角和定理．同时也要熟练掌握角与角之间的代换．

18．如图，
（1）在图1中，猜想：∠A1+∠B1+∠C1+∠A2+∠B2+∠C2=360度．并试说明你猜想的理由．
（2）如果把图1称为2环三角形，它的内角和为：∠A1+∠B1+∠C1+∠A2+∠B2+∠C2；
图2称为2环四边形，它的内角和为∠A1+∠B1+∠C1+∠D1+∠A2+∠B2+∠C2+∠D2；
图3称为2环5五边形，它的内角和为∠A1+∠B1+∠C1+∠D1+∠E1++∠A2+∠B2+∠C2+∠D2+∠E2
请你猜一猜，2环n边形的内角和为360（n﹣2）度（只要求直接写出结论）．

考点：多边形内角与外角；三角形内角和定理．
专题：规律型．
分析：（1）连结B1B2，可得∠A2+∠C1=∠B1B2A2+∠B2B1C1，再根据四边形的内角和公式即可求解；
（2）A1A2之间添加两条边，可得B2+∠C2+∠D2=∠EA1D+∠A1EA2+∠EA2B2，再根据边形的内角和公式即可求解；2环n边形添加（n﹣2）条边，再根据边形的内角和公式即可求解．
解答： 解：（1）连结B1B2，

则∠A2+∠C1=∠B1B2A2+∠B2B1C1，
∠A1+∠B1+∠C1+∠A2+∠B2+∠C2=∠A1+∠B1+∠B1B2A2+∠B2B1C1+∠B2+∠C2=360度；
（2）如图，A1A2之间添加两条边，

可得B2+∠C2+∠D2=∠EA1D+∠A1EA2+∠EA2B2
则∠A1+∠B1+∠C1+∠D1+∠A2+∠B2+∠C2+∠D2=∠A1+∠B1+∠C1+∠D1+∠A2+∠EA1D+∠A1EA2+∠EA2B2=720°；
2环n边形添加（n﹣2）条边，2环n边形的内角和成为（2n﹣2）边形的内角和．其内角和为180（2n﹣4）=360（n﹣2）度．
故答案为：（1）360；（2）360（n﹣2）
点评：考查了多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3）且n为整数）．

19．已知如图∠xOy=90°，BE是∠ABy的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C，当点A，B分别在射线Ox，Oy上移动时，试问∠ACB的大小是否发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点A，B的移动而变化，请求出变化范围．

考点：三角形内角和定理；三角形的外角性质．
分析：根据角平分线的定义、三角形的内角和、外角性质求解．
解答： 解：∠C的大小保持不变．理由：
∵∠ABY=90°+∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，
∴∠ABE=∠ABY=（90°+∠OAB）=45°+∠OAB，
即∠ABE=45°+∠CAB，
又∵∠ABE=∠C+∠CAB，
∴∠C=45°，
故∠ACB的大小不发生变化，且始终保持45°．
点评：本题考查的是三角形内角与外角的关系，掌握“三角形的内角和是180°”是解决问题的关键．

20．某同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°；图②中，∠D=90°，∠F=45°．图③是该同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）．

（1）在△DEF沿AC方向移动的过程中，该同学发现：F、C两点间的距离逐渐变小；连接FC，∠FCE的度数逐渐变大．（填“不变”、“变大”或“变小”）
（2）△DEF在移动的过程中，∠FCE与∠CFE度数之和是否为定值，请加以说明．
（3）能否将△DEF移动至某位置，使F、C的连线与AB平行？请求出∠CFE的度数．

考点：三角形的外角性质；平行线的判定；三角形内角和定理．
分析：（1）利用图形的变化得出F、C两点间的距离变化和，∠FCE的度数变化规律；
（2）利用外角的性质得出∠FEC+∠CFE=∠FED=45°，即可得出答案；
（3）要使FC∥AB，则需∠FCE=∠A=30°，进而得出∠CFE的度数．
解答： 解；（1）F、C两点间的距离逐渐变小；连接FC，∠FCE的度数逐渐变大；
故答案为：变小，变大；

（2）∠FCE与∠CFE度数之和为定值；
理由：∵∠D=90°，∠DFE=45°，
又∵∠D+∠DFE+∠FED=180°，
∴∠FED=45°，
∵∠FED是△FEC的外角，
∴∠FEC+∠CFE=∠FED=45°，
即∠FCE与∠CFE度数之和为定值；

（3）要使FC∥AB，则需∠FCE=∠A=30°，
又∵∠CFE+∠FCE=45°，
∴∠CFE=45°﹣30°=15°．
点评：此题主要考查了三角形的外角以及平行线的判定和三角形内角和定理等知识，熟练利用相关定理是解题关键．

21.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm．若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm．设运动的时间为t秒．
（1）当t=6秒时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分？
（2）当t=6.5秒时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分？
（3）当t为何值时，△BCP的面积为12？

考点：一元一次方程的应用；三角形的面积．
专题：几何动点问题．
分析：（1）先求出△ABC的周长为24cm，所以当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP=BP+BC=12cm，再根据时间=路程÷速度即可求解；
（2）根据中线的性质可知，点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即可；
（3）分两种情况：①P在AC上；②P在AB上．
解答： 解：（1）△ABC中，∵AC=8cm，BC=6cm，AB=10cm，
∴△ABC的周长=8+6+10=24cm，
∴当CP把△ABC的周长分成相等的两部分时，点P在AB上，此时CA+AP=BP+BC=12cm，
∴2t=12，t=6；
（2）当点P在AB中点时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，此时CA+AP=8+5=13（cm），
∴2t=13，t=6.5；

（3）分两种情况：
①当P在AC上时，
∵△BCP的面积=12，
∴×6×CP=12，
∴CP=4，
∴2t=4，t=2；
②当P在AB上时，
∵△BCP的面积=12=△ABC面积的一半，
∴P为AB中点，
∴2t=13，t=6.5．
故答案为6秒；6.5秒．

点评：本题考查了一元一次方程的应用，三角形的周长与面积，三角形的中线，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．

22．如图，已知长方形的每个角都是直角，将长方形ABCD沿EF折叠后点B
恰好落在CD边上的点H处，且∠CHE=40°．
（1）求∠HFA的度数；
（2）若再将△DAF沿DF折叠后点A恰好落在HF上的点G处，请找出线段DF和线段EF有何位置关系，并证明你的结论．

考点：翻折变换（折叠问题）．
分析：（1）根据余角的定义，可得∠CEH的度数，根据角的和差，可得∠HEB的度数，根据翻折的性质，可得∠EHF的度数，根据四边形内角和，可得∠HFB的度数，根据邻补角的定义，可得答案；
（2）根据翻折的性质，可得∠BFE=∠HFE，∠AFD=∠GFD，根据角的和差，等式的性质，可得答案．
解答： 解：（1）由余角的定义，得
∠CEH=90°﹣∠CHE=50°
由角的和差，得
∠HEB=180°﹣∠CEH=180°﹣50°=130°，
由翻折的性质，得
∠B=∠EHF=90°，
由四边形内角和，得
∠HFB=360°﹣∠B﹣∠BEH﹣∠EHF=50°，
由邻补角的定义，得
∠HFA=180°°﹣∠HFB=130°；
（2）DF和线段EF位置关系是DF⊥EF，
证明：∵长方形ABCD沿EF折叠后点B恰好落在CD边上的点H处，将△DAF沿DF折叠后点A恰好落在HF上的点G处，
∴∠BFE=∠HFE，∠AFD=∠GFD．
∵∠BFE+∠HFE+∠AFD+∠GFD=180°，
∴∠DFG+∠GFE=90°，
即∠DFE=90°，
∴DF⊥EF．
点评：本题考查了翻折变换，利用了余角的定义，角的和差，翻折的性质，四边形内角和，邻补角的定义，利用知识点较多，题目稍微有点难度．

．

23．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=BC=3cm，CD=4cm，动点P从点A出发，先以1cm/s的速度沿A→B→C运动，然后以2cm/s的速度沿C→D运动．设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得△BPD的面积S=3cm2？

考点：梯形．
专题：动点型．
分析：分三段考虑，①点P在AB上，②点P在BC上，点P在CD上，分别用含t的式子表示出△BPD的面积，再由S=3cm2建立方程，解出t的值即可．
解答： 解：①当点P在AB上时，点P的速度为1cm/s，0＜t＜3，如图①所示：
，
则BP=AB﹣AP=3﹣t，
S△BPD=BP×CB=﹣=3，
解得：t=1．
②当点P在BC上时，点P的速度为1cm/s，3＜t≤6，如图②所示：
，
则BP=t﹣3，
S△BPD=BP×DC=2t﹣6=3，
解得：t=4.5．
③当点P在CD上时，点P的速度为2cm/s，6＜t＜8，如图③所示：
，
则DP=CD﹣CP=4﹣2（t﹣6）=16﹣2t，
S△BPD=DP×BC=24﹣3t=3，
解得：t=7．
综上可得：当t=1秒或4.5秒或7秒时，使得△BPD的面积S=3cm2．
点评：本题考查了梯形的知识，解答本题的关键是分段讨论，画出每段的图形，根据△BPD的面积为3建立方程，注意数形结合思想的运用．

24．（1）如图1，已知△ABC，过点A画一条平分三角形面积的直线；
（2）如图2，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO面积相等；
（3）如图3，点M在△ABC的边上，过点M画一条平分三角形面积的直线．

考点：三角形的面积．
分析：（1）根据三角形的面积公式，只需过点A和BC的中点画