数理统计复习题第一章.doc

第一章　概率论基础

例1 写出下列随机试验的样本空间：
(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(百分制记分）；
(2）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和;
（3）10只产品中有3只是次品,每次从其中取1只，取后不放回，直到3只次品都取出为止，记录抽取的次数;
(4）生产的产品直到得到5件正品为止，记录生产产品的总件数;
（5）测量一汽车通过某定点的速度;
（6）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标．
解 (1）设该小班人数为，则所求样本空间
．
(2) 两颗骰子点数之和最小为2,最大为12，故所求样本空间
．
（3)将3只次品都取出,至少要抽取3次，而最多抽取10次即可，故所求样本空间
．
（4）最理想的情形是开始生产的5件产品都是正品，故所求样本空间

（5）若不考虑汽车的运动方向，则所求样本空间

若考虑汽车的运动方向，表示该运动方向与正东方向之间的夹角，则所求样本空间
．
（6)设点的坐标为,则所求样本空间
．
例2 设是样本空间中的三个随机事件，用事件的运算式子表示下列各随机事件．
(1)三个事件恰有两个发生；
（2)三个事件至少发生一个；
（3）三个事件中至少发生两个；
（4）与发生，不发生;
（5)，，都不发生;
（6)，,至多发生一个；
解 （1） ．
（2) ．
（3) ．
（4) 或．
（5） 或．
(6） ．
例3 随机事件和，已知 试求随机事件中至少有一个发生的概率．
解 因为，所以

于是

．
例4设事件的概率分别为和,求在以下三种情况下的值
互斥；；
解
．
时, ．
．
例5 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时刻是相等的，如果甲船的停泊时间为1小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率?
0
y
x
y-x=2
y-x=1
T
解：设甲、乙轮船到达码头的时刻分别为和，则按题意,样本空间是边长为24的正方形．
设“任何一艘船都不需要等待码头空出"．分两种情况
　　（1)若甲先到(），则．
　　（2)若乙先到(），则．
故由图形可知所求的概率为
．
例6 两射手彼此独立地向同一目标射击，设甲射中目标的概率为0.9，乙射中目标的概率为0.8，求目标被击中的概率是多少？
解 设事件“甲射中目标”， 事件“乙射中目标"， 事件“目标被击中”,
则，故

．
例7 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应为0。8，0.1和0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机察看4只，若无残次品,则买下，否则退回，试求
（1）顾客买下该箱的概率?（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率?
解 设“顾客察看的那一箱玻璃杯中有个残次品”，
“顾客买下察看的那一箱玻璃杯”，则

又
，
(1）由全概率公式知 ．
（2）由Bayes公式知 ．
例8 设某电子元件的使用寿命在1000 h以上的概率为0.2，当3个电子元件相互独立使用时，求在使用了1000 h 的时候，最多只有一个损坏的概率？
解 设“使用1000 h以内损坏”,则，相互独立地使用3个电子元件可看作3次重复独立试验，事件“最多只有一个损坏"等于事件“恰有一个损坏”(记为)与“没有一个损坏"(设为)的和事件,由,得到所求的概率为
．

四 习题
1．一个袋子中有5只黑球3只白球，从袋中任取两只球,若以表示“取到的两只球均为白球";表示“取到的两只球同色”； 表示“取到的两只球至少有一只白球”． 则 ； ； ．
2．一批产品共有6件正品2件次品，从中任取两件,则：两件都是正品的概率为 ;恰有一件次品的概率为 ；两件都是次品的概率为 ；至少取到一件次品的概率为 ．
3．设事件两两相互独立，满足条件:，,且已知，则 ．
4．若事件、满足且,则= ．
5．设、为事件，,则 ．
6．设事件与相互独立，已知,，则:= ；= ．
7．三个人同时独立地解答一道难题，他们能单独正确解答的概率分别为1/5、1/3、1/4,
则：此难题被正确解答的概率为 ；恰有两个人正确解答的概率为 ．
8．设随机事件和满足，则（ ）．
(）为必然事件 () () (）
9． 设和为任意两个事件，且，则必有（ ）．
() （）
（） （）
10．设和为任意两个事件，且，,则必有（ ）．
（） (）
(） （)
11．对于任意概率不为零的事件和，下列命题一定正确的是（ )．
（) 如果和互不相容,则与也互不相容；
（) 如果和相容，则与也相容；
（） 如果和互不相容，则和相互独立;
（) 如果和相互独立,则与也相互独立．
12．甲、乙两人独立的对同一目标各射击一次,其命中率分别为0.6 和0。5，现已知目标被命中，则它是乙射中的概率是( )．
（) 3/5 （) 5/11 （) 5/8 () 6/11
13．设有10件产品,其中有3件次品，从中任意抽取5件，问其中恰有2件次品的概率是多少？
14．一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次,每次取一个（不放回）．求：
（1）至少取到一个正品的概率；
(2）第二次取到次品的概率；
（3）恰有一次取到次品的概率．
15．已知，，，求．
16．设事件、相互独立，已知，求：
（1)； （2)．
17．一工人照看三台机床，在一小时内，甲机床需要照看的概率是0.6，乙机床和丙机床需要照看的概率分别是0。5和0。8．求在一小时中，
（1)没有一台机床需要照看的概率;
（2）至少有一台机床不需要照看的概率．
18．已知工厂生产产品的次品率分别为1％和2%,现从由的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，求：
（1） 该产品是次品的概率;
（2） 若取到的是次品，那么该产品是工厂的概率．
19．元件能正常工作的概率称为元件的可靠性，由多个元件组成的系统能正常工作的概率称为该系统的可靠性.设各元件的可靠性均为，且各元件能否正常工作是相互独立的，试求下列系统的可靠性：
(1）串联系统；(2）并联系统．
20．一条自动生产线上的产品， 次品率为4%， 求解以下两个问题：
(1) 从中任取10件, 求至少有两件次品的概率;
（2） 一次取1件, 无放回地抽取，求当取到第二件次品时， 之前已取到8件正品的概率。

参考答案
1． 3/28 13/28 9/14 2． 15/28 3/7 1/28 13/28 3．1/4 4． 2/3 5． 0.7 6．0。2 0。7 7. 3/5 1/10 8。 9。 10. 11. 12。

13。解:设表示“任意抽取的5件中恰有2件次品”．
则样本空间中样本点的个数为．5件产品中恰有2件次品的取法共有种．
于是所求概率为
.
14. 解：设表示：“第次取出的是正品”（=1，2），则
（1）至少取到一个正品的概率
。
(2）第二次取到次品的概率为

.
（3）恰有一次取到次品的概率为

.
15。解：由于 .故
。
。
所以
。
16.解：由条件
。
即 .解得。
所以
（1）。
（2）.
17。解：设表示“没有一台机床需要照看”；表示“至少有一台机床不需要照看“；表示:“第台机床需要照看"（=1,2，3）．则；．

.

。
18.解：设表示“取到的产品是次品”；“取到的产品是工厂的";
“取到的产品是工厂的”．则
（1） 取到的产品是次品的概率为
.
（2）若取到的是次品,那么该产品是工厂的概率为
。
19。 解：设“第个元件正常工作"，，
（1）由于串联系统正常工作要求每个元件都正常工作,故｛系统正常工作}=，因此所求的可靠性为

分别表示四道工序发生次品事件。为加工出来的零件为次品的事件，则为产品合格品事件. 故有

。
20. 解: (1) 由于一条自动生产线上的产品很多, 当抽取的件数相对较少时, 可将无放回抽取近似看成是有放回抽取， 每抽1件产品看成是一次试验，抽10件产品相当于做10次重复独立试验， 且每次试验只有 “次品” 或 “正品” 两种可能结果，所以可以看成10重伯努利试验.
设表示 “任取 1 件是次品", 则。
设表示 “10件中至少有两件次品”， 由伯努利公式有
.
(2) 由题意, 至第二次抽到次品时， 共抽取了10次， 前9次中抽得8件正品1件次品. 设表示 “前9次中抽到8件正品1件次品”, 表示 “第十次抽到次品”, 则由独立性和伯努利公式， 所求的概率为
.