概率论与数理统计习题第一章第三章.doc

1.1 写出下列随机试验的样本空间：
(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;
解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故；
(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;
解：；
(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;
解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以；
(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品;
解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：

(5) 检查两件产品是否合格;
解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则；
(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2);
解：用表示最低气温, 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故：
；
(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;
解：；
(8) 在长为的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.
解：；
1.3 设样本空间, 事件=,
具体写出下列各事件：(1); (2) ; (3) ; (4)
（1） ；
(2) =；
(3) =;
(4) =
1.6 按从小到大次序排列, 并说明理由.
解：由于故，而由加法公式，有：
1.7 若W 表示昆虫出现残翅, E 表示有退化性眼睛, 且P(W) = 0.125; P(E) = 0.075,
P(WE) = 0.025, 求下列事件的概率：
(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛;
(2) 昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛;
(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛.
解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：
(2) 由于事件可以分解为互斥事件，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件 概率为：
(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：.
1.8 设A 与B 是两个事件, P(A) = 0.6; P(B) = 0.8。试问：
(1) 在什么条件下P(AB) 取到最大值? 最大值是多少?
(2) 在什么条件下P(AB) 取到最小值? 最小值是多少?
解：(1) 由于，故显然当时P(AB) 取到最大值。 最大值是0.6.
(2) 由于。显然当时P(AB) 取到最小值?，最小值是0.4.
1.9 设P(A) = 0.2, P(B) = 0.3, P(C) = 0.5, P(AB) = 0, P(AC) = 0.1, P(BC) = 0.2, 求事件
A,B,C 中至少有一个发生的概率.
解：因为 P(AB) = 0，故 P(ABC) = 0.至少有一个发生的概率为：
1.10 计算下列各题：
(1) 设P(A) = 0.5, P(B) = 0.3, P(AB) = 0.6, 求P(AB);
(2) 设P(A) = 0.8, P(AB) = 0.4, 求P(AB);
(3) 设P(AB) = P(A B); P(A) = 0.3, 求P(B)。
解
（1） 通过作图，可以知道，
（2）

1.11 把3个球随机地放入4个杯子中，求有球最多的杯子中球数是1，2，3 概率各为多少？
解：用表示事件“杯中球的最大个数为个” =1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有种，每种放法等可能。
对事件：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4×3×2种，故
(选排列：好比3个球在4个位置做排列)。
对事件：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种)，故。
1.12 掷一颗匀称的骰子两次, 求前后两次出现的点数之和为3; 4; 5 的概率各是多少?
解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。.出现点数和为“3”对应两个基本事件（1，2），（2，1）。故前后两次出现的点数之和为3的概率为。
同理可以求得前后两次出现的点数之和为4，5 的概率各是。
1.13 在整数中任取三个数, 求下列事件的概率：
(1) 三个数中最小的一个是5; (2) 三个数中最大的一个是5.
解：从10个数中任取三个数，共有种取法，亦即基本事件总数为120。
(1) 若要三个数中最小的一个是5，先要保证取得5，再从大于5的四个数里取两个，取法有种，故所求概率为。
(2) (2) 若要三个数中最大的一个是5，先要保证取得5，再从小于5的五个数里取两个，取法有种，故所求概率为。
1.14 12只乒乓球中有4 只是白色球, 8 只是黄色球。现从这12 只乒乓球中随机地取出两
只, 求下列事件的概率：
(1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球.
解：分别用表示事件：
(1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球.则。
1.15 已知，, 求
解：
由于-，故
1.16 已知,。 计算下列二式：
(1) （2）
解：（1）
（2）
注意：因为，所以。
1.17 一批产品共20 件, 其中有5 件是次品, 其余为正品。现从这20 件产品中不放回地任 意抽取三次, 每次只取一件, 求下列事件的概率：
(1) 在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品;
(2) 第三次才取到次品;
(3) 第三次取到次品.
解：用表示事件“第次取到的是正品”（），则表示事件“第次取到的是次品”（）。
(1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品”的概率为：
。注：也可以按条件概率的含义直接计算，省略中间一步。
(2) 事件“第三次才取到次品”的概率为：

（3） 事件“第三次取到次品”的概率为：
此题要注意区分事件（1）、(2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。用表示事件“第次取到的是正品”（），
则事件“在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品”的概率为：；而事件“第二次才取到次品”的概率为：。区别是显然的。
1.18 有两批相同的产品, 第一批产品共14 件, 其中有两件为次品, 装在第一个箱中; 第二批有10 件, 其中有一件是次品, 装在第二个箱中。今在第一箱中任意取出两件混入到第二箱中, 然后再从第二箱中任取一件, 求从第二箱中取到的是次品的概率。
解：用表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数”。用表示事件“从第二箱中取到的是次品”。则根据全概率公式，有：

1.19 一等小麦种子中混有5%的二等种子和3%的三等种子。已知一、二、三等种子将来长出的穗有50 颗以上麦粒的概率分别为50%, 15% 和10%。假设一、二、三等种子的发芽率相同,求用上述的小麦种子播种后, 这批种子所结的穗有50 颗以上麦粒的概率.
解：设表示事件“所用小麦种子为等种子”，表示事件“种子所结的穗有50 颗以上麦粒”。则根据全概率公式，有：

1.20 设男女两性人口之比为51 : 49, 男性中的5% 是色盲患者, 女性中的2.5% 是色盲患者.今从人群中随机地抽取一人, 恰好是色盲患者, 求此人为男性的概率。
解：用表示色盲，表示男性，则表示女性，由已知条件，显然有：因此：
根据贝叶斯公式，所求概率为：
1.21 根据以往的临床记录, 知道癌症患者对某种试验呈阳性反应的概率为0.95, 非癌症患者因对这试验呈阳性反应的概率为0.01, 被试验者患有癌症的概率为0.005。若某人对试验呈阳性反应, 求此人患有癌症的概率
解：用表示对试验呈阳性反应，表示癌症患者，则表示非癌症患者，显然有：
因此根据贝叶斯公式，所求概率为：

1.22 仓库中有10 箱同一规格的产品, 其中2 箱由甲厂生产, 3 箱由乙厂生产, 5 箱由丙厂生产, 三厂产品的合格率分别为95%; 90% 和96%.
(1) 求该批产品的合格率;
(2) 从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 问此件产品由甲、
乙、丙三厂生产的概率各是多少?
解：设，
，则
（1） 根据全概率公式，，该批产品的合格率为0.94.
（2） 根据贝叶斯公式，
同理可以求得，因此，从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为：。
1.23 甲、乙、丙三人独立地向同一目标各射击一次, 他们击中目标的概率分别为0.7， 0.8 和
0.9，求目标被击中的概率。
解：记={目标被击中}，则
1.24 在四次独立试验中, 事件A 至少发生一次的概率为0.5904, 求在三次独立试验中, 事件A发生一次的概率.
解：记={四次独立试验，事件A 至少发生一次}，={四次独立试验，事件A 一次也不发生}。而，因此。所以
三次独立试验中, 事件A 发生一次的概率为：。
第三章习题详解：
3.1设二维随机向量的分布函数为:
求.
解：因为 ，
，
所以

3.2 盒中装有3个黑球, 2个白球. 现从中任取4个球, 用X表示取到的黑球的个数, 用Y表示取到的白球的个数, 求(X , Y ) 的概率分布.
解：因为X + Y = 4，所以(X,Y)的可能取值为(2,2),(3,1)
且 ，
，
故(X,Y)的概率分布为
X\Y
1
2
2
0
0.6
3
0.4
0
3.3 将一枚均匀的硬币抛掷3次, 用X表示在3次中出现正面的次数, 用Y表示3次中出
现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(X , Y ) 的概率分布.
解：因为，又X的可能取值为0,1,2,3
所以(X,Y)的可能取值为(0,3),(1,1), (2,1),(3,3)
且 ，
，
故(X,Y)的概率分布为
X\Y
1
3
0
0
1/8
1
3/8
0
2
3/8
0
3
0
1/8
3.4设二维随机向量的概率密度函数为:
(1) 确定常数;(2) 求
(3) 求,这里是由这三条直线所围成的三角形区域.
解：(1)因为

由 ，得9a=1，故a=1/9.
(2)

(3)

3.5 设二维随机向量的概率密度函数为:
(1) 求分布函数;(2) 求
解：(1) 求分布函数; 当，
其他情形，由于=0，显然有=0。综合起来，有

(2) 求

3.6 向一个无限平面靶射击, 设命中点的概率密度函数为
求命中点与靶心(坐标原点) 的距离不超过a 的概率.
解：

3.7设二维随机向量的概率分布如下表所示, 求X 和Y 的边缘概率分布.
X\Y
0
2
5
1
0.15
0.25
0.35
3
0.05
0.18
0.02
解：因为

所以，X的边缘分布为
X
1
3
P
0.75
0.25
因为

所以，Y的边缘分布为
Y
0
2
5
P
0.20
0.43
0.37
3.8 设二维随机向量的概率密度函数为
求边缘概率密度.
解：因为，当时，；其他情形，显然所以，X的边缘分布密度为

又因为，当时，
其他情形，显然所以，Y的边缘分布密度为

3.9 设二维随机向量的概率密度函数为
求边缘概率密度.
解，积分区域显然为三角形区域，当时，，因此；
其他情形，显然所以，X的边缘分布密度为

同理，当时，因此
其他情形，显然所以，Y的边缘分布密度为

3.10 设二维随机向量的概率密度函数为
(1)确定常数c的值. (2)求边缘概率密度.
解：(1)因为

所以 c = 6.
(2) 因为，当时，
所以，X的边缘分布密度为

又因为，当时，
所以，Y的边缘分布密度为

3.11 求习题3.7 中的条件概率分布.
解：由T3.7知，X、Y的边缘分布分别是
X
1
3

Y
0
2
5
P
0.75
0.25

P
0.20
0.43
0.37
(1)当X=1时，Y的条件分布为

即
Y
0
2
5
P
1/5
1/3
7/15
(2)当X=3时，Y的条件分布为

即
Y
0
2
5
P
1/5
18/25
2/25
(3)当Y=0时，X的条件分布为

即
X
1
3
P
3/4
1/4
(4)当Y=2时，X的条件分布为

即
X
1
3
P
0.581
0.419
(5)当Y=5时，X的条件分布为

即
X
1
3
P
0.946
0.054
3.12 设 X 在区间(0,1) 上随机地取值, 当观察到X = x(0 < x < 1) 时, Y 在区间(x,1) 上
随机地取值, 求 Y 的概率密度函数.
解：因为 ，
所以(X,Y)的联合密度为

于是
故Y的密度函数为

3.13 设二维随机向量的概率密度函数为
求条件概率密度以及.
解：因为，当时，
又当时，
所以，在Y=y的条件下X的条件概率密度为

在X=x的条件下Y的条件概率密度为

3.14 问习题3.7 中的X 与Y 是否相互独立？
解: 由T3.7知，X、Y的边缘分布分别是
X
1
3

Y
0
2
5
P
0.75
0.25

P
0.20
0.43
0.37
0.75, ,而,显然
,从而X 与Y 不相互独立.
3.15设二维随机向量的概率分布如下表所示, 求X 和Y 的边缘概率分布.
X\Y
0
2
5
1
0.15
0.25
0.35
3
0.05
0.18
0.02
问取何值时, X 与Y 相互独立?
解：因为 ，
要X和Y相互独立，则
即 ，得
由 ，得
即 ，得
3.16 问习题3.8 和习题3.9 中的X 与Y 是否相互独立？
解：由习题3.8，二维随机向量的概率密度函数为

X的边缘分布密度为，Y的边缘分布密度为
，显然有，X 与Y 相互独立.
由习题3.9,维随机向量的概率密度函数为
,X的边缘分布密度为，Y的边缘分布密度为
,显然有，X 与Y 不独立.
3.17设二维随机向量的概率密度函数为
,问X与Y是否相互独立?
解：因为

对于x>0,y>0，都有 ,所以，X与Y是相互独立的.
3.18 设二维随机向量的分布函数为讨论的独立性.
解：因为

由于

所以，X与Y是相互独立的。
3.19 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量, 并且均服从区间(0, 1) 上的均匀分布, 求X+Y
的概率密度函数.
解：由于X 与Y均服从区间(0, 1) 上的均匀分布，故X 与Y的边缘密度函数分别为：
，
记,由于X 与Y 是两个相互独立的随机变量,根据书中72页（3.7.3）式,的概率密度函数可以写为

当时,若，则；若或，被积函数为0，此时显然有.
当时，若,则，若或，被积函数为0，此时显然有；
的其他情形,显然有=0. 综合起来，有

此题也可以用先求分布函数然后再求导的方法来解,需要注意的一点是, 当时，积分区域要分成两个部分.
3.20 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量, 概率密度函数分别为
求的概率密度函数.
解：记,由于X 与Y 是两个相互独立的随机变量,根据书中72页（3.7.3）式,
的概率密度函数可以写为，于是有
3.21 设二维随机向量的概率密度函数为
求的概率密度函数.
解: 根据书中72页（3.7.1）式,的概率密度函数可以写为

当时,若，
则，
若或，被积函数为0，此时显然有；
当时，若,
则，
若或，被积函数为0，此时显然有；
的其他情形,显然有.综合起来，有

3.22 设随机变量服从参数为的指数分布,并且与相互独立,求的概率密度函数.
解：由于所以分布函数为

由于服从参数为的指数分布，所以分布函数为

与相互独立，故的分布函数为

对分布函数求导以后得的密度函数

3.23 设随机变量,并且与相互独立,求的概率密度函数.
解：由于所以分布函数为

由于，所以分布函数为

与相互独立，故的分布函数为

对分布函数求导以后得的密度函数

3.24 设随机变量相互独立,并且都服从正态分布,求的概率密度函数.
解：由于相互独立,根据P76公式（3.8.4），易知，于是的概率密度函数为：

其中，
3.25 对某种电子装置的输出测量了5 次, 得到观察值.设它们是相互独
立的随机变量, 且有相同的概率密度函数, 求的分布函数.
解：由题意，的分布函数为：

又由于，是相互独立的随机变量, 根据书中77页（3.8.6）式, 的分布函数为：

3.26 设电子元件的寿命X(单位: 小时) 的概率密度函数为
今测试 6 个元件, 并记录下它们各自的失效时间. 求
(1) 到 800 小时时没有一个元件失效的概率;(2) 到 3000 小时时所有元件都失效的概率.
解：电子元件的寿命X(单位: 小时) 的分布函数为：
(1) 一个元件使用到 800 小时时没有一个失效的概率为
=，由于6 个元件显然彼此独立，因此，到 800 小时时没有一个元件失效的概率为