概率论与数理统计习题第一章第三章.doc

1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故；(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数; 解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： (5) 检查两件产品是否合格; 解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用表示最低气温, 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：；(8) 在长为的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：；1.3 设样本空间, 事件=, 具体写出下列各事件：(1); (2) ; (3) ; (4) （1） ； (2) =； (3) =; (4) =1.6 按从小到大次序排列, 并说明理由. 解：由于故，而由加法公式，有：1.7 若W 表示昆虫出现残翅, E 表示有退化性眼睛, 且P(W) = 0.125; P(E) = 0.075, P(WE) = 0.025, 求下列事件的概率：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛;(2) 昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛;(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛.解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：(2) 由于事件可以分解为互斥事件，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件 概率为：(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：.1.8 设A 与B 是两个事件, P(A) = 0.6; P(B) = 0.8。试问：(1) 在什么条件下P(AB) 取到最大值? 最大值是多少?(2) 在什么条件下P(AB) 取到最小值? 最小值是多少?解：(1) 由于，故显然当时P(AB) 取到最大值。 最大值是0.6.(2) 由于。显然当时P(AB) 取到最小值?，最小值是0.4.1.9 设P(A) = 0.2, P(B) = 0.3, P(C) = 0.5, P(AB) = 0, P(AC) = 0.1, P(BC) = 0.2, 求事件 A,B,C 中至少有一个发生的概率.解：因为 P(AB) = 0，故 P(ABC) = 0.至少有一个发生的概率为：1.10 计算下列各题：(1) 设P(A) = 0.5, P(B) = 0.3, P(AB) = 0.6, 求P(AB);(2) 设P(A) = 0.8, P(AB) = 0.4, 求P(AB);(3) 设P(AB) = P(A B); P(A) = 0.3, 求P(B)。解（1） 通过作图，可以知道，（2） 1.11 把3个球随机地放入4个杯子中，求有球最多的杯子中球数是1，2，3 概率各为多少？解：用表示事件“杯中球的最大个数为个” =1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有种，每种放法等可能。对事件：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法432种，故 (选排列：好比3个球在4个位置做排列)。对事件：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种)，故。1.12 掷一颗匀称的骰子两次, 求前后两次出现的点数之和为3; 4; 5 的概率各是多少? 解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。.出现点数和为“3”对应两个基本事件（1，2），（2，1）。故前后两次出现的点数之和为3的概率为。同理可以求得前后两次出现的点数之和为4，5 的概率各是。1.13 在整数中任取三个数, 求下列事件的概率：(1) 三个数中最小的一个是5; (2) 三个数中最大的一个是5.解：从10个数中任取三个数，共有种取法，亦即基本事件总数为120。(1) 若要三个数中最小的一个是5，先要保证取得5，再从大于5的四个数里取两个，取法有种，故所求概率为。(2) (2) 若要三个数中最大的一个是5，先要保证取得5，再从小于5的五个数里取两个，取法有种，故所求概率为。1.14 12只乒乓球中有4 只是白色球, 8 只是黄色球。现从这12 只乒乓球中随机地取出两只, 求下列事件的概率： (1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球.解：分别用表示事件：(1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球.则。1.15 已知，, 求解：由于-，故1.16 已知,。 计算下列二式：(1) （2）解：（1） （2）注意：因为，所以。1.17 一批产品共20 件, 其中有5 件是次品, 其余为正品。现从这20 件产品中不放回地任 意抽取三次, 每次只取一件, 求下列事件的概率：(1) 在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品;(2) 第三次才取到次品;(3) 第三次取到次品.解：用表示事件“第次取到的是正品”（），则表示事件“第次取到的是次品”（）。(1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品”的概率为：。注：也可以按条件概率的含义直接计算，省略中间一步。(2) 事件“第三次才取到次品”的概率为：（3） 事件“第三次取到次品”的概率为：此题要注意区分事件（1）、(2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。用表示事件“第次取到的是正品”（），则事件“在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品”的概率为：；而事件“第二次才取到次品”的概率为：。区别是显然的。1.18 有两批相同的产品, 第一批产品共14 件, 其中有两件为次品, 装在第一个箱中; 第二批有10 件, 其中有一件是次品, 装在第二个箱中。今在第一箱中任意取出两件混入到第二箱中, 然后再从第二箱中任取一件, 求从第二箱中取到的是次品的概率。解：用表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数”。用表示事件“从第二箱中取到的是次品”。则根据全概率公式，有：1.19 一等小麦种子中混有5%的二等种子和3%的三等种子。已知一、二、三等种子将来长出的穗有50 颗以上麦粒的概率分别为50%, 15% 和10%。假设一、二、三等种子的发芽率相同,求用上述的小麦种子播种后, 这批种子所结的穗有50 颗以上麦粒的概率.解：设表示事件“所用小麦种子为等种子”，表示事件“种子所结的穗有50 颗以上麦粒”。则根据全概率公式，有：1.20 设男女两性人口之比为51 : 49, 男性中的5% 是色盲患者, 女性中的2.5% 是色盲患者.今从人群中随机地抽取一人, 恰好是色盲患者, 求此人为男性的概率。解：用表示色盲，表示男性，则表示女性，由已知条件，显然有：因此：根据贝叶斯公式，所求概率为：1.21 根据以往的临床记录, 知道癌症患者对某种试验呈阳性反应的概率为0.95, 非癌症患者因对这试验呈阳性反应的概率为0.01, 被试验者患有癌症的概率为0.005。若某人对试验呈阳性反应, 求此人患有癌症的概率解：用表示对试验呈阳性反应，表示癌症患者，则表示非癌症患者，显然有：因此根据贝叶斯公式，所求概率为：1.22 仓库中有10 箱同一规格的产品, 其中2 箱由甲厂生产, 3 箱由乙厂生产, 5 箱由丙厂生产, 三厂产品的合格率分别为95%; 90% 和96%.(1) 求该批产品的合格率;(2) 从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 问此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率各是多少?解：设，则（1） 根据全概率公式，该批产品的合格率为0.94.（2） 根据贝叶斯公式，同理可以求得，因此，从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为：。1.23 甲、乙、丙三人独立地向同一目标各射击一次, 他们击中目标的概率分别为0.7， 0.8 和0.9，求目标被击中的概率。解：记=目标被击中，则1.24 在四次独立试验中, 事件A 至少发生一次的概率为0.5904, 求在三次独立试验中, 事件A发生一次的概率.解：记=四次独立试验，事件A 至少发生一次，=四次独立试验，事件A 一次也不发生。而，因此。所以三次独立试验中, 事件A 发生一次的概率为：。第三章习题详解：3.1设二维随机向量的分布函数为:求.解：因为 ，所以 3.2 盒中装有3个黑球, 2个白球. 现从中任取4个球, 用X表示取到的黑球的个数, 用Y表示取到的白球的个数, 求(X , Y ) 的概率分布.解：因为X + Y = 4，所以(X,Y)的可能取值为(2,2),(3,1)且 ， ，故(X,Y)的概率分布为XY12200.630.403.3 将一枚均匀的硬币抛掷3次, 用X表示在3次中出现正面的次数, 用Y表示3次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，求(X , Y ) 的概率分布.解：因为，又X的可能取值为0,1,2,3所以(X,Y)的可能取值为(0,3),(1,1), (2,1),(3,3)且 ， ，故(X,Y)的概率分布为XY13001/813/8023/80301/83.4设二维随机向量的概率密度函数为: (1) 确定常数;(2) 求(3) 求,这里是由这三条直线所围成的三角形区域.解：(1)因为由 ，得9a=1，故a=1/9.(2) (3) 3.5 设二维随机向量的概率密度函数为:(1) 求分布函数;(2) 求解：(1) 求分布函数; 当，其他情形，由于=0，显然有=0。综合起来，有(2) 求 3.6 向一个无限平面靶射击, 设命中点的概率密度函数为求命中点与靶心(坐标原点) 的距离不超过a 的概率.解： 3.7设二维随机向量的概率分布如下表所示, 求X 和Y 的边缘概率分布.XY02510.150.250.3530.050.180.02解：因为 所以，X的边缘分布为X13P0.750.25因为 所以，Y的边缘分布为Y025P0.200.430.373.8 设二维随机向量的概率密度函数为求边缘概率密度.解：因为，当时，；其他情形，显然所以，X的边缘分布密度为 又因为，当时，其他情形，显然所以，Y的边缘分布密度为3.9 设二维随机向量的概率密度函数为求边缘概率密度.解，积分区域显然为三角形区域，当时，因此；其他情形，显然所以，X的边缘分布密度为同理，当时，因此其他情形，显然所以，Y的边缘分布密度为3.10 设二维随机向量的概率密度函数为(1)确定常数c的值. (2)求边缘概率密度.解：(1)因为 所以 c = 6.(2) 因为，当时，所以，X的边缘分布密度为 又因为，当时，所以，Y的边缘分布密度为3.11 求习题3.7 中的条件概率分布.解：由T3.7知，X、Y的边缘分布分别是X13Y025P0.750.25P0.200.430.37(1)当X=1时，Y的条件分布为 即 Y025P1/51/37/15(2)当X=3时，Y的条件分布为 即 Y025P1/518/252/25(3)当Y=0时，X的条件分布为 即X13P3/41/4(4)当Y=2时，X的条件分布为 即X13P0.5810.419(5)当Y=5时，X的条件分布为 即X13P0.9460.0543.12 设 X 在区间(0,1) 上随机地取值, 当观察到X = x(0 x 0,y0，都有 ,所以，X与Y是相互独立的.3.18 设二维随机向量的分布函数为讨论的独立性.解：因为 由于 所以，X与Y是相互独立的。3.19 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量, 并且均服从区间(0, 1) 上的均匀分布, 求X+Y的概率密度函数.解：由于X 与Y均服从区间(0, 1) 上的均匀分布，故X 与Y的边缘密度函数分别为：，记,由于X 与Y 是两个相互独立的随机变量,根据书中72页（3.7.3）式,的概率密度函数可以写为当时,若，则；若或，被积函数为0，此时显然有.当时，若,则，若或，被积函数为0，此时显然有；的其他情形,显然有=0. 综合起来，有此题也可以用先求分布函数然后再求导的方法来解,需要注意的一点是, 当时，积分区域要分成两个部分.3.20 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量, 概率密度函数分别为求的概率密度函数.解：记,由于X 与Y 是两个相互独立的随机变量,根据书中72页（3.7.3）式,的概率密度函数可以写为，于是有3.21 设二维随机向量的概率密度函数为求的概率密度函数.解: 根据书中72页（3.7.1）式,的概率密度函数可以写为当时,若，则，若或，被积函数为0，此时显然有；当时，若,则，若或，被积函数为0，此时显然有；的其他情形,显然有.综合起来，有3.22 设随机变量服从参数为的指数分布,并且与相互独立,求的概率密度函数.解：由于所以分布函数为由于服从参数为的指数分布，所以分布函数为 与相互独立，故的分布函数为对分布函数求导以后得的密度函数 3.23 设随机变量,并且与相互独立,求的概率密度函数.解：由于所以分布函数为由于，所以分布函数为 与相互独立，故的分布函数为对分布函数求导以后得的密度函数 3.24 设随机变量相互独立,并且都服从正态分布,求的概率密度函数.解：由于相互独立,根据P76公式（3.8.4），易知，于是的概率密度函数为： 其中，3.25 对某种电子装置的输出测量了5 次, 得到观察值.设它们是相互独立的随机变量, 且有相同的概率密度函数, 求的分布函数.解：由题意，的分布函数为：又由于，是相互独立的随机变量, 根据书中77页（3.8.6）式, 的分布函数为： 3.26 设电子元件的寿命X(单位: 小时) 的概率密度函数为今测试 6 个元件, 并记录下它们各自的失效时间. 求(1) 到 800 小时时没有一个元件失效的概率;(2) 到 3000 小时时所有元件都失效的概率.解：电子元件的寿命X(单位: 小时) 的分布函数为：(1) 一个元件使用到 800 小时时没有一个失效的概率为=，由于6 个元件显然彼此独立，因此，到 800 小时时没有一个元件失效的概率为