《概率论与数理统计》习题及答案--第一章.doc

《概率论与数理统计》习题及答案
第　一　章
1.写出下列随机试验得样本空间及下列事件中得样本点:
(1)掷一颗骰子,记录出现得点数、 ‘出现奇数点’;
(2)将一颗骰子掷两次,记录出现点数、 ‘两次点数之与为10’,‘第一次得点数,比第二次得点数大2’;
(3)一个口袋中有5只外形完全相同得球,编号分别为1,2,3,4,5;从中同时取出3只球,观察其结果,‘球得最小号码为1’;
(4)将两个球,随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去,观察放球情况,‘甲盒中至少有一球’;
(5)记录在一段时间内,通过某桥得汽车流量,‘通过汽车不足5台’,‘通过得汽车不少于3台’。
解 (1)其中‘出现点’,
。
(2)

};
;
。
(3)

(4)
,其中‘’表示空盒;
。
(5)。
2.设就是随机试验得三个事件,试用表示下列事件:
(1)仅发生;
(2)中至少有两个发生;
(3)中不多于两个发生;
(4)中恰有两个发生;
(5)中至多有一个发生。
解 (1)
(2)或;
(3)或;
(4);
(5)或;
3.一个工人生产了三件产品,以表示第件产品就是正品,试用表示下列事件:(1)没有一件产品就是次品;(2)至少有一件产品就是次品;(3)恰有一件产品就是次品;(4)至少有两件产品不就是次品。
解 (1);(2);(3);(4)。
4.在电话号码中任取一个电话号码,求后面四个数字全不相同得概率。
解 设‘任取一电话号码后四个数字全不相同’,则

5.一批晶体管共40只,其中3只就是坏得,今从中任取5只,求
(1)5只全就是好得得概率;
(2)5只中有两只坏得得概率。
解 (1)设‘5只全就是好得’,则
;
(2)设‘5只中有两只坏得’,则
、
6.袋中有编号为1到10得10个球,今从袋中任取3个球,求
(1)3个球得最小号码为5得概率;
(2)3个球得最大号码为5得概率、
解 (1)设‘最小号码为5’,则
;
(2)设‘最大号码为5’,则
、
7.(1)教室里有个学生,求她们得生日都不相同得概率;
(2)房间里有四个人,求至少两个人得生日在同一个月得概率、
解 (1)设‘她们得生日都不相同’,则
;
(2)设‘至少有两个人得生日在同一个月’,则
;
或
、
8.设一个人得生日在星期几就是等可能得,求6个人得生日都集中在一个星期中得某两天,但不就是都在同一天得概率、
解 设‘生日集中在一星期中得某两天,但不在同一天’,则
、 ？？？？为什么
9.将等7个字母随机地排成一行,那么恰好排成英文单词SCIENCE得概率就是多少？
解1 设‘恰好排成SCIENCE’
将7个字母排成一列得一种排法瞧作基本事件,所有得排法:
字母在7个位置中占两个位置,共有种占法,字母在余下得5个位置中占两个位置,共有种占法,字母剩下得3个位置上全排列得方法共3！种,故基本事件总数为,而中得基本事件只有一个,故
;
解2 七个字母中有两个,两个,把七个字母排成一排,称为不尽相异元素得全排列。一般地,设有个元素,其中第一种元素有个,第二种元素有个…,第种元素有个,将这个元素排成一排称为不尽相异元素得全排列。不同得排列总数为
,
对于本题有
、
10.从等个数字中,任意选出不同得三个数字,试求下列事件得概率:‘三个数字中不含0与5’,‘三个数字中不含0或5’,‘三个数字中含0但不含5’、
解 、
,
或
,
、
11.将双大小各不相同得鞋子随机地分成堆,每堆两只,求事件‘每堆各成一双’得概率、
解 双鞋子随机地分成堆属分组问题,不同得分法共‘每堆各成一双’共有种情况,故

12.设事件与互不相容,,求与
解
因为不相容,所以,于就是

13.若且,求、
解
由得

14.设事件及得概率分别为,求及
解

、
15.设,且仅发生一个得概率为0、5,求都发生得概率。
解1 由题意有

,
所以
、
解2 仅发生一个可表示为,故

所以
、
16.设,求与、
解 ,
所以
,
故
;
、
所以

17.设,试证明
[证] 因为,所以

故
、 证毕、
18.对任意三事件,试证
、
[证]
、 证毕、
19.设就是三个事件,且,,求至少有一个发生得概率。
解
因为 ,所以,于就是

20.随机地向半圆(为正常数)内掷一点,点落在园内任何区域得概率与区域得面积成正比,求原点与该点得连线与轴得夹角小于得概率、
解:半圆域如图
0yx
yx
a

x
设‘原点与该点连线与轴夹角小于’
由几何概率得定义

21.把长为得棒任意折成三段,求它们可以构成三角形得概率、
解1 设‘三段可构成三角形’,又三段得长分别为,则,不等式构成平面域、
a
S
发生
A
a/2
不等式确定得子域,所以
a
a/2
0

解2 设三段长分别为,则且
,不等式确定了三维空间上得有界平面域、
x
z
y
A
发生

不等式确定得子域,所以
、
22.随机地取两个正数与,这两个数中得每一个都不超过1,试求与之与不超过1,积不小于0、09得概率、
1y
y
1y
0、9
0、1
0y
A
S
y
解 ,不等式确定平面域、
‘’则发生得
充要条件为不
等式确定了得子域,故

23.(蒲丰投针问题)在平面上画出等距离得一些平行线,向平面上随机地投掷一根长得针,求针与任一平行线相交得概率、
解 设‘针与某平行线相交’,针落在平面上得情况不外乎图中得几种,
设为针得中点到最近得一条平行线得距离。
为针与平行线得夹角,则
ay
ay
,不等式确定了平面上

xy
0y
A
S

得一个区域、
发生,不等式确定得子域
故