《概率论与数理统计》习题及答案--第一章.doc

概率论与数理统计习题及答案第一章 1.写出下列随机试验得样本空间及下列事件中得样本点: (1)掷一颗骰子,记录出现得点数、 出现奇数点; (2)将一颗骰子掷两次,记录出现点数、 两次点数之与为10,第一次得点数,比第二次得点数大2; (3)一个口袋中有5只外形完全相同得球,编号分别为1,2,3,4,5;从中同时取出3只球,观察其结果,球得最小号码为1; (4)将两个球,随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去,观察放球情况,甲盒中至少有一球; (5)记录在一段时间内,通过某桥得汽车流量,通过汽车不足5台,通过得汽车不少于3台。 解 (1)其中出现点, 。 (2) ; ; 。 (3) (4) ,其中表示空盒; 。 (5)。 2.设就是随机试验得三个事件,试用表示下列事件: (1)仅发生; (2)中至少有两个发生; (3)中不多于两个发生; (4)中恰有两个发生; (5)中至多有一个发生。 解 (1) (2)或; (3)或; (4); (5)或; 3.一个工人生产了三件产品,以表示第件产品就是正品,试用表示下列事件:(1)没有一件产品就是次品;(2)至少有一件产品就是次品;(3)恰有一件产品就是次品;(4)至少有两件产品不就是次品。 解 (1);(2);(3);(4)。 4.在电话号码中任取一个电话号码,求后面四个数字全不相同得概率。 解 设任取一电话号码后四个数字全不相同,则 5.一批晶体管共40只,其中3只就是坏得,今从中任取5只,求 (1)5只全就是好得得概率; (2)5只中有两只坏得得概率。 解 (1)设5只全就是好得,则 ; (2)设5只中有两只坏得,则 、 6.袋中有编号为1到10得10个球,今从袋中任取3个球,求 (1)3个球得最小号码为5得概率; (2)3个球得最大号码为5得概率、 解 (1)设最小号码为5,则 ; (2)设最大号码为5,则 、 7.(1)教室里有个学生,求她们得生日都不相同得概率; (2)房间里有四个人,求至少两个人得生日在同一个月得概率、 解 (1)设她们得生日都不相同,则 ; (2)设至少有两个人得生日在同一个月,则 ;或 、 8.设一个人得生日在星期几就是等可能得,求6个人得生日都集中在一个星期中得某两天,但不就是都在同一天得概率、 解 设生日集中在一星期中得某两天,但不在同一天,则 、 ？为什么 9.将等7个字母随机地排成一行,那么恰好排成英文单词SCIENCE得概率就是多少？ 解1 设恰好排成SCIENCE 将7个字母排成一列得一种排法瞧作基本事件,所有得排法: 字母在7个位置中占两个位置,共有种占法,字母在余下得5个位置中占两个位置,共有种占法,字母剩下得3个位置上全排列得方法共3！种,故基本事件总数为,而中得基本事件只有一个,故; 解2 七个字母中有两个,两个,把七个字母排成一排,称为不尽相异元素得全排列。一般地,设有个元素,其中第一种元素有个,第二种元素有个,第种元素有个,将这个元素排成一排称为不尽相异元素得全排列。不同得排列总数为, 对于本题有、 10.从等个数字中,任意选出不同得三个数字,试求下列事件得概率:三个数字中不含0与5,三个数字中不含0或5,三个数字中含0但不含5、 解 、 ,或 , 、 11.将双大小各不相同得鞋子随机地分成堆,每堆两只,求事件每堆各成一双得概率、 解 双鞋子随机地分成堆属分组问题,不同得分法共每堆各成一双共有种情况,故 12.设事件与互不相容,求与 解 因为不相容,所以,于就是 13.若且,求、 解 由得 14.设事件及得概率分别为,求及 解 、 15.设,且仅发生一个得概率为0、5,求都发生得概率。 解1 由题意有 ,所以 、 解2 仅发生一个可表示为,故 所以 、 16.设,求与、 解 ,所以 ,故 ; 、所以 17.设,试证明 证 因为,所以故 、 证毕、 18.对任意三事件,试证、 证 、 证毕、 19.设就是三个事件,且,求至少有一个发生得概率。 解 因为 ,所以,于就是 20.随机地向半圆(为正常数)内掷一点,点落在园内任何区域得概率与区域得面积成正比,求原点与该点得连线与轴得夹角小于得概率、 解:半圆域如图0yxyxax 设原点与该点连线与轴夹角小于 由几何概率得定义 21.把长为得棒任意折成三段,求它们可以构成三角形得概率、 解1 设三段可构成三角形,又三段得长分别为,则,不等式构成平面域、aS 发生Aa/2 不等式确定得子域,所以aa/20 解2 设三段长分别为,则且 ,不等式确定了三维空间上得有界平面域、xzyA 发生 不等式确定得子域,所以 、 22.随机地取两个正数与,这两个数中得每一个都不超过1,试求与之与不超过1,积不小于0、09得概率、1yy1y0、90、10yASy 解 ,不等式确定平面域、 则发生得 充要条件为不 等式确定了得子域,故 23.(蒲丰投针问题)在平面上画出等距离得一些平行线,向平面上随机地投掷一根长得针,求针与任一平行线相交得概率、 解 设针与某平行线相交,针落在平面上得情况不外乎图中得几种, 设为针得中点到最近得一条平行线得距离。 为针与平行线得夹角,则ayay ,不等式确定了平面上xy0yAS 得一个区域、 发生,不等式确定得子域 故