1、习题三 多维随机变量及其分布A组一、填空题二、单项选择题10设X，Y是相互独立的随机变量，其分布函数分别为，则的分布函数是。（A）； （B）；（C）； （D）。注： 11设X是Y是两个随机变量，且，则。（A）； （B）； （C）； （D）。注： B组1一个袋中装有8个球，其中5个红，3个白球，现从中随机抽取两次，每次取一球，考虑两种抽取方法：（1）不放回取样；（2）放回取样。今定义随机变量X，Y如下： ， 。就（1），（2）两种情况，写出X与Y的联合分布律，边缘分布律，并判断X与Y是否独立。解 （1）由古典概型可知 ，故X与Y的联合分布律，边缘分布律如下表：X Y 0 101 6/56 15/
2、56 15/56 20/563/85/8 3/8 5/8因为，因此X与Y不相互独立。（2）由古典概型可知，故X与Y的联合分布律，边缘分布律如下表：X Y 0 101 9/64 15/64 15/64 25/643/85/8 3/8 5/8因为对任意的，有，因此X与Y相互独立。2一个口袋中有四个球，它们依次标有1，2，2，3。今从袋中任取一球后，不放回，再从袋中取第二球，以X、Y分别记第一、二次取得的球上标有的数字。求：（1）（X，Y）的联合分布律；（2）。解 （1）由古典概型可知 ，故X与Y的联合分布律为：X Y 1 2 3123 0 1/6 1/12 1/6 1/6 1/6 1/12 1/6
3、 0（2） 3两封信随机地投入编号为10、11的两个信箱内，用X与Y分别表示第一封信和第二封信投入的信箱号码，求（X，Y）的联合分布律与联合分布函数。解（X，Y）所有可能取的有序数组为（10，10）、（10，11）、（11，10）及（11，11）。由古典概型可得故（X，Y）的联合分布律为 Y X 10 111011 1/4 1/4 1/4 1/4 其联合分布函数为：当时，当时，当时， 当时， 当时，4同时掷两枚硬币和两颗骰子，用和分别表示出现国徽的硬币数和出现点6的骰子数，试求的联合分布律和边缘分布律及边缘分布律。解 、所有可能取的数值均为0、1、2，掷硬币和掷骰子是相互独立的，因此由贝努里试
4、验概型可得类似地可求得 ，故的联合分布律为X1 X2 0 1 2012 25/144 10/144 1/144 50/144 20/144 2/14425/144 10/144 1/144由的联合分布律可得的边缘分布律:X1 0 1 2 及的边缘分布律：X2 0 1 2 5一袋色球，其中有三个白球，两个红球和三个黑球，现从中随机任取4球。设X为白球数，Y为红球数，求：（1）（X，Y）的联合分布律；（2）。解 X的所有可能的取值为0、1、2、3，Y的所有可能的取值为0、1、2。由古典概型可得，故（X，Y）的联合分布律为X Y 0 1 2 0123 0 2/70 3/70 3/70 18/70 9
5、/70 9/70 18/70 3/703/70 2/70 0而 6盒内5个晶体管，其中2个次品，3个正品。每次取出一个进行检验，直到所有的次品都被检验出为止。用表示直到查出第一个次品所需检验的次数，用表示在查出第一个次品后到查出第二个次品所需检验次数，求的联合分布律。解 、所有可能取的数值均为1、2、3、4，由乘法公式可得，注意：关于的解释：表明查出第一个次品时，已有两个正品和一个次品通过检验，这时还剩下一个正品和一个次品，它们的排列数为，而符合的排列数只有一个，故。，故的联合分布律为X1 X2 1 2 3 41234 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 1/10 01
6、/10 1/10 0 01/10 0 0 07二维随机变量的联合概率密度为，求：（1）常数；（2）与的边缘概率密度，并判别与是否相互独立；（3）求，其中区域。解 由已知的概率密度可求得再由概率密度具有的性质：，得 ，即 的边缘概率密度为 因为当或时，有 而当时，所以 的边缘概率密度为 因为当时，有 而当时，所以 容易验证 ，故与是相互独立的。而8若的联合概率密度为求：（1）常数；（2）的联合分布函数；（3）求。解 由已知的概率密度可求得再由概率密度具有的性质：，得 ，即 当或时，有 当时， 所以 9随机变量的联合概率密度为，求：（1）常数；（2），其中区域。解 由已知的概率密度可求得 再由概率
7、密度具有的性质：，得 ，即 10随机变量服从B上的均匀分布，其中B为轴，轴以及直线所围成的三角形区域。求联合概率密度及两个边缘概率密度。解 由已知，三角形区域，故其面积 ，于是的联合概率密度 的边缘概率密度为 因为当或时，有 而当时，所以 的边缘概率密度为 因为当或时，有 而当时，所以 11设随机变量的联合分布函数为，求：（1）常数；（2）的联合概率密度；（3）与的边缘概率密度，并判别与是否相互独立。解 由已知的分布函数可求得所以有 （1）又因为 又有 （2）联立式（1）和式（2），即得，的联合概率密度为 的边缘概率密度为 的边缘概率密度为 容易验证 ，故与是相互独立的。12设随机变量的联合概
8、率密度为，求，的边缘概率密度，并说明与是否相互独立。解 的边缘概率密度为 因为当时，有 而当时，所以 的边缘概率密度为 因为当时，有 而当时，所以 容易验证 ，故与是相互独立的。13设随机变量与相互独立，其概率密度分别为，求随机变量的概率密度。解 因为与相互独立，故的联合概率密度为为求的概率密度，先求其分布函数：，设，有若，则在区域内，有或，于是，从而；若，则故，所以随机变量的概率密度 14若随机变量与相互独立，其概率密度分别为，求随机变量的概率密度。解 因为与相互独立，故的联合概率密度为为求的概率密度，先求其分布函数：，设，有若，则在区域内，有或，于是，从而；若，则若，则故，所以随机变量的概
9、率密度 15设随机变量与相互独立，且，服从上的均匀分布，求随机变量的概率密度。解 据已知,有， 因为与相互独立，故的联合概率密度为为求的概率密度，先求其分布函数：，设，有由于区域 ，其中 ， 所以所以随机变量的概率密度注意：18设，是相互独立的随机变量，且它们都服从参数为的泊松分布，求证服从参数为的泊松分布。解 据已知，的分部律分别为，于是即服从参数为的泊松分布。19设，是相互独立的随机变量，且它们都服从参数为的二项分布，求证服从参数为的二项分布。证明 据已知，的分部律分别为，于是即服从参数为的二项分布。注意：，这是因为从两个各装件事物的盒子中，任取件事物的组合数既可表示为，也可表示为。20设
10、随机变量相互独立，且服从同分布，求随机变量的分布律。解 因为相互独立，故可得、的联合分布律分别为：X1 X4 0 1 01 0.36 0.24 0.24 0.16 和X2 X3 0 1 01 0.36 0.24 0.24 0.16 于是、的分布律分别为：X1 X4 0 1 0.84 0.16 和X2 X3 0 1 0.84 0.16 设，则、相互独立，且的联合分布律为Z1 Z2 0 1 01 从而的分布律为X 0 1 + 22设随机变量独立同分布，其分布律为 2 3 1/3 1/3 1/3又设，试写出二维随机变量的联合分布律。解 由已知可得的联合分布律： 1 2 3123 1/9 1/9 1/
11、91/9 1/9 1/9 1/9 1/9 1/9于是 所以的联合分布律： 1 2 3123 1/9 0 02/9 1/9 0 2/9 2/9 1/923设一电路三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为的指数分布。当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作。试求电路正常工作的时间的分布函数。解 设、分别为三个元件的寿命（无故障工作的时间），则，依题设的概率密度为 而相应的分布函数为（当时，有）因为、相互独立，当时，有所以的分布函数为24假设随机变量服从参数为的指数分布，随机变量若，求的联合分布率和边缘分布率。解 据已知,有且 于是 故的联合分布律为X1 X2 0 1 01 0 而、的边缘分布律分别为：X1 0 1 和X2 0 1 25设随机变量与相互独立，求的分布函数与概率密度。解 据已知,有，因为与相互独立，故的联合概率密度为为求的概率密度，先求其分布函数：，设有当时，当时， 所以分布函数为 而概率密度为 26两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间都服从参数为5的指数分布；首先开动其中一台，当其发生故障工作时停用而另一台自动开动。试求两台记录仪无故障工作的总时间的概率密度。 解 设、分别为两台记录仪无故障工作的时间，则，依题设有，因为与相互独立，当时，利用卷积公式，有 所以的概率密度 55
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