概率论与数理统计第一章课后习题详解宗旭平版.doc

第一章 随机事件与概率课后习题详解
习题1-1（P7）
1．解：（1）A1∪A2=“前两次至少有一次击中目标”;
（2）=“第二次未击中目标”;
（3）A1A2A3=“前三次均击中目标”;
（4）A1A2A3=“前三次射击中至少有一次击中目标”;
（5）A3-A2=“第三次击中但第二次未击中”;
（6）A3=“第三次击中但第二次未击中”;
（7）=“前两次均未击中”;
（8）=“前两次均未击中”;
（9）(A1A2)(A2A3)(A3A1)=“三次射击中至少有两次击中目标”.

3.解： (1)
(2)
(3) ABC
(4) ABC
(5)
(6)
(7)
(8) (AB)(AC)(BC)

4.解： (1)A=BC
(2)=

习题1-2（P11）
5.解：设A=“从中任取两只球为颜色不同的球”,则:

6．解：记A=“从中任取三件全为次品”，样本点总数为，A包含的样本点数为，所以
P(A)= = 1/4900

7.解： (1)组成实验的样本点总数为,组成事件(1)所包含的样本点数为 ,所以P1= 0.2022
(2)组成事件(2)所包含的样本点数为,所以P2=0.0001
(3)组成事件(3)所包含的样本点数为，所以P3=0.7864
(4)事件（4）的对立事件，即事件A=“三件全为正品”所包含的样本点数为，所以P4=1-P(A)=1-0.2136
(5)组成事件(5)所包含的样本点数为，所以
P5= 0.01134

8.解：（1）P（A）=
(2)因为不含1和10，所以只有2-9八个数字，所以
P(B)=
(3)即选择的7个数字中10出现2次，即，其他9个数字出现5次，即，所以
P(C)=
(4) 解法1：10可以出现2，3，…,7次，所以

解法2：其对立事件为10出现1次或0次，则P(D)=
(5)因为最大为7，最小为2，且2和7只出现一次，所以3，4，5，6这四个数要出现5次，即样本点数为，所以P(E)=

习题1-3（P14）
9.证明：∵A,B同时发生必导致C发生
∴ABC，即P(C)≥P(AB)
∵P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
∴P(AB)= P(A)+P(B)- P(A∪B)
∵P(A∪B)≤1
∴P(AB)≥P(A)+P(B)-1
∴P(C) ≥P(A)+P(B)-1
上述得证。
10.证明：
因为P(A(—)B(—)) = P(A(——)U(——)B(——)) = 1 – P(AB) = 1 – P(A) – P(B) +P(AB)
因为P(A) = P(B) =1/2
所以P(A(—)B(—)) = 1 – 1/2 – 1/2 + P(AB)
所以P(A(—)B(—)) = P(AB)
11.解：记“订日报的住户”为P(A)，“订晚报的住户”为P(B)，
根据题意，易知：P(AB)=70%
则P(AB)=P(A)+P(B)- P(AB)=40%+65%-70%=35%
答：同时订两种报纸的住户有35%。

13.解：解法1：
设=“取出的两只球中有黑球”；=“取出的两只球中有i只黑球”（i=1,2）；
因为A1,A2互不相容，所以
；
解法2：
设=“取出的两只球中有黑球”
习题1-4（P20）

15.解：因为A、B互不相容，即AB=，
所以，
所以P(AB(—))=P(A)
所以P(A/B(—))=P(AB(—))/P(B(—))==0.3/(1-0.5)=0.6
16.解：P(B|AB(—)) =P(AB)/P(AB(—))
因为P(A)=1-P()=1-0.3=0.7，
所以P(AB(—))=P(A-AB)=P(A)-P(AB)=0.7- P(AB)=0.5
即P(AB)=0.2
又因为P(AB(—)) = P(A) + P(B(—)) - P(AB(—)) =0.7+1-0.4-0.5= 0.8
所以P(B| AB(—)) = P(AB)/P(AB(—)) =0.25
17.解：设“第三次才取到正品”为事件A，则
因为要第三次才取到正品，所以前两次要取到次品。
第一次取到次品的概率为，
第二次取到次品的概率为，
第三次取到正品的概率为。

即第三次才取到正品的概率为0.0083。
18.解法1：
设 A，B，C 分别为“第一，第二，第三个人译出”的事件，则：
P(A)=1/5 P(B)=1/3 P(C)=1/4
因为三个事件独立，
所以P(AB)=P(A)P(B)=1/15, P(AC)=P(A)P(C)=1/20 ,
P(BC)=P(B)P(C)=1/12, P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=1/60,
所以P()=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)=3/5
解法2：
设A=“至少有一人能译出”，则=“三个人均不能译出”，所以

19.解：设P(A),P(B),P(C)分别为第一，二，三道工序不出废品的概率,
则，第一二三道工序均不出废品的概率为P(ABC),
因为各工序是否出废品是独立的,
所以P(ABC)= P(A)P(B)P(C)
=0.90.950.8
=0.684
20.解：根据题意: 该题为伯努利事件。
n=9,p=0.7,k=5,6,7,8,9
所求事件概率为
P=b(5,9,0.7)+b(6,9,0.7)+b(7,9,0.7)+b(8,9,0.7)+b(9,9,0.7)=0.901

21.解：该题为伯努利事件。
（1）设事件A=“恰有2个设备被使用”，则：
P(A) = b(2; 5, 0.1) =0.12 (1- 0.1)5-2 = 0.0729
（2）设事件B=“至少有一个设备被使用”,
则B(—) =“没有一个设备被使用”,所以
P(B) = 1- P(B(—)) = 1 - b(0; 5, 0.1) = 1 – 0.10(1-0.1)5-0 = 0.40951
习题1-5（P24）
22.解：该题为全概率事件。
设=“从甲袋中取出两球中有i只黑球”,i=0,1,2，
B=“从乙袋中取出2球为白球”，则：

答：再从乙袋中取出两球为白球的概率为。

23.解：该题为全概率事件。
设=“敌舰被击中i弹”,（i=0,1,2,3），
B=“敌舰被击沉”，则：
根据题意P()=0.6×0.5×0.3=0.09
P ()=0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7=0.36
P()=0.4×0.5×0.3+0.5×0.7×0.6+0.4×0.7×0.5=0.41
P()=0.4×0.5×0.6=0.14
P(B∣)=0, P(B∣)=0.2, P(B∣)=0.6, P(B∣)=1
根据全概率公式有
即敌舰被击中的概率为0.458.
24.解：设A1为“从2500米处射击”，A2为“从2000米处射击”，A3为“从1500米处射击”，B为“击中目标”，
由题知P(A1)=0.1,P(A2)=0.7,P(A3)=0.2
P(B| A1)=0.05, P(B| A2)=0.1, P(B| A3)=0.2
所以
所以，由2500米处的大炮击中的概率为
P(A1| B)=P(B| A1)P(A1)/ P(B)=0.005/0.115=0.0435
25.解：设事件A1为“原发信息是A”，事件A2为“原发信息是B”,
B为事件“接收到的信息为A”，则：

复习题1（P24）
26.解：（1）设在n个指定的盒子里各有一个球的概率为P(A)，
在n个指定的盒子里各有一个球的概率：第一个盒子里有n个球可以放入，即有n种放法，第二个盒子里有n-1种放法……那么事件A的样本点数就是n！，样本点总数是Nn   ，所以  
P(A)= 
(2) 设n个球落入任意的n个盒子里中的概率为P(B),因为是N个盒子中任意的n个盒子，所以样本点数为,所以

27.解：设A=“该班级没有两人生日相同”，则:

28.解：(1)因为最小号码是5，所以剩下的两个数必须从6，7，8，9，10五个数中取，所以样本点数为，样本点总数为，
所以
(2) 因为最大号码是5，所以剩下的两个数必须从1，2，3，4五个数中取，所以样本点数为，样本点总数为， 所以
(3) 因为最小号码小于3，所以
若最小号码为1，则剩下的两个数必须从2-10九个数中取，所以样本点数为，样本点总数为；
若最小号码为2，则剩下的两个数必须从3-10八个数中取，所以样本点数为，样本点总数为，
所以
29.解：（1） 设“恰好第三次打开门”为事件A，则

（2） 设A=“三次内打开门”，A1=“第一次打开”，A2=“第二次打开”，A3=“第三次打开”，则：

30.解：设A=“已有一个女孩”,B=“至少有一个男孩”,则
P(B/A)=P(AB)/P(A)=(6/8)/(7/8)=6/7
31.解：设A1=“取一件为合格品”， A2=“取一件为废品”，B=“任取一件为一等品”，则

32.解：
甲获胜 乙获胜
第一局： 0.2 0.80.3 第二局： 0.80.70.2 0.80.70.80.3
第四局： …… ……

所以获胜的概率P1为：

所以乙获胜的概率P2为：

因为P1+ P2=1, ，所以：
, .

33.解：设事件A0为“笔是从甲盒中取得的”，事件A1为“笔是从乙盒中取得的”，事件A2为“笔是从丙盒中取得的”；事件B为“取得红笔”，则:

34.解：Ai为三个产品中不合格的产品数（i=0，1，2，3），A0、A1、A2、A3构成完备事件组，B为“能出厂”，则：
，
P（B/A0）=（0.99）3，P（B/A1）=（0.99）20.05，
P（B/A2）=（0.99）（0.05）2，P（B/A3）=（0.05）3
P（B）＝P（B/A0）P（A0）＋P（B/A1）P(A1)＋P（B/A2）P(A2)＋P（B/A3）P（A3）＝0.8629

35. 解:图a： 设A为“系统正常工作”，A为“第一条线路不发生故障”，A为“第二条线路不发生故障”，则:
P（A1）=P(A2)=P，P(AA)= P(A) P(A)=p6
P（A）=P(AA)=P(A)+P(A)-P(AA)=2p-p
图b :设B为“系统正常工作”，B1为“1正常工作”，B2为“2正常工作”，B3为“3.正常工作”，则：
P(B1)=P(B2)=P(B3) =2p-p
P(B)= P(B1B2B3)=P(B1)P(B2)P(B3)=(2p-p)=8p-12p+6p-p
P(B)-P(A)=6p-12p+6p(p=0.9)>0
B系统正常工作的概率大。

36.解：设事件A为计算机停止工作，则为计算机正常工作，则：
P()=（1-0.0005）2000=0.99952000
P(A)=1-P（）=1-0.99952000 =0.6322