概率论与数理统计第一章补充题与答案.doc

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概率论与数理统计补充习题

第一章 随机事件与概率
一、思考题
1、概率研究的对象是什么？
2、随机现象是否就是没有规律的现象？随机现象的特点是什么？
3、概率是刻画什么的指标？
4、概率的公理化定义的意义是什么？
5、第一章的主要内容是什么？
二、填空题
1、填出下列事件的关系
（1）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中恰有一件是废品”为 .
（2）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中至少有一件是废品” 为 .
（3）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中至多有一件是废品” 为 .
2、某人用步枪射击目标5次，=（第i次击中目标 ），=（5次射击中击中目标i次）（i=0，1，2，3，4，5），用文字叙述下列事件，并指出各对事件之间的关系.
（1）、为 .
为 .
与的关系为 .
（2）、为 .
为 .
与的关系为 .
（3）、与的关系为 .
（4）、与的关系为 .
三、选择题
1、下列各式中正确的有（ ）.
（A）、A∪B =（A-AB）∪B （B）、若A∪C=B∪C则A=B
（C）、若P（A）≥P（B）则AB
2、若事件A和B互斥，且P（A）≠0，P（B）≠0，则（ ）.
（A）、和互斥 （B）、和不互斥
（C）、P（A-B）=P（A） （D）、P（A-B）=P（A）-P（B）
3、若当事件A和B同时发生时，事件C必发生，则（ ）.
（A）、P（C）≤P（A）+P（B）-1 （B）、P（C）≥P（A）+P（B）-1
（C）、P（C）=P（AB） （D）、P（C）=P（A+B）
4、设0<P(A)<1，0<P(B)<1，P(A|B)=1-P(|)，则事件A和B（ ）.
（A）、互斥 （B）、对立 （C）、独立 （D）、不独立
5、设0<P(B)<1，P[(A1∪A2)|B]=P(A1|B)+P(A2|B)，则（ ）.
（A）、P[(A1∪A2)|]=P(A1|)+P(A2|) （B）、P(A1B∪A2B)=P(A1B)+P(A2B)
（C）、P(A1∪A2)=P(A1|B)+P(A2|B) （D）、P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)
6、设事件A和B满足P（B|A）=1，则（ ）.
（A）、AB （B）、AB （C）、P（B|）=0 （D）、P（AB）=P（A）
7、对于任意二事件A和B，则（ ）.
（A）、若，则A、B一定独立 （B）、若，则A、B有可能独立
（C）、若，则A、B一定独立 （D）、若，则A、B一定不独立
8、将一枚硬币独立的掷两次，引进事件如下：
{第一次出现正面} {第二次出现正面}
{正反各出现一次} {正面出现两次} 则事件（ ）.
（A）、、、相互独立 （B）、 、、相互独立
（C）、、、两两独立 （D）、 、、两两独立
四、计算题
1、P(A)=0.5，P(B)=0.3
（1）、若BA，求P(∪)、P(A|∪)
（2）、若A、B互斥，求P()
（3）、若A与B互相独立，求P(A-B)、P(A-B|)

2、设事件A和B相互独立，P(A)=0.5，P(A∪B)=0.8，
计算：（1）、P(A) （2）、P(∪).

3、P(A)=0.4，P(∪B)=0.8，求P(|A).

4、设10件产品中有4件是次品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是次品，求另一件是合格品的概率.

5、甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.65，现已知目标被命中，求甲命中目标的概率.

6、把4个球随机放入4个盒子中，求空盒子数分别为0，1，2，3的概率.

7、甲、乙、丙分别有球为甲：3白2红、乙：全红、丙：红白各半，三人各随意拿出一球，然后甲从取出的球中随意取回一个，求甲的红球数增加的概率.

8、在所有五位随机整数中（含以0开头的数字），任取一个整数，求下列事件的概率.
（1）、恰有一个数字出现两次；
（2）、最大的数字为6；
（3）、五个数字恰好严格单增.

9、从1，2，…，9这9个数字中，有放回地取三次，每次取一个，求下列事件的概率：
（1）、A1：3个数字全不同；
（2）、A2：3个数字没有偶数；
（3）、A3：3个数字中最大数字为6；
（4）、A4：3个数字形成一个单调（严格）数列；
（5）、A5：3个数字之乘积能被10整除.

10、每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收.假设由于检验有误，一件正品被误检为次品的概率为2%，而一件次品被误检为正品的概率为5%.求一箱产品通过验收的概率.

11、一个枪室里有10支枪，其中6支经过校正，命中率可达0.8，另外4支尚未校正，命中率仅为0.5.
（1）、从枪室里任取一支枪，独立射击三次.求三次均命中目标的概率；
（2）、从枪室里任取一支枪，射击一次，然后放回，如此连续三次，结果三次均命中目标，求取出的三支枪中有二支是校正过的概率.

12.、设有来自三个地区的各10名，15名和25名的报名表.其中女生的报名表分别为3份，7份和5份.随机的取一个地区的报名表，从中先后抽出两份, 抽到哪个地区的报名表的可能性相等.
求：（1）、先抽到的一份是女生表的概率p .
（2）、已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q .

第一章 补充习题答案
一、思考
1、答：随机现象的统计规律性.
2、答：不然.随机现象具有不确定性，即试验之前不能确定哪一个事件发生.随机现象也具有确定性，即在相同条件下，随着试验的次数增多，事件A发生的频率越来越接近一个常数p，随机现象的这一性质，称为频率稳定性，也称统计规律性. 正是随机现象这一确定性，说明了一次试验时随机事件A发生的可能性大小——概率，是一定值.因此才有《概率论》.
3、答：概率是测度随机事件发生的可能性大小的指标.
4、答：其给出了一个指标是否有资格作为概率的评价标准.
5、答：第一章首先给出了描述随机现象结果的术语：随机事件，介绍随机事件的关系与运算，使得复杂事件可以通过简单事件来描述，并为概率计算提供方便.
给出了概率定义以及概率的基本关系式（性质、条件概率、乘法公式、全概与逆概公式），为概率计算打下基础.
介绍了古典概型.其本身具有应用价值，也为掌握事件关系与练习概率计算搭了舞台.
二、填空
1、（1）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中恰有一件是废品”为 互斥 .
（2）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中至少有一件是废品” 为 对立 .
（3）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中至多有一件是废品” 为 后者包含前者 .
2、（1）、为 至少击中一次 .为至少击中一次 .与的关系为 相等 .
（2）、为 后四次中至少击中一次 . 为 至少击中两次 .
与的关系为 不相等 .
（3）、与的关系为 没有必然联系 .
（4）、与的关系为 互斥 .
三、选择题
1、（A）
2、（C）证明
反例：
（B） 即B= A=，A、B互斥、与仍互斥.
（A） 与非互斥
（D）P（B）≠0，显然不成立.
3、（B）证明 ， P(AB)≤P(C)
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)≤1; P(AB)≥P(A)+P(B)-1，所以P(C)≥P(A)+P(B)-1。
4、（C）证明 P(A|B)=1-P(|)=P(A|)∴A、B相互独立（注：此结论课上证过）.
5、（B）证明 P[(A1+A2)|B]=P(A1|B)+P(A2|B)
又 P[(A1+A2)|B]= P(A1|B)+P(A2|B)-P(A1A2|B)
P(A1A2|B)=0，P(A1A2B)=0
所以 P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)-P(A1A2B)=P(A1B)+P(A2B)
反例 设几何概型，
1
3
5
2
4
6
1
2
4
3
4
3
5

S = A 1= A2 = B =

可分析（A）、（C）（D）均不成立.
6、（D）证明 由 ，所以 P（AB）=P（A）。
反例
A为阴影区域及点C，则A不包含B，B也不包含A，
又P（B|）≠0，有P（B|A）=1（注：几何概型中P（C）=0，一点面积为0）
7、（B）
（A） 反例 古典概型 S＝{1，2，3} A＝{1，2} B={2,3} AB={2}≠Ф P(AB)=1/3 P(A)=P(B)=2/3 P(A)P(B)=4/9 显然A,B不独立.
(B) A,B互斥否与A,B独立否没有必然联系，所以“有可能”是对的.
（C） 有结论 当P(A)≠0, P(B)≠0 又AB＝Ф 则A,B一定不独立.
(D) 当A=Ф 则AB=Ф 而A,B相互独立.
8、（C）
独立是用概率定义的，故应找到事件的概率
P(A1)=1/2 P(A2)=1/2
P(A3)=1/2 (古典数样本是 S={正正，正反，反正，反反} 2/4)
P(A4)=1/4 P(A1A2)=1/4 P(A1A3)=1/4 P(A2A3)=1/4
若是单选，此题已经得出了结果. A1,A2,A3两两相互独立 选（C）
P(A1A2A3)=0 显然非A1,A2,A3相互独立
P(A2A3)=1/4 P(A2A4)=1/4 P(A3A4)=0
则A2,A3,A4 非两两相互独立 也非相互独立
四、计算题
1、 （1）、
（2）、
（3）、0.35，
2、 ∵
∴P（B）=0.6

3、 ∴P（AB）=0.8-0.6=0.2

4、设A=（至少有一件次品） B=（至少有一件合格品）
，
.
5、A =（甲命中） B =（乙命中），
6、设X为空盒数 n：44

P{X=2}=1-P{X=0}-P{X=1}-P{X=3}
7、设A1,2,3分别为甲、乙、丙取出红球，B为甲取回红球

8、（1）P（恰有一个数字出现两次）=
（2）P（最大数字为6）=
（3）P（五个数字恰好严格递增）=
9、

（注 分子各项含义: 1：三个6，5×3：为2个6，52×3：为1个6）
方法1

（注：42×3：为两个偶数; ：为一个偶数，一个5以外的奇数;
：为两个5一个偶数.）
方法2

设A =（取到5） B =（取到偶数）

10、设Ai=（抽到有i件次品的箱）B=（抽到正品） C=（验收）

（注：其余同理）
11、（1）设A =（三次均命中） B=（取到校正过的枪）

（2）设A =（三次命中） Bi=（取到i只经过校对的枪）i=0,1,2,3

=0.008+0.0576+0.13824+0.1106 =0.3144
P()===0.4397
12、设A1,A2,A3分别为抽到三个地区的报名表
B1,B2分别为第1，2次抽到的女生表
（1） P=P(B1)=P(A1B1∪A2B1∪A3B1)=
=1/3·3/10+1/3·7/15＋1/3·5/25=29/90
（2） Q=P(B1|)== =20/61
方法1 P()=P()=2/9+41/90=61/90
P()=P()
=1/3·3/10·7/9·+1/3·7/15·8/14+1/3·5/25·20/24
=7/90+4/45+1/18=(7+8+5)/90=2/9
P
=1/3(7/10·6/9+8/15·7/14+20/25·19/24)
=1/3(7/15+4/15+19/30)=61/90
方法 2 ∵
注意：这一步的注解很关键.即 抓阄合理
∴
∵，

∴
∴。注：两种方法关键再求 上，方法2简单
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