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数理统计复习题第一章.doc

1、第一章概率论基础例1 写出下列随机试验的样本空间:(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(百分制记分);(2)同时掷两颗骰子,记录两颗骰子的点数之和;(3)10只产品中有3只是次品,每次从其中取1只,取后不放回,直到3只次品都取出为止,记录抽取的次数;(4)生产的产品直到得到5件正品为止,记录生产产品的总件数;(5)测量一汽车通过某定点的速度;(6)在单位圆内任意取一点,记录它的坐标解 (1)设该小班人数为,则所求样本空间(2) 两颗骰子点数之和最小为2,最大为12,故所求样本空间(3)将3只次品都取出,至少要抽取3次,而最多抽取10次即可,故所求样本空间(4)最理想的情形是开始生产的5件产

2、品都是正品,故所求样本空间(5)若不考虑汽车的运动方向,则所求样本空间若考虑汽车的运动方向,表示该运动方向与正东方向之间的夹角,则所求样本空间(6)设点的坐标为,则所求样本空间例2 设是样本空间中的三个随机事件,用事件的运算式子表示下列各随机事件(1)三个事件恰有两个发生;(2)三个事件至少发生一个;(3)三个事件中至少发生两个;(4)与发生,不发生;(5),都不发生;(6),,至多发生一个; 解 (1) (2) (3) (4) 或 (5) 或 (6) 例3 随机事件和,已知 试求随机事件中至少有一个发生的概率 解 因为,所以于是例4设事件的概率分别为和,求在以下三种情况下的值互斥;解 时,

3、例5 甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内到达的时刻是相等的,如果甲船的停泊时间为1小时,乙船的停泊时间为2小时,求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率?0yxy-x=2y-x=1T解:设甲、乙轮船到达码头的时刻分别为和,则按题意,样本空间是边长为24的正方形设“任何一艘船都不需要等待码头空出分两种情况(1)若甲先到(),则(2)若乙先到(),则故由图形可知所求的概率为 例6 两射手彼此独立地向同一目标射击,设甲射中目标的概率为0.9,乙射中目标的概率为0.8,求目标被击中的概率是多少?解 设事件“甲射中目标”, 事件“乙射中目标, 事件“目标被击中”,则,故

4、例7 玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各箱含0,1,2只残次品的概率相应为0。8,0.1和0.1,一顾客欲购一箱玻璃杯,在购买时,售货员随意取一箱,而顾客开箱随机察看4只,若无残次品,则买下,否则退回,试求(1)顾客买下该箱的概率?(2)在顾客买下的一箱中,确实没有残次品的概率?解 设“顾客察看的那一箱玻璃杯中有个残次品”,“顾客买下察看的那一箱玻璃杯”,则又,(1)由全概率公式知 (2)由Bayes公式知 例8 设某电子元件的使用寿命在1000 h以上的概率为0.2,当3个电子元件相互独立使用时,求在使用了1000 h 的时候,最多只有一个损坏的概率?解 设“使用1000 h以内损坏”,则,

5、相互独立地使用3个电子元件可看作3次重复独立试验,事件“最多只有一个损坏等于事件“恰有一个损坏”(记为)与“没有一个损坏(设为)的和事件,由,得到所求的概率为四 习题1一个袋子中有5只黑球3只白球,从袋中任取两只球,若以表示“取到的两只球均为白球;表示“取到的两只球同色”; 表示“取到的两只球至少有一只白球” 则 ; ; 2一批产品共有6件正品2件次品,从中任取两件,则:两件都是正品的概率为 ;恰有一件次品的概率为 ;两件都是次品的概率为 ;至少取到一件次品的概率为 3设事件两两相互独立,满足条件:,,且已知,则 4若事件、满足且,则= 5设、为事件,,则 6设事件与相互独立,已知,,则:=

6、;= 7三个人同时独立地解答一道难题,他们能单独正确解答的概率分别为1/5、1/3、1/4,则:此难题被正确解答的概率为 ;恰有两个人正确解答的概率为 8设随机事件和满足,则( ) ()为必然事件 () () () 9 设和为任意两个事件,且,则必有( ) () () () () 10设和为任意两个事件,且,,则必有( ) () () () () 11对于任意概率不为零的事件和,下列命题一定正确的是( ) () 如果和互不相容,则与也互不相容; () 如果和相容,则与也相容; () 如果和互不相容,则和相互独立; () 如果和相互独立,则与也相互独立12甲、乙两人独立的对同一目标各射击一次,其

7、命中率分别为0.6 和0。5,现已知目标被命中,则它是乙射中的概率是( ) () 3/5 () 5/11 () 5/8 () 6/1113设有10件产品,其中有3件次品,从中任意抽取5件,问其中恰有2件次品的概率是多少?14一批产品共有10个正品2个次品,从中任取两次,每次取一个(不放回)求:(1)至少取到一个正品的概率;(2)第二次取到次品的概率;(3)恰有一次取到次品的概率15已知,求 16设事件、相互独立,已知,求: (1); (2) 17一工人照看三台机床,在一小时内,甲机床需要照看的概率是0.6,乙机床和丙机床需要照看的概率分别是0。5和0。8求在一小时中,(1)没有一台机床需要照看

8、的概率; (2)至少有一台机床不需要照看的概率18已知工厂生产产品的次品率分别为1和2%,现从由的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,求:(1) 该产品是次品的概率;(2) 若取到的是次品,那么该产品是工厂的概率19元件能正常工作的概率称为元件的可靠性,由多个元件组成的系统能正常工作的概率称为该系统的可靠性.设各元件的可靠性均为,且各元件能否正常工作是相互独立的,试求下列系统的可靠性:(1)串联系统;(2)并联系统20一条自动生产线上的产品, 次品率为4%, 求解以下两个问题:(1) 从中任取10件, 求至少有两件次品的概率;(2) 一次取1件, 无放回地抽取,求当取到第二件次品

9、时, 之前已取到8件正品的概率。参考答案1 3/28 13/28 9/14 2 15/28 3/7 1/28 13/28 31/4 4 2/3 5 0.7 60。2 0。7 7. 3/5 1/10 8。 9。 10. 11. 12。 13。解:设表示“任意抽取的5件中恰有2件次品”则样本空间中样本点的个数为5件产品中恰有2件次品的取法共有种于是所求概率为.14. 解:设表示:“第次取出的是正品”(=1,2),则(1)至少取到一个正品的概率。 (2)第二次取到次品的概率为 . (3)恰有一次取到次品的概率为 . 15。解:由于 .故。所以。16.解:由条件 。即 .解得。所以(1)。(2).17

10、。解:设表示“没有一台机床需要照看”;表示“至少有一台机床不需要照看“;表示:“第台机床需要照看(=1,2,3)则; . 。 18.解:设表示“取到的产品是次品”;“取到的产品是工厂的;“取到的产品是工厂的”则 (1) 取到的产品是次品的概率为. (2)若取到的是次品,那么该产品是工厂的概率为。 19。 解:设“第个元件正常工作,(1)由于串联系统正常工作要求每个元件都正常工作,故系统正常工作=,因此所求的可靠性为分别表示四道工序发生次品事件。为加工出来的零件为次品的事件,则为产品合格品事件. 故有。20. 解: (1) 由于一条自动生产线上的产品很多, 当抽取的件数相对较少时, 可将无放回抽取近似看成是有放回抽取, 每抽1件产品看成是一次试验,抽10件产品相当于做10次重复独立试验, 且每次试验只有 “次品” 或 “正品” 两种可能结果,所以可以看成10重伯努利试验.设表示 “任取 1 件是次品, 则。设表示 “10件中至少有两件次品”, 由伯努利公式有.(2) 由题意, 至第二次抽到次品时, 共抽取了10次, 前9次中抽得8件正品1件次品. 设表示 “前9次中抽到8件正品1件次品”, 表示 “第十次抽到次品”, 则由独立性和伯努利公式, 所求的概率为.

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