概率论与数理统计知识总结之第一章.doc

第一章 概率论的基本概念确定性现象：在一定条件下必然发生的现象随机现象：在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象随机试验：具有下述三个特点的试验：1. 可以在相同的条件下重复地进行2. 每次试验的可能结果不止一个，且能事先明确试验的所有可能结果3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现样本空间：将随机试验E的所有可能出现的结果组成的集合称为E的样本空间，记为S样本点：样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点样本空间的元素是由试验的目的所确定的。随机事件：一般，我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。基本事件：由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。必然事件：样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。不可能事件：空集不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，在每次试验中，称为不可能事件。事件间的关系与运算：设试验E的样本空间为S，而A,B,（k=1,2,)是S的子集。1. 若，则称事件B包含事件A，这指的是事件A发生必然导致事件B发生。 若且,即A=B，则称事件A与事件B相等。2. 事件或称为事件A与事件B的和事件。当且仅当A,B中至少有一个发生时，事件发生。 类似地，称为事件的和事件；称为可列个事件的和事件。3. 事件=且称为事件A与事件B的积事件。当且仅当A,B同时发生时，事件发生。记作AB。 类似地，称为n个事件的积事件；称为可列个事件的积事件。4. 事件且称为事件A与事件B的差事件。当且仅当A发生、B不发生时事件发生。5. 若，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的。这指的是事件A与事件B不能同时发生。基本事件是两两互不相容的。6. 若且,则称事件A与事件B互为逆事件。又称事件A与事件B互为对立事件。这指的是对每次试验而言，事件A,B中必有一个发生。A的对立事件.设为事件，则有交换律：结合律：分配律：德摩根律：频率与概率频率：在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数，称为事件A发生的频数，比值/n称为事件A发生的频率，并记成频率的基本性质：1.012. =13. 若是两两互不相容的事件，则 (）=（)+（）概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P()满足下列条件：1. 非负性2. 规范性：对于必然事件S，有P(S)=13. 可列可加性：P(）=P（）+P()+概率的性质：1. P()=02. (有限可加性）若，是两两互不相容的事件，则有 P（）=P()+P()+P()3. 设A,B是两个事件，若，则有 P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)P(A)4. 对于任一事件A，P(A)15. 对于任一事件A，有=1-P(A)6. 对于任意两事件A,B有P()=P(A)+P(B)-P(AB) 一般地，对于任意n个事件，可以用归纳法得出 P(）=-+等可能概型（古典概型）定义：具有以下两个特点的试验称为等可能概型：1. 试验的样本空间只包含有限个元素2. 试验中每个基本事件发生的可能性相同事件概率计算公式：若事件A包含k个基本事件，即AP(A)=（A包含的基本事件数）/（S中基本事件的总数）实际推断原理：人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”条件概率事件A已发生的条件下事件B发生的概率设A,B是两个事件，且P(A)0，称P(BA)=P(AB)/P(A)为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.条件概率P(A)的性质：1. 非负性:P(BA)02. 规范性：对于必然事件S，有P(SA)=13. 可列可加性：设是两两互不相容的事件，则有 对于任意事件B,C,有P(BCA)=P(BA)+P(CA)-P(BCA)乘法定理：设P(A)0，则有P(AB)=P(BA)P(A)一般，设为n个事件，n2,且0,则有划分：设S为试验E的样本空间，为E的一组事件，若1.2. ,则称为样本空间S的一个划分全概率公式：设试验E的样本空间为S，A为E的事件，为S的一个划分，且，则贝叶斯公式：设试验E的样本空间为S，A为E的事件，为S的一个划分，且P(A)0，,则/先验概率：根据以往数据分析得到的概率后验概率：在得到信息之后再重新加以修正的概率独立性：设A,B是两事件，如果满足等式P(AB)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立，简称A,B独立定理一：设A,B是两事件，且P(A)0，若A,B相互独立，则P(BA)=P(B),反之亦然。定理二：若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：A与,与B,与设A,B,C是三个事件，如果满足等式：则称事件A,B,C相互独立。一般，设是n(n2)个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件相互独立。推论：1. 若事件(n2)相互独立，则其中任意k(2kn)个事件也是相互独立；2. 若n个事件(n2)相互独立，则将中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n各事件仍相互独立（1）排列组合公式 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：mn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由mn 种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，表示事件，它们是的子集。为必然事件，为不可能事件。不可能事件（）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：如果同时有，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：AB，或者AB。AB=，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C 分配率：(AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) 德摩根率： ，（7）概率的公理化定义设为样本空间，为事件，对每一个事件都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1 0P(A)1， 2 P() =13 对于两两互不相容的事件，有常称为可列（完全）可加性。则称P(A)为事件的概率。（8）古典概型1 ，2 。设任一事件，它是由组成的，则有P(A)= =（9）几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A，。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)0时，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=时，P()=1- P(B)（12）条件概率定义 设A、B是两个事件，且P(A)0，则称为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如P(/B)=1P(/A)=1-P(B/A)（13）乘法公式乘法公式：更一般地，对事件A1，A2，An，若P(A1A2An-1)0，则有。（14）独立性两个事件的独立性设事件、满足，则称事件、是相互独立的。若事件、相互独立，且，则有若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。必然事件和不可能事件与任何事件都相互独立。与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。（15）全概公式设事件满足1两两互不相容，2， （分类讨论的则有。（16）贝叶斯公式设事件，及满足1 ，两两互不相容，0，1，2，2 ，（已经知道结果 求原因则，i=1，2，n。此公式即为贝叶斯公式。，（，），通常叫先验概率。，（，），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。（17）伯努利概型我们作了次试验，且满足7. 每次试验只有两种可能结果，发生或不发生；8. 次试验是重复进行的，即发生的概率每次均一样；9. 每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。用表示每次试验发生的概率，则发生的概率为，用表示重伯努利试验中出现次的概率，。