资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（每题4分，共48分）
1．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论不正确的是（ ）
A．
B．当时，顶点的坐标为
C．当时，
D．当时，y随x的增大而增大
2．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（ ）秒，四边形APQC的面积最小．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知⊙O的半径是4，OP=5，则点P与⊙O的位置关系是( )
A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．不能确定
4．顺次连结菱形各边中点所得到四边形一定是( )
A．平行四边形 B．正方形 C．矩形 D．菱形
5．有一个正方体，6个面上分别标有1～6这6个整数，投掷这个正方体一次，则出现向上一面的数字是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
6． “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
7．计算得（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
8．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（ ）
A．方程有两个相等的实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
9．函数y=ax2-a与y=(a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是( )
A． B． C． D．
10．已知点P（a，b）是平面直角坐标系中第四象限的点，则化简+|b-a|的结果是（ ）
A． B．a C． D．
11．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转角(0°＜＜90°)得到△DEC，设CD交AB于点F，连接AD，当旋转角度数为________，△ADF是等腰三角形．
A．20° B．40° C．10° D．20°或40°
12．如图相交于点，下列比例式错误的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．已知△ABC∽△A'B'C'，S△ABC：S△A'B'C'＝1：4，若AB＝2，则A'B'的长为_____．
14．.甲、乙、丙、丁四位同学在五次数学测验中他们成绩的平均分相等，方差分别是2.3，3.8，5.2，6.2，则成绩最稳定的同学是______.
15．已知1是一元二次方程的一个根，则p=_______.
16．在Rt△ABC中，∠C=90，AB=4，BC=3，则sinA的值是______________.
17．如图，已知等边的边长为4，，且.连结，并延长交于点，则线段的长度为__________.
18．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数是_______．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图1是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，，摆动臂可绕点旋转，．
（1）在旋转过程中
①当、、三点在同一直线上时，求的长，
②当、、三点为同一直角三角形的顶点时，求的长．
（2）若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，如图2，此时，，求的长．
（3）若连接（2）中的，将（2）中的形状和大小保持不变，把绕点在平面内自由旋转，分别取、、的中点、、，连接、、、随着绕点在平面内自由旋转， 的面积是否发生变化，若不变，请直接写出的面积；若变化，的面积是否存在最大与最小?若存在，请直接写出面积的最大值与最小值，（温馨提示）
20．（8分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，“幸福”小区为了方便住在A区、B区、和C区的居民（A区、B区、和C区之间均有小路连接），要在小区内设立物业管理处P．如果想使这个物业管理处P到A区、B区、和C区的距离相等，应将它建在什么位置？请在图中作出点P．
21．（8分）如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD,∠BFC=∠BAD=2∠DFC ．
(1)若∠DFC=40º，求∠CBF的度数．
(2)求证: CD⊥DF ．
22．（10分）解方程:
（1）用公式法解方程：3x2﹣x﹣4=1
（2）用配方法解方程：x2﹣4x﹣5＝1．
23．（10分）如图，在中 ，连接，点,分别是的点（点不与点重合），,相交于点.
(1)求，的长；
(2)求证：～；
(3)当时，请直接写出的长.
24．（10分）某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据跳水运动员的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的跳水运动员人数为 ，图①中m的值为 ；
（2）求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数．
25．（12分）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．如图1，把一张顶角为36º的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，我们把这两条线段叫做等腰三角形的三分线．
(1)如图2，请用两种不同的方法画出顶角为45º的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数:(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种) ．
(2)如图3，△ABC 中，AC=2,BC=3,∠C=2∠B，请画出△ABC 的三分线，并求出三分线的长．
26．某商店购进一种商品，每件商品进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量y（件）
与每件销售价x（元）的关系数据如下：
x
30
32
34
36
y
40
36
32
28
（1）已知y与x满足一次函数关系，根据上表，求出y与x之间的关系式（不写出自变量x的取值范围）；
（2）如果商店销售这种商品，每天要获得150元利润，那么每件商品的销售价应定为多少元？
（3）设该商店每天销售这种商品所获利润为w（元），求出w与x之间的关系式，并求出每件商品销售价定为多少元时利润最大？
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、C
【解析】根据对称轴公式和二次函数的性质，结合选项即可得到答案.
【详解】解：∵二次函数
∴对称轴为直线
∴，故A选项正确；
当时，
∴顶点的坐标为，故B选项正确；
当时，由图象知此时
即
∴，故C选项不正确；
∵对称轴为直线且图象开口向上
∴当时，y随x的增大而增大，故D选项正确；
故选C．
【点睛】
本题考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数.
2、C
【分析】根据等量关系“四边形APQC的面积=三角形ABC的面积-三角形PBQ的面积”列出函数关系求最小值．
【详解】解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则有：
S=S△ABC-S△PBQ
= ×12×6- （6-t）×2t
=t2-6t+36
=（t-3）2+1．
∴当t=3s时，S取得最小值．
故选C．
【点睛】
本题考查了函数关系式的求法以及最值的求法，解题的关键是根据题意列出函数关系式，并根据二次函数的性质求出最值．
3、C
【分析】根据“点到圆心的距离大于半径，则点在圆外”即可解答．
【详解】解：∵⊙O的半径是4，OP=5，5>4
即点到圆心的距离大于半径，
∴点P在圆外，
故答案选C．
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离与半径的大小确定点与圆的位置关系．
4、C
【分析】根据三角形的中位线定理首先可以证明：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形．再根据对角线互相垂直，即可证明平行四边形的一个角是直角，则有一个角是直角的平行四边形是矩形．
【详解】如图，四边形ABCD是菱形，且E. F. G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
则EH∥FG∥BD，EF=FG=BD；EF∥HG∥AC，EF=HG=AC，AC⊥BD.
故四边形EFGH是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴EH⊥EF，∠HEF=90°，
∴边形EFGH是矩形.
故选：C.
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和三角形中位线定理，解题的关键是掌握平行四边形的判定和三角形中位线定理.
5、A
【解析】投掷这个正方体会出现1到6共6个数字，每个数字出现的机会相同，即有6个可能结果，而这6个数中有1，3，5三个奇数，则有3种可能，根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：∵在1～6这6个整数中有1，3，5三个奇数，
∴当投掷这个正方体一次，则出现向上一面的数字为奇数的概率是：=．
故选：A．
【点睛】
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
6、D
【分析】根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC据三角形的外角性质即可求出∠ODC数，进而求出∠CDE的度数．
【详解】∵，
∴，，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
.
故答案为D.
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
7、A
【分析】根据题意对原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
【详解】解：
=1．
故选：A．
【点睛】
本题考查分式的加减法，熟练掌握分式的加减法运算法则是解答本题的关键．
8、B
【解析】试题分析：先求出△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，即可判定方程有两个不相等的实数根．故答案选B.
考点：一元二次方程根的判别式．
9、A
【解析】本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与反比例函数的图象相比较看是否一致．逐一排除．
【详解】A、由二次函数图象，得a＜1．当a＜1时，反比例函数图象在二、四象限，故A正确；
B、由函数图象开口方向，得a＞1．当a＞1时，抛物线于y轴的交点在x轴的下方，故B错误；
C、由函数图象开口方向，得a＜1．当a＜1时，抛物线于y轴的交点在x轴的上方，故C错误；
D、由抛物线的开口方向，得a＜1，反比例函数的图象应在二、四象限，故D错误；
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数图象，应该识记反比例函数y=在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
10、A
【解析】根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数，求解即可．
【详解】∵点P(a,b)是平面直角坐标系中第四象限的点，
∴a>0，b<0，
∴b−a<0，
∴+|b-a|=−b−(b−a)=−b−b+a=−2b+a=a−2b，
故选A.
【点睛】
本题考查点的坐标， 二次根式的性质与化简，解题的关键是根据象限特征判断正负.
11、D
【分析】根据旋转的性质可得AC=CD，根据等腰三角形的两底角相等求出∠ADF=∠DAC，再表示出∠DAF，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠AFD，然后分①∠ADF=∠DAF，②∠ADF=∠AFD，③∠DAF=∠AFD三种情况讨论求解．
【详解】∵△ABC绕C点逆时针方向旋转得到△DEC，
∴AC=CD，
∴∠ADF=∠DAC=（180°-α），
∴∠DAF=∠DAC-∠BAC=（180°-α）-30°，
根据三角形的外角性质，∠AFD=∠BAC+∠DCA=30°+α，
△ADF是等腰三角形，分三种情况讨论，
①∠ADF=∠DAF时，
（180°-α）=（180°-α）-30°，无解，
②∠ADF=∠AFD时，
（180°-α）=30°+α，
解得α=40°，
③∠DAF=∠AFD时，
（180°-α）-30°=30°+α，
解得α=20°，
综上所述，旋转角α度数为20°或40°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难点在于要分情况讨论．
12、D
【分析】根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理，对每个选项进行判断，即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴，，故A、B正确；
∴△CDG∽△FEG，
∴，故C正确；
不能得到，故D错误；
故选：D.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【分析】由相似三角形的面积比得到相似比，再根据AB即可求得A'B'的长.
【详解】解：∵△ABC∽△A'B'C'，且S△ABC：S△A'B''C'＝1：1，
∴AB：A′B′＝1：2，
∵AB＝2，
∴A′B′＝1．
故答案为1．
【点睛】
此题考查相似三角形的性质，相似三角形的面积的比等于相似比的平方.
14、甲
【分析】方差反映了一组数据的波动情况，方差越小越稳定，据此可判断.
【详解】∵2.3<3.8<5.2<6.2,
∴，
∴成绩最稳定的是甲.
故答案为：甲.
【点睛】
本题考查了方差的概念，正确理解方差所表示的意义是解题的关键.
15、2
【分析】根据一元二次方程的根即方程的解的定义，将代入方程中，即可得到关于的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵1是一元二次方程的一个根
∴
∴
故答案是：
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
16、
【分析】画出图形，直接利用正弦函数的定义进行求解即可.
【详解】如图：
在Rt△ABC中：sinA=
∵AB=4，BC=3
∴sinA=
故本题答案为：.
【点睛】
本题考查了三角函数的定义，注意正弦，余弦，正切定义记清楚.
17、1
【分析】作CF⊥AB，根据等边三角形的性质求出CF，再由BD⊥AB，由CF∥BD，得到△BDE∽△FCE，设BE为x，再根据对应线段成比例即可求解.
【详解】作CF⊥AB，垂足为F，
∵△ABC为等边三角形，
∴AF=AB=2,
∴CF=
又∵BD⊥AB，∴CF∥BD，
∴△BDE∽△FCE，设BE为x，
∴,即
解得x=1
故填：1.
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的根据是根据题意构造相似三角形进行求解.
18、1
【解析】根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为1%，然后根据概率公式计算n的值．
【详解】解：根据题意得＝1%，
解得n＝1，
所以这个不透明的盒子里大约有1个除颜色外其他完全相同的小球．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
三、解答题（共78分）
19、（1）①或；②长为或；（2）；（3）的面积会发生变化；存在，最大值为：，最小值为：
【分析】（1）①分两种情形分别求解即可；
②显然不能为直角；当为直角时，根据计算即可；当为直角时，根据计算即可；
（2）连接，，证得为等腰直角三角形，根据SAS可证得，根据条件可求得，根据勾股定理求得，即可求得答案；
（3）根据三角形中位线定理，可证得是等腰直角三角形，求得，当取最大时，面积最大，当取最小时，面积最小，即可求得答案．
【详解】（1）①，
或；
②显然不能为直角；
当为直角时，，
即，
解得：；
当为直角时，，
即，
；
综上：长为或；
（2）如图，连接，，
根据旋转的性质得：为等腰直角三角形，
∴，，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
又∵，
，
，
；
（3）发生变化，存在最大值和最小值，
理由：如图，
点P，M分别是，的中点，
，，
点N，P分别是，的中点，
，，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
∴
，
当取最大时，面积最大，
∴
，
当取最小时，面积最小，
∴
故：的面积发生变化，存在最大值和最小值，最大值为：，最小值为：．
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，有一定的难度．
20、见解析
【分析】物业管理处P到B，A的距离相等，那么应在BA的垂直平分线上，到A，C的距离相等，应在AC的垂直平分线上，那么到A区、B区、C区的距离相等的点应是这两条垂直平分线的交点；
【详解】解：如图所示：
【点睛】
本题主要考查了作图—应用与设计作图，掌握作图—应用与设计作图是解题的关键.
21、（1）50º；（2）见解析
【分析】（1）根据圆周角定理及三角形的外角，等腰三角形的知识进行角度的换算即可得；
（2）根据圆的内接四边形对角互补的性质进行角度计算即可证明．
【详解】解:(1)∵∠BAD=∠BFC，
∠BAD=∠BAC+∠CAD, ∠BFC=∠BAC+∠ABF,
∴∠CAD=∠ABF
又∵∠CAD=∠CBD,
∴∠ABF=∠CBD
∴∠ABD=∠FBC，
又
，
，
，
，
．
(2)令，则，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，即，
又∵，
∴，
∴
∴
∴，即．
【点睛】
本题主要考查圆的性质与三角形性质综合问题，难度适中，解题的关键是能够灵活运用圆及三角形的性质进行角度的运算．
22、（1）x1=，x2=-1；（2）x1＝5，x2＝-1.
【分析】（1）根据一元二次方程的一般形式得出a、b、c的值，利用公式法x=即可得答案；
（2）先把常数项移项，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得完全平方式，直接开平方即可得答案.
【详解】（1）3x2﹣x﹣4=1
∵a=3，b=－1，c=－4，
∴
∴x1=，x1=－1.
(2)x2﹣4x﹣5＝1
x2﹣4x+4＝5+4
（x﹣2）2＝9
∴x－2＝3或x－2＝－3
∴x1＝5，x2＝－1.
【点睛】
本题考查解一元二次方程，一元二次方程的常用解法有：配方法、直接开平方法、公式法、因式分解法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键.
23、（1）AD=10，BD=10；（2）见解析；（3）AG=．
【分析】（1）由可证明△ABC∽△DAC，通过相似比即可求出AD，BD的长；
（2）由（1）可证明∠B=∠DAB，再根据已知条件证明∠AFC=∠BEF即可；
（3）过点C作CH∥AB，交AD的延长线于点H，根据平行线的性质得到，计算出CH和AH的值，由已知条件得到≌，设AG=x，则AF=15-x，HG=18-x，再由平行线的性质得到，表达出即可解出x，即AG的值．
【详解】解：（1）∵，
∴，
又∵∠ACB=∠DCA，
∴△ABC∽△DAC，
∴，即，
解得：CD=8，AD=10，
∴BD=BC-CD=18-8=10，
∴AD=10，BD=10；
（2）由（1）可知，AD=BD=10，
∴∠B=∠DAB，
∵∠AFE=∠B+∠BEF，
∴∠AFC+∠CFE=∠B+∠BEF，
∵，
∴∠AFC=∠BEF，
又∵∠B=∠DAB，
∴～；
（3）如图，过点C作CH∥AB，交AD的延长线于点H，
∴，
即，解得：CH=12，HD=8，
∴AH=AD+HD=18，
若，
则≌；
∴BF=AG，
设AG=x，则AF=15-x，HG=18-x，
∵CH∥AB，
∴，即，
解得：，（舍去）
∴AG=．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例，解题的关键是熟悉相似三角形的判定，并灵活作出辅助线．
24、（1）40人；1；（2）平均数是15；众数16；中位数15.
【分析】（1）用13岁年龄的人数除以13岁年龄的人数所占的百分比，即可得本次接受调查的跳水运动员人数；用16岁年龄的人数除以本次接受调查的跳水运动员人数即可求得m的值；（2）根据统计图中给出的信息，结合求平均数、众数、中位数的方法求解即可.
【详解】解：（1）4÷10%=40（人），
m=100-27.5-25-7.5-10=1；
故答案为40，1．
（2）观察条形统计图，
∵，
∴这组数据的平均数为15；
∵在这组数据中，16出现了12次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为16；
∵将这组数据按照从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15，有，
∴这组数据的中位数为15.
【点睛】
本题考查了条形统计图，扇形统计图，掌握平均数、众数和中位数的定义是解题的关键．
25、（1）图见解析，；（2）三分线长分别是和
【分析】（1）根据等腰三角形的判定定理容易画出图形；由等腰三角形的性质即可求出各个顶角的度数；
（2）根据等腰三角形的判定定力容易画出图形，设，则，，则，得出对应边成比例，设，得出方程组，解方程即可得．
【详解】解:(1)作图如图1、图2所示:
在图1中，
即三个等腰三角形的顶角分别为
在图2中，
，
，
即三个等腰三角形的顶角分别为
(2)如图3所示，就是所求的三分线
设，则，
此时，
设 ，
∵，
∴
∵，
∴，
解方程组
解得：，或（负值舍去）
，
即三分线长分别是和
【点睛】
本题是相似形的综合性题目，考查了等腰三角形的判定和性质、等腰三角形的画图、相似三角形的判定和性质、解方程组等知识，本题考查学生学习的理解能力及动手创新能力，综合性较强，有一定难度．
26、（1）y=-2x+100；（2）35元或45元；（3）W=-2x2+160x-3000，40元时利润最大．
【解析】试题分析：（1）设一次函数解析式，将表格中任意两组x，y值代入解出k，b，即可求出该解析式；（2）利润等于单件利润乘以销售量，而单件利润又等于每件商品的销售价减去进价，从而建立每件商品的销售价与利润的一元二次方程求解；（3）将w替换上题中的150元，建立w与x的二次函数，化成一般式，看二次项系数，讨论x取值，从而确定每件商品销售价定为多少元时利润最大．
试题解析：（1）设该函数的表达式为y=kx+b（k≠0），根据题意，得，解得，∴该函数的表达式为y=-2x+100；（2）根据题意得：（-2x+100）（x-30）="150" ，解这个方程得，x1=35，x2=45∴每件商品的销售价定为35元或45元时日利润为150元．（3）根据题意得：w=（-2x+100）（x-30）=-2x2+160x-3000=-2（x-40）2+200，∵a=-2<0，则抛物线开口向下，函数有最大值，即当x=40时，w的值最大，∴当销售单价为40元时获得利润最大．
考点：一次函数与二次函数的实际应用．
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