资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．将抛物线y=-2x2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得抛物线为（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．下列物体的光线所形成的投影是平行投影的是（ ）
A．台灯 B．手电筒 C．太阳 D．路灯
4．对于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下，顶点坐标 B．开口向上，顶点坐标
C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，顶点坐标
5．某楼盘的商品房原价12000元/，国庆期间进行促销活动，经过连续两次降价后，现价9720元/，求平均每次降价的百分率。设平均每次降价的百分率为，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．抛物线y＝3x2向右平移一个单位得到的抛物线是（ ）
A．y＝3x2+1 B．y＝3x2﹣1 C．y＝3（x+1）2 D．y＝3（x﹣1）2
8．如图，阳光透过窗户洒落在地面上，已知窗户高，光亮区的顶端距离墙角，光亮区的底端距离墙角，则窗户的底端距离地面的高度()为( )
A． B． C． D．
9．如图是半径为2的⊙O的内接正六边形ABCDEF，则圆心O到边AB的距离是（ ）
A．2 B．1 C． D．
10．如图，四边形中，，，，设的长为，四边形的面积为，则与之间的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1=0的一个根是0，则实数a的值为_____．
12．点A（﹣5，y1），B（3，y2）都在双曲线y＝，则y1，y2的大小关系是_____．
13．如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为2.4km，则两点间的距离为______km.
14．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB＝6cm，则线段BC＝____cm．
15．已知二次函数y=－x－2x＋3的图象上有两点A(－7，)，B(－8，)，则 ▲ .（用>、<、=填空）．
16．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是______．
17．在平面直角坐标系中，二次函数与反比例函数的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点，，，其中为常数，令，则的值为_________．（用含的代数式表示）
18．如图，直线，等腰直角三角形的三个顶点分别在，，上，90°，交于点，已知与的距离为2，与的距离为3，则的长为________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）先化简，再求值：(x－1)÷(x－),其中x =+1
20．（6分）我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：
销售单价x（元/件）
…
30
40
50
60
…
每天销售量y（件）
…
500
400
300
200
…
（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价﹣成本总价）
（3）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？
21．（6分）（1）如图①，在△ABC中，AB＝m，AC＝n（n＞m），点P在边AC上．当AP＝ 时，△APB∽△ABC；
（2）如图②，已知△DEF（DE＞DF），请用直尺和圆规在直线DF上求作一点Q，使DE是线段DF和DQ的比例项．（保留作图痕迹，不写作法）
22．（8分）已知一次函数的图象与二次函数的图象相交于和，点是线段上的动点（不与重合），过点作轴，与二次函数的图象交于点．
（1）求的值；
（2）求线段长的最大值；
（3）当为的等腰直角三角形时，求出此时点的坐标．
23．（8分）在一个不透明的盒子里装有三个标记为1，2，3的小球（材质、形状、大小等完全相同），甲先从中随机取出一个小球，记下数字为后放回，同样的乙也从中随机取出一个小球，记下数字为，这样确定了点的坐标．
（1）请用列表或画树状图的方法写出点所有可能的坐标；
（2）求点在函数的图象上的概率．
24．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE
（Ⅰ）求证：AE是⊙O的切线；
（Ⅱ）若∠DBC=30°，DE=1 cm，求BD的长．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为:A(－2，－2) ， B(－4，－1) ， C(－4，－4)．
(1) 画出与△ABC关于点P(0，－2)成中心对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2) 将△ABC绕点O顺时针旋转的旋转90°后得到△A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
26．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）若AC=9，CE=3，求CD的长．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【解析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：把抛物线y=-2x2先向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的解析式是y=-2（x+3）2-4，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
2、C
【分析】利用勾股定理求得AB的长，然后利用三角函数定义求解．
【详解】解：在直角△ABC中，AB===5，
则sinA==．
故选C．
【点睛】
本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3、C
【解析】太阳相对地球较远且大，其发出的光线可认为是平行光线.
【详解】台灯、手电筒、路灯发出的光线是由点光源发出的光线，所形成的投影是中心投影；太阳相对地球较远且大，其发出的光线可认为是平行光线.
故选C
【点睛】
本题主要考查了中心投影、平行投影的概念.
4、A
【详解】∵抛物线
∴a＜0，∴开口向下，
∴顶点坐标（5，3）．
故选A．
5、D
【分析】根据题意利用基本数量关系即商品原价×（1-平均每次降价的百分率）=现在的价格，列方程即可．
【详解】解：由题意可列方程是：．
故选：D.
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用最基本数量关系：商品原价×（1-平均每次降价的百分率）=现在的价格．
6、B
【解析】试题分析：A．∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项错误；
B．∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故B选项正确．
C．∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故C选项错误；
D．∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故B选项错误．
考点：1．中心对称图形；2．轴对称图形．
7、D
【解析】先确定抛物线y＝3x1的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的坐标变换规律得到点（0，0）平移后对应点的坐标为（1，0），然后根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式．
【详解】y＝3x1的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）右平移一个单位所得对应点的坐标为（1，0），所以平移后的抛物线解析式为y＝3（x﹣1）1．
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
8、A
【分析】根据光沿直线传播的原理可知AE∥BD，则∽，根据相似三角形的对应边成比例即可解答．
【详解】解：∵AE∥BD
∴∽
∴
∵，，
∴
解得：
经检验是分式方程的解．
故选：A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及性质，解题关键是熟知：平行于三角形一边的直线和其他两边或延长线相交，所截得的三角形与原三角形相似．
9、C
【分析】过O作OH⊥AB于H，根据正六边形ABCDEF的性质得到∠AOB＝＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠AOH＝30°，AH＝AB＝1，于是得到结论．
【详解】解：过O作OH⊥AB于H，
在正六边形ABCDEF中，∠AOB＝＝60°，
∵OA＝OB，
∴∠AOH＝30°，AH＝AB＝1，
∴OH＝AH＝，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
10、C
【分析】四边形ABCD图形不规则，根据已知条件，将△ABC绕A点逆时针旋转90°到△ADE的位置，求四边形ABCD的面积问题转化为求梯形ACDE的面积问题；根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，把梯形上底DE，下底AC，高DF分别用含x的式子表示，可表示四边形ABCD的面积．
【详解】作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，
∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°
∴△ABC≌△ADE（AAS）
∴BC=DE，AC=AE，
设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC-AF=AC-DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF1+DF1=CD1，即（3a）1+（4a）1=x1，
解得：a=，
∴y=S四边形ABCD=S梯形ACDE=×（DE+AC）×DF
=×（a+4a）×4a
=10a1
=x1．
故选C．
【点睛】
本题运用了旋转法，将求不规则四边形面积问题转化为求梯形的面积，充分运用了全等三角形，勾股定理在解题中的作用．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、-1.
【解析】分析：先把x=0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a=1舍去．
详解：把x=0代入方程得：
|a|-1=0，
∴a=±1，
∵a-1≠0，
∴a=-1．
故选A．
点睛：本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程得到a的值，再由二次项系数不为0，确定正确的选项．
12、y1＜y1
【分析】根据反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，即可得到y1，y1的值，进而即可比较大小．
【详解】∵点A(﹣5，y1)，B(3，y1)都在双曲线y＝上，
当x＝﹣5时，y1＝﹣，
当x＝3时，y1＝，
∴y1＜y1．
故答案是：y1＜y1．
【点睛】
本题主要考查反比例函数图象上点的纵坐标大小比较，掌握反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，是解题的关键．
13、1.1
【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得MC= AB=1.1km．
【详解】∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB的中点，
∴MC=AB=AM=1.1(km).
故答案为：1.1．
【点睛】
此题考查直角三角形的性质，解题关键点是熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，理解题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键.
14、18
【分析】根据已知图形构造相似三角形，进而得出，即可求得答案.
【详解】如图所示：过点A作平行线的垂线，交点分别为D、E，
可得：
，
∴，
即，
解得：，
∴，
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意得出是解答本题的关键.
15、＞．
【解析】根据已知条件求出二次函数的对称轴和开口方向，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y1的大小关系：
∵二次函数y=﹣x1﹣1x+3的对称轴是x=﹣1，开口向下，
∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大．
∵点A（﹣7，y1），B（﹣8，y1）是二次函数y=﹣x1﹣1x+3的图象上的两点，且﹣7＞﹣8，
∴y1＞y1．
16、
【分析】求出黑色区域面积与正方形总面积之比即可得答案.
【详解】图中有9个小正方形，其中黑色区域一共有3个小正方形，
所以随意投掷一个飞镖，击中黑色区域的概率是，
故答案为．
【点睛】
本题考查了几何概率，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键.注意面积之比几何概率．
17、
【分析】根据题意由二次函数的性质、反比例函数的性质可以用含m的代数式表示出W的值，本题得以解决．
【详解】解：∵两个函数图象上有三个不同的点A（x1，m），B（x2，m），C（x3，m），其中m为常数，
∴其中有两个点一定在二次函数图象上，且这两个点的横坐标互为相反数，第三个点一定在反比例函数图象上，
假设点A和点B在二次函数图象上，则点C一定在反比例函数图象上，
∴m=，得x3=，
∴=x1+x2+x3=0+x3=；
故答案为：.
【点睛】
本题考查反比例函数的图象和图象上点的坐标特征、二次函数的图象和图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数和二次函数的性质解答．
18、
【分析】作AF⊥，BE⊥，证明△ACF≌△CBE，求出CE，根据勾股定理求出BC、AC，作DH⊥，根据DH∥AF证明△CDH∽△CAF，求出CD，再根据勾股定理求出BD.
【详解】如图，作AF⊥，BE⊥，则∠AFC=BEC=90°，
由题意得BE=3，AF=2+3=5，
∵△是等腰直角三角形，90°，
∴AC=BC,∠BCE+∠ACF=90°，
∵∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACF=∠CBE,
∴△ACF≌△CBE,
∴CE=AF=5，CF=BE=3，
∴,
作DH⊥，
∴DH∥AF
∴△CDH∽△CAF，
∴，
∴ ，
∴CD=，
∴BD=，
故答案为：.
【点睛】
此题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线间的距离处处相等的性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键.
三、解答题(共66分)
19、1+
【分析】先化简分式，然后将x 的值代入计算即可．
【详解】解：原式＝（x−1）÷，
当x＝＋1时，
原式＝．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
20、（1）图见解析，y＝－10x＋1；（2）单价定为50元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元；（3）单价定为45元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大．
【分析】(1)从表格中的数据我们可以看出当x增加10时，对应y的值减小100，所以y与x之间可能是一次函数的关系，我们可以根据图象发现这些点在一条直线上，所以y与x之间是一次函数的关系，然后设出一次函数关系式，求出其关系式；
(2)利用二次函数的知识求最大值；
（3）根据函数的增减性，即可求得销售单价最高不能超过45元/件时的最大值．
【详解】解：(1)画图如图；
由图可猜想y与x是一次函数关系，
设这个一次函数为y＝kx＋b(k≠0)
∵这个一次函数的图象经过(30，500)、(40，400)这两点，
∴，解得
∴函数关系式是：y＝－10x＋1．
(2)设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得
W＝(x－20)(－10x＋1)
＝－10x2＋1000x－16000
＝－10(x－50)2＋9000
∴当x＝50时，W有最大值9000.
所以，当销售单价定为50元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元.
(3)对于函数W＝－10(x－50)2＋9000，
当x≤45时，W的值随着x值的增大而增大，销售单价定为45元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大．
21、（1）；（2）见解析.
【分析】（1）根据相似三角形的判定方法进行分析即可;
（2）直接利用相似三角形的判定方法以及结合做一角等于已知角进而得出答案．
【详解】（1）解：要使△APB∽△ABC成立，∠A是公共角，则,即,∴AP=.
（2）解：作∠DEQ＝∠F,
如图点Q就是所求作的点
【点睛】
本题考查了相似变换，正确掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
22、（1）1，3；（2）最大值为；（3）
【分析】（1）将点分别代入一次函数解析式可求得b的值，再将点A的坐标代入二次函数可求出a的值；
（2）设，则，根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PC的长关于m的二次函数，根据二次函数的性质可得答案；
（3）同（2）设出点P，C的坐标，根据题意可用含m的式子表示出AC，PC的长，根据AC=PC可得关于m的方程，求得m的值，进而求出点P的坐标．
【详解】解：（1）∵在直线上，
∴，
∴．
又∵在拋物线上，
∴，
解得．
（2）设，则，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为．
（3）如图，∵为的等腰三角形且轴，
∴连接，轴，
∵，
∴，
．
∵，
∴，
化简，得，
解得，（不合题意，舍去）．
当时，，
∴此时点的坐标为．
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查了求待定系数法求函数解析式，二次函数的最值以及等腰三角形的性质等知识，利用平行于y轴的直线上两点间的距离建立出二次函数模型求出最值是解题关键．
23、（1）见解析；（2）．
【分析】（1）根据列表分与树形图法即可写出结果；
（2）把所有P点坐标代入函数解析式中即可求解．
【详解】(1) 树状图如下：
由树状图得，点P所有可能的坐标为：
（1，1）、（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，2）、（2，3）、（3，1）、（3，2）、（3，3）；
(2)把代入函数解析式，得，
把代入函数解析式，得，
把代入函数解析式，得，
9个点中有（1，2）、（2，1）、（3，2）共3个点在该函数的图象上，
所以．
所以点在函数的图象上的概率为．
【点睛】
本题考查了表格法与树形图法求概率、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是正确列出表格或画出树形图．
24、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）4.
【详解】（Ⅰ）证明：连结OA，
∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE＝∠ADO ，
∵OA=OD，
∴∠OAD＝∠ADO ，
∴∠ADE＝∠OAD，
∴OA∥CE，
∵AE⊥CD，
∴AE⊥OA，
∴AE是⊙O的切线；
（Ⅱ）∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠DBC=30°，
∴∠BDE＝120°，
∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE＝∠ADO=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴AD=OD=BD，
在Rt△AED中，DE=1，∠ADE=60°，
∴AD== 2，
∴BD=4.
25、（1）详见解析；(2，-2)；（2）详见解析；(-4，4)
【分析】（1）分别得出A、B、C三点关于点P的中心对称点，然后依次连接对应点可得；
（2）分别做A、B、C三点绕O点顺时针旋转90°的点，然后依次连接对应点即可．
【详解】（1）△A1B1C1如下图所示．
点A1的坐标为(2，-2)
（2）△A2B2C2如上图所示．
点C2的坐标为(-4，4)．
【点睛】
本题考查绘制中心对称图形和绘制旋转图形，解题关键是绘制图形中的关键点的对应点．
26、（1）证明见解析；（2）
【解析】分析: （1）根据圆内接四边形的性质得到∠DCE=∠BAD，根据圆周角定理得到∠DCE=∠BAD，证明即可；
（2）证明△DCE∽△ACD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
详解:
（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠BAD，
∵=，
∴∠BAD=∠ACD，
∴∠DCE=∠ACD，
∴CD平分∠ACE；
（2）解：∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
∴∠DEC=∠ADC，
∵∠DCE=∠ACD，
∴△DCE∽△ACD，
∴=，即=，
∴CD=3．
点睛: 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
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