2022年沈阳市铁西区数学九上期末监测模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．用min{a，b}表示a，b两数中的最小数，若函数，则y的图象为( )
A． B． C． D．
2．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为（　　）

A．8 B．6 C．12 D．10
3．平面直角坐标系内一点P（2，-3）关于原点对称点的坐标是（ ）
A．（3，-2） B．（2，3） C．（-2，3） D．（2，-3）
4．2的相反数是（ ）
A． B． C． D．
5．在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，则n的值为（ ）
A．3 B．5 C．8 D．10
6．下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．任意两个圆
B．任意两个等腰三角形
C．任意两个菱形
D．任意两个矩形
7．一个不透明的布袋中有分别标着数字1，2，3，4的四个乒乓球，现从袋中随机摸出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．若，且，则的值是（　　）
A．4 B．2 C．20 D．14
9．已知x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两根，则x1＋x2－x1·x2的值是（ ）
A．1 B．3 C．－1 D．－3
10．如图是一个正方体纸盒，在下面四个平面图形中，是这个正方体纸盒展开图的是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，AE＝4cm，则OF的长度是___cm．

12．用一张半径为14cm的扇形纸片做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸片的面积是________ cm1．

13．如图，等边△ABO的边长为2，点B在x轴上，反比例函数图象经过点A，将△ABO绕点O顺时针旋转a（0°＜a＜360°），使点A仍落在双曲线上，则a=_____．

14．若两个相似三角形的面积比是9：25，则对应边上的中线的比为 _________．
15．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交轴于点，作正方形，延长交轴于点，作正方形，…按这样的规律进行下去，第个正方形的面积为_____________．

16．已知，且，则的值为__________．
17．如图，在直角三角形中，，是边上一点，以为边，在上方作等腰直角三角形，使得，连接.若，，则的最小值是_______.

18．已知一个不透明的盒子中装有3个红球，2个白球，这些球除颜色外均相同，现从盒中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是________ ．
三、解答题(共66分)
19．（10分）试证明：不论为何值，关于的方程总为一元二次方程.
20．（6分）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．点D是直线AC上方抛物线上一点，过点D作y轴的平行线，与直线AC相交于点E．

（1）求直线AC的解析式；
（2）当线段DE的长度最大时，求点D的坐标．
21．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，点D是半圆的中点，连接CD交OB于点E，点F是AB延长线上一点，CF＝EF．

（1）求证：FC是⊙O的切线；
（2）若CF＝5，，求⊙O半径的长．
22．（8分）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离（CD的长）约为100米，又在C点测得A点的仰角为30°，测得B点的俯角为20°，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离（AB的长）．（已知≈1.732，tan20°≈0.36，结果精确到0.1）

23．（8分）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间的关系如下表．
x（元/件）
15
18
20
22
…
y（件）
250
220
200
180
…
（1）直接写出：y与x之间的函数关系　 　；
（2）按照这样的销售规律，设每天销售利润为w（元）即（销售单价﹣成本价）x每天销售量；求出w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系；
（3）销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
24．（8分）按要求解答下列各小题．
（1）解方程：；
（2）计算：．
25．（10分）如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．

26．（10分）如图①，若抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点在抛物线上，（点与点不重合），我们把这样的两条抛物线和，互称为“友好”抛物线．

（1）一条抛物线的“友好”抛物线有 条；
（2）如图②，已知抛物线与轴相交于点，点关于抛物线的对称轴的对称点为点，求以点为顶点的的“友好”抛物线的表达式；
（3）若抛物线的“友好”抛物线的解析式为，请直接写出与的关系式．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】根据题意，把问题转化为二次函数问题.
【详解】根据题意，min{x2+1，1-x2}表示x2+1与1-x2中的最小数，
不论x取何值，都有x2+1≥1-x2，
所以y=1-x2；
可知，当x=0时，y=1；当y=0时，x=±1；
则函数图象与x轴的交点坐标为（1，0），（-1，0）；与y轴的交点坐标为（0，1）．
故选C．
【点睛】
考核知识点：二次函数的性质.
2、C
【解析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案．
【详解】∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA＝PB＝6，AC＝EC，BD＝ED，
∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝6+6＝12，
即△PCD的周长为12，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得PA＝PB、AC＝CE和BD＝ED是解题的关键．
3、C
【解析】略
4、D
【分析】根据相反数的概念解答即可．
【详解】2的相反数是-2，
故选D．
5、C
【解析】试题分析：在一个不透明的盒子里有2个红球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到红球的概率是，而其概率为，因此可得=，解得n=8.
故选B．
考点：概率的求法
6、A
【分析】根据相似图形的性质，对各选项分析判断即可得出答案.
【详解】A、任意两个圆，一个圆放大或缩小后能够与另外一个圆重合，所以任意两个圆一定是相似图形，故选A.
B、任意两个等腰三角形，对应边不一定成比例，对应角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误.
C、任意两个菱形，对应边成比例，但对应角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误.
D、任意两个矩形，对应边不一定成比例，对应角都是直角，一定相等，所以也不一定相似，故本选项错误.
故选A.
【点睛】
本题考查了相似图形的概念，灵活运用相似图形的性质是解题的关键.
7、B
【解析】列表得：

1

2

3

4

1

－

2＋1=3

3＋1=4

4＋1=5

2

1＋2=3

－

3＋2=5

4＋2=6

3

1＋3=4

2＋3=5

－

4＋3=7

4

1＋4=5

2＋4=6

3＋4=7

－

∵共有12种等可能的结果，这两个乒乓球上的数字之和大于5的有4种情况，
∴这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为：．故选B．
8、A
【分析】根据比例的性质得到，结合求得的值，代入求值即可．
【详解】解：由a：b＝3：4知，
所以．
所以由得到：，
解得．
所以．
所以．
故选A．
【点睛】
考查了比例的性质，内项之积等于外项之积．若，则．
9、B
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【详解】由题意知：，，
∴原式＝2－（－1）＝3
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则，．
10、C
【分析】根据图中符号所处的位置关系作答．
【详解】解：从立体图形可以看出这X，菱形和圆都是相邻的关系，故B,D错误，当x在上面，菱形在前面时，圆在右边，故A错误，C正确.
故选C.
【点睛】
此题主要考查了展开图折叠成几何体，动手折叠一下，有助于空间想象力的培养．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、.
【分析】连接OB，根据垂径定理和勾股定理即可求出OB，从而求出EC，再根据勾股定理即可求出BC，根据三线合一即可求出BF，最后再利用勾股定理即可求出OF.
【详解】连接OB，
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC，
∴BE＝BD＝6cm，
在Rt△OEB中，OB2＝OE2+BE2，即OB2＝（OB﹣4）2+62，
解得：OB＝，
∴AC=2OA=2OB=13cm
则EC＝AC﹣AE＝9cm，
BC＝＝＝3cm，
∵OF⊥BC，OB=OC
∴BF＝BC＝cm，
∴OF＝＝＝cm，
故答案为．

【点睛】
此题考查的是垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理的结合是解决此题的关键.
12、110∏C㎡
【解析】试题分析：∵圆锥的底面周长为10π，
∴扇形纸片的面积=×10π×14=140πcm1．
故答案为140π．
考点：圆锥的计算．
13、30°或180°或210°
【分析】根据等边三角形的性质，双曲线的轴对称性和中心对称性即可求解．
【详解】根据反比例函数的轴对称性，A点关于直线y=x对称，
∵△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴AO与直线y=x的夹角是15°，
∴a=2×15°=30°时点A落在双曲线上， 根据反比例函数的中心对称性，
∴点A旋转到直线OA上时，点A落在双曲线上，
∴此时a=180°，
根据反比例函数的轴对称性，继续旋转30°时，点A落在双曲线上，
∴此时a=210°；
故答案为：30°或180°或210°．
考点：(1)、反比例函数图象上点的坐标特征；(2)、等边三角形的性质；(3)、坐标与图形变化-旋转．
14、3：1
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比即可得出答案．
【详解】∵两个相似三角形的面积比是9：21
∴两个相似三角形的相似比是3：1
∴对应边上的中线的比为3：1
故答案为：3：1．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
15、
【分析】推出AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA，求出∠ADO=∠BAA1，证△DOA∽△ABA1，得出，求出AB，BA1，求出边长A1C=，求出面积即可；求出第2个正方形的边长是，求出面积，再求出第3个正方形的面积；依此类推得出第n个正方形的边长，求出面积即可．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA，
∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，
∴∠ADO=∠BAA1，
∵∠DOA=∠ABA1，
∴△DOA∽△ABA1，
∴ ，
∵AB=AD=
∴BA1=
∴第2个正方形A1B1C1C的边长A1C=A1B+BC=，
面积是 ；
同理第3个正方形的边长是
面积是；
第4个正方形的边长是 ，面积是
…，
第n个正方形的边长是，面积是
故答案为：
【点睛】
本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，解此题的关键是根据计算的结果得出规律，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目
16、1
【解析】分析：直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b-2c=6，得出答案．
详解：∵，
∴设a=6x，b=5x，c=4x，
∵a+b-2c=6，
∴6x+5x-8x=6，
解得：x=2，
故a=1．
故答案为1．
点睛：此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．
17、
【分析】过点E作EH⊥直线AC于点H，利用AAS定理证明△BCD≌△DEH，设CD=x，利用勾股定理求，然后利用配方法求其最小值，从而使问题得解.
【详解】解：过点E作EH⊥直线AC于点H，

由题意可知：∠EDA+∠BDC=90°，∠BDC+∠DBC=90°
∴∠EDA=∠DBC
又∵∠C=∠EHD，BD=DE
∴△BCD≌△DEH
∴HD=BC=4
设CD=x，则EH=x
AH=
∴在Rt△AEH中，
当x=时，有最小值为
∴AE的最小值为
故答案为：
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，勾股定理及二次函数求最值，综合性较强，正确添加辅助线是本题的解题关键.
18、
【分析】先求出这个口袋里一共有球的个数，然后用红球的个数除以球的总个数即可．
【详解】因为共有5个球，其中红球由3个，
所以从中任意摸出一个球是红球的概率是，
故答案为．
【点睛】
本题考查了概率公式，掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．

三、解答题(共66分)
19、证明见解析.
【分析】由题意利用配方法把二次项系数变形，根据非负数的性质得到＞0，根据一元二次方程的定义证明结论．
【详解】解：利用配方法把二次项系数变形有，
∵（m+1）2≥0，
∴，
因为，所以不论为何值，方程是一元二次方程.
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的概念、配方法的应用，掌握一元二次方程的定义、完全平方公式是解题的关键．
20、（1）直线的解析式为；（2）当的长度最大时，点的坐标为．
【分析】（1）根据题意，先求出点A和点C的坐标，然后利用待定系数法，即可求出答案；
（2）根据题意，利用m表示DE的长度，然后根据二次函数的性质，即可求出点D的坐标.
【详解】解（1）当时，．
，．
点的坐标是．
当时，．
点的坐标是．
设直线的解析式为,
，解得：．
直线的解析式为：．
（2）如图：

设点的横坐标为．
则点的坐标为，点的坐标为．
所以．
∵，
∴当时，线段长度最大．
将代入，
得．
∴当的长度最大时，点的坐标为．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键，解答时，注意待定系数法的灵活运用．
21、（1）证明见解析；（2）AO＝.
【分析】（1）连接OD，利用点D是半圆的中点得出∠AOD与∠BOD是直角，之后通过等量代换进一步得出∠FCE+∠OCD=∠OED+∠ODC=90°从而证明结论即可；
（2）通过得出＝，再证明△ACF∽△CBF从而得出AF＝10，之后进一步求解即可.
【详解】证明：连接OD，

∵点D是半圆的中点，
∴∠AOD=∠BOD=90°.
∴∠ODC+∠OED=90°.
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD.
又∵CF=EF，
∴∠FCE=∠FEC.
∵∠FEC=∠OED，
∴∠FCE=∠OED.
∴∠FCE+∠OCD=∠OED+∠ODC=90°.
即FC⊥OC.
∴FC是⊙O的切线.
（2）∵tanA＝，
∴在Rt△ABC中，＝.
∵∠ACB＝∠OCF＝90°，
∴∠ACO＝∠BCF＝∠A.
∴△ACF∽△CBF，
∴＝＝＝.
∴AF＝10.
∴CF2＝BF·AF.
∴BF＝.
∴AO＝＝.
【点睛】
本题主要考查了圆的切线证明与综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
22、斜拉索顶端A点到海平面B点的距离AB约为93.7米．
【分析】在Rt△ACD和Rt△BCD中，根据锐角三角函数求出AD、BD，即可求出AB．
【详解】如图，

由题意得，在△ABC中，CD=100，∠ACD=30°，∠DCB=20°，CD⊥AB，
在Rt△ACD中，AD=CD•tan∠ACD=100×≈57.73(米)，
在Rt△BCD中，BD=CD•tan∠BCD≈100×0.36≈36(米)，
∴AB=AD+DB=57.73+36=93.73≈93.7(米)，
答：斜拉索顶端A点到海平面B点的距离AB约为93.7米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题问题，掌握锐角三角函数的意义是解题的关键．
23、（1）y＝﹣10x+1；（2）w＝﹣10x2+500x﹣10；（3）销售单价定为 25 元时，每天销售利润最大，最大销售利润 2250 元．
【分析】（1）根据题意得出日销售量y是销售价x的一次函数，再利用待定系数法求出即可；
（2）根据销量×每件利润=总利润，即可得出所获利润W为二次函数；
（3）将（2）中的二次函数化为顶点式，确定最值即可．
【详解】（1）由图表中数据得出y与x是一次函数关系，设解析式为：y=kx+b，
则，
解得：．
故y与x之间的函数关系式为：y=﹣10x+1．
故答案为：y=﹣10x+1．
（2）w 与 x 的函数关系式为：
w=(x﹣10)y
=(x﹣10)(﹣10x+1)
=﹣10x2+500x﹣10；
（3）w=﹣10x2+500x﹣10
=﹣10(x﹣25)2+2250，
因为﹣10＜0，所以当 x=25 时，w 有最大值．w 最大值为 2250，
答：销售单价定为 25 元时，每天销售利润最大，最大销售利润 2250 元．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用及二次函数最大值求法，难度适中，解答本题的关键是根据题意，逐步求解，由易到难，搞清楚这两个函数之间的联系．
24、（1）；；（2）．
【分析】（1）去括号整理后利用因式分解法解方程即可；
（2）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
【详解】(1)去括号得：
移项合并得：
因式分解得：
即：或
∴；
(2)

．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法，特殊角的三角函数值，正确分解因式、熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
25、6cm
【详解】解： ∵EF⊥CE， ∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠ECD+∠DEC=90°，
∴∠AEF=∠ECD．
∵EF=EC
∴Rt△AEF≌Rt△DCE．
∴AE=CD．
∵ DE=1cm，
∴AD=AE+1．
∵矩形ABCD的周长为2 cm，
∴2（AE+AE+1）=2．
解得， AE=6cm．
26、（1）无数；（2）；（3）
【分析】(1)根据题目给的定义即可判断一条抛物线有无数条”友好”抛物线.
(2)先设出L4的解析式,求出L3的坐标轴和顶点坐标,再将顶点坐标代入L4的解析式中即可求解.
(3)根据两个抛物线的顶点都在对方抛物线上,列式求解即可.
【详解】（1）根据“友好”抛物线的定义,只需要确定原函数顶点和抛物线任意一点做“友好”抛物线的顶点即可作出“友好”抛物线,因此有无数条.
∴答案为:无数.
（2）把化为顶点式，得

顶点坐标为，
对称轴为
点坐标为，
点关于对称轴的对称点的坐标为，
设的解析式为，
把代入，得
.
解得.
的“友好”抛物线的表达式为：.
（3）由题意可得:,整理得,(a1+a2)(m-h)2=0,
∵顶点不重合,∴m≠h,
∴.
【点睛】
本题考查二次函数的性质运用,关键在于根据题意规定的方法代入求解.