资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．若关于的方程有两个相等的根，则的值为（ ）
A．10 B．10或14 C．-10或14 D．10或-14
2．已知点，，是抛物线上的三点，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50°，则∠BOD等于（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
4．若关于的方程，它的一根为3，则另一根为（ ）
A．3 B． C． D．
5．下列两个变量成反比例函数关系的是（ ）
①三角形底边为定值，它的面积S和这条边上的高线h；
②三角形的面积为定值，它的底边a与这条边上的高线h；
③面积为定值的矩形的长与宽；
④圆的周长与它的半径．
A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
6．如图，在△ABC中，M，N分别为AC，BC的中点．则△CMN与△CAB的面积之比是( )
A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．1:9
7．反比例函数的图象，当x＞0时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点(2，-4)，若点(4，n)在反比例函数的图象上，则n等于( )
A．﹣8 B．﹣4 C．﹣ D．﹣2
9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=1，与x轴交于A、B（-1,0），与y轴交于C．下列结论错误的是（ ）
A．二次函数的最大值为a+b+c B．4a-2b+c﹤0
C．当y＞0时，-1﹤x﹤3 D．方程ax2+bx+c=-2解的情况可能是无实数解，或一个解，或二个解.
10．对于不为零的两个实数a，b，如果规定a★b，那么函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
11．一次函数y=kx+k（k≠0）和反比例函数在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
12．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机模出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有80次摸到红球，则口袋中红球的个数大约有（ ）
A．8个 B．7个 C．3个 D．2个
二、填空题（每题4分，共24分）
13．在一个布袋中装有四个完全相同的小球，它们分别写有“美”、“丽”、“罗”、“山”的文字．先从袋中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球，求两次摸出的球上是含有“美”“丽”二字的概率为_____．
14．如图所示，个边长为1的等边三角形，其中点，，，，…在同一条直线上，若记的面积为，的面积为，的面积为，…，的面积为，则______.
15．已知抛物线y＝2x2﹣5x+3与y轴的交点坐标是_____．
16．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，当y＜3时，x的取值范围是____．
17．如图，直线y=x+2与反比例函数y=的图象在第一象限交于点P．若OP=，则k的值为________．
18．如图,是正三角形，D、E分别是BC、AC 上的点，当=_______时，~.
三、解答题（共78分）
19．（8分）（1）解方程．
（2）计算：．
20．（8分）已知正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象有一个交点的纵坐标是1．
（Ⅰ）当x＝4时，求反比例函数y＝的值；
（Ⅱ）当﹣1＜x＜﹣1时，求反比例函数y＝的取值范围．
21．（8分）某果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低，若该果园每棵果树产果（千克），增种果树（棵）， 它们之间的函数关系如图所示．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？
22．（10分）如图1，AB、CD是圆O的两条弦，交点为P.连接AD、BC．OM⊥ AD，ON⊥BC，垂足分别为M、N.连接PM、PN.
图1 图2
（1）求证：△ADP ∽△CBP；
（2）当AB⊥CD时，探究PMO与PNO的数量关系，并说明理由；
（3）当AB⊥CD时，如图2，AD=8,BC=6, ∠MON=120°，求四边形PMON的面积.
23．（10分）已知函数y＝mx1﹣（1m+1）x+1（m≠0），请判断下列结论是否正确，并说明理由．
（1）当m＜0时，函数y＝mx1﹣（1m+1）x+1在x＞1时，y随x的增大而减小；
（1）当m＞0时，函数y＝mx1﹣（1m+1）x+1图象截x轴上的线段长度小于1．
24．（10分）我县寿源壹号楼盘准备以每平方米元均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格进行两次下调后，决定以每平方米元的均价开盘销售．
（1）求平均每次下调的百分率．
（2）某人准备以开盘均价购买一套平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案供选择：
①打折销售；
②不打折，一次性送装修费每平方米元．
试问哪种方案更优惠？
25．（12分）如图，四边形中，，平分，点是延长线上一点，且.
（1）证明：；
（2）若与相交于点，，求的长.
26．甲、乙两个不透明的袋子中，分别装有大小材质完全相同的小球，其中甲口袋中小球编号为1、2、3、4，乙口袋中小球编号分别是2、3、4，先从甲口袋中任意摸出一个小球，记下编号为，再从乙袋中摸出一个小球，记下编号为．
（1）请用画树状图或列表的方法表示所有可能情况；
（2）规定：若、都是方程的解时，小明获胜；若、都不是方程的解时，小刚获胜，请说明此游戏规则是否公平？
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】根据题意利用根的判别式，进行分析计算即可得出答案.
【详解】解：∵关于的方程有两个相等的根，
∴，即有，
解得 10或-14.
故选：D.
【点睛】
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程中，当时，方程有两个相等的两个实数根是解答此题的关键．
2、D
【分析】将A，B，C三点坐标分别代入抛物线，然后化简计算即可.
【详解】解：∵点，，是抛物线上的三点，
∴，
，
.
∴
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数图象上点的坐标，将点坐标分别代入关系式，正确运算，求出a，b，c是解题的关键．
3、D
【分析】根据切线的性质得到∠ABC=90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算即可．
【详解】∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°，
∴∠A=90°-∠ACB=40°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=80°，
故选D．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
4、C
【分析】设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得到3+t=2，然后解关于t的一次方程即可．
【详解】设方程的另一根为t，
根据题意得：3+t=2，
解得：t=-1，
即方程的另一根为-1．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：是一元二次方程的两根时，，．
5、C
【分析】根据反比例函数的定义即可判断．
【详解】①三角形底边为定值，它的面积S和这条边上的高线h是成正比例关系，故不符合题意；
②三角形的面积为定值，它的底边a与这条边上的高线h是反比例函数关系；故符合题意；
③面积为定值的矩形的长与宽；是反比例函数关系；故符合题意；
④圆的周长与它的半径，是成正比例关系，故不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数的解析式，解答本题的关键是根据题意列出函数关系式来进行判断，本题属于基础题型．
6、C
【解析】由M、N分别为AC、BC的中点可得出MN∥AB，AB＝2MN，进而可得出△ABC∽△MNC，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】∵M、N分别为AC、BC的中点，∴MN∥AB，且AB＝2MN，∴△ABC∽△MNC，∴（）2＝．
故选C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，根据三角形中位线定理结合相似三角形的判定定理找出△ABC∽△MNC是解题的关键．
7、C
【分析】根据反比例函数的性质直接判断即可得出答案．
【详解】∵反比例函数y=中，当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴k-1＞0，
解得k＞1．
故选C．
【点睛】
本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=（k≠0）中，当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解答此题的关键．
8、D
【解析】利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4n=1×(-4)，然后解关于n的方程即可．
【详解】∵点（1，-4）和点（4，n）在反比例函数y=的图象上，
∴4n=1×(-4)，
∴n=-1．
故选D．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
9、D
【分析】A. 根据对称轴为时，求得顶点对应的y的值即可判断；
B. 根据当时，函数值小于0即可判断；
C. 根据抛物线与轴的交点坐标即可判断．
D. 根据抛物线与直线的交点情况即可判断.
【详解】A.∵当时，，根据图象可知，，正确．不符合题意；
B.∵当时，，根据图象可知，，正确．不符合题意；
C.∵抛物线是轴对称图形，对称轴是直线，点，所以与轴的另一个交点的坐标为，根据图象可知：当时，，正确．不符合题意；
D. 根据图象可知：抛物线与直线有两个交点，∴关于的方程有两个不相等的实数根，本选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数与系数的关系、根的判别式、抛物线与x轴的交点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
10、C
【分析】先根据所给新定义运算求出分段函数解析式，再根据函数解析式来判断函数图象即可.
【详解】解：∵a★b，
∴
∴当x>2时，函数图象在第一象限且自变量的值不等于2，当x≤2时，是反比例函数，函数图象在二、四象限.
故应选C.
【点睛】
本题考查了分段函数及其图象，理解所给定义求出分段函数解析式是解题的关键.
11、C
【解析】A、由反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，由一次函数的图象过二、四象限可知k＜0，两结论相矛盾，故选项错误； B、由反比例函数的图象在二、四象限可知k＜0，由一次函数的图象与y轴交点在y轴的正半轴可知k＞0，两结论相矛盾，故选项错误；C、由反比例函数的图象在二、四象限可知k＜0，由一次函数的图象过二、三、四象限可知k＜0，两结论一致，故选项正确；D、由反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，由一次函数的图象与y轴交点在y轴的负半轴可知k＜0，两结论相矛盾，故选项错误，
故选C．
12、A
【分析】根据利用频率估计概率可估计摸到红球的概率，即可求出红球的个数．
【详解】解：∵共摸了100次球，发现有80次摸到红球，
∴摸到红球的概率估计为0.80，
∴口袋中红球的个数大约10×0.80=8（个），
故选：A．
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率的知识，属于常考题型，掌握计算的方法是关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、
【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸出的球上是写有“美丽”二字的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）用1、2、3、4别表示美、丽、罗、山，画树形图如下：
由树形图可知，所有等可能的情况有16种，其中“1，2”出现的情况有2种，
∴P（美丽）．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14、
【分析】由n+1个边长为1的等边三角形有一条边在同一直线上，则B,B1，B2，B3，…Bn在一条直线上，可作出直线BB1．易求得△ABC1的面积，然后由相似三角形的性质，易求得S1的值，同理求得S2的值，继而求得Sn的值．
【详解】如图连接BB1，B1B2，B2B3；
由n+1个边长为1的等边三角形有一条边在同一直线上，则B,B1, B2，B3，…Bn在一条直线上．
∴S△ABC1=×1×=
∵B B1∥AC1，
∴△ BD1B1∽ △ AC1D1，△BB1C1为等边三角形
则C1D1=BD1=；，△C1B1D1中C1D1边上的高也为；
∴S1=××=；
同理可得；
则=,
∴S2=××=；
同理可得：；
∴=，
Sn=××=．
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
15、（0,3）
【分析】要求抛物线与y轴的交点，即令x=0，解方程即可．
【详解】解：令x=0，则y=3，即抛物线y=2x2-5x+3与y轴的交点坐标是（0，3）．
故答案为（0，3）．
【点睛】
本题考查了抛物线与y轴的交点．求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与y轴的交点坐标，令x=0，即可求得交点纵坐标．
16、－1＜x＜3
【分析】根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x的取值范围即可．
【详解】解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x＜3时，y＜3，
故答案为：－1＜x＜3.
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式和二次函数的对称性，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．
17、3
【分析】已知直线y=x+2与反比例函数y=的图象在第一象限交于点P，设点P的坐标为(m,m+2)，根据OP=，列出关于m的等式，即可求出m，得出点P坐标，且点P在反比例函数图象上，所以点P满足反比例函数解析式，即可求出k值．
【详解】∵直线y=x+2与反比例函数y=的图象在第一象限交于点P
∴设点P的坐标为(m,m+2)
∵OP=
∴
解得m1=1，m2=-3
∵点P在第一象限
∴m=1
∴点P的坐标为(1,3)
∵点P在反比例函数y=图象上
∴
解得k=3
故答案为：3
【点睛】
本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，交点坐标同时满足一次函数和反比例函数解析式，根据直角坐标系中点坐标的性质，可利用勾股定理求解．
18、60°
【分析】由△ABC是正三角形可得∠B=60°，又由△ABD∽△DCE，根据相似三角形的对应角相等，即可得∠EDC=∠BAD，然后利用三角形外角的性质，即可求得∠ADE的度数
【详解】∵△ABC是正三角形，
∴∠B=60°，
∵△ABD∽△DCE，
∴∠EDC=∠BAD，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，
∴∠ADE=∠B=60°，
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中．
三、解答题（共78分）
19、（1），；（2）．
【分析】（1）根据题意直接运用公式法解一元二次方程即可；
（2）根据题意运用幂的运算以及特殊锐角三角函数进行计算即可.
【详解】解：（1）由题意可知，
，.
（2）
．
【点睛】
本题考查解一元二次方程以及实数的运算，熟练掌握实数运算法则以及解一元二次方程的解法是解本题的关键．
20、（Ⅰ）1；（Ⅱ）﹣4＜y＜﹣1．
【解析】（Ⅰ）首先把y＝1代入直线的解析式，求得交点坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，最后把x＝4代入求解；
（Ⅱ）首先求得当x＝﹣1和x＝﹣1时y的值，然后根据反比例函数的性质求解．
【详解】解：（Ⅰ）在y＝x中，当y＝1时，x＝1，则交点坐标是（1，1），
把（1，1）代入y＝，得：k＝4，
所以反比例函数的解析式为y＝，
当x＝4，y＝＝1；
（Ⅱ）当x＝﹣1时，y＝＝﹣1；
当x＝﹣1时，y＝＝﹣4，
则当﹣1＜x＜﹣1时，反比例函数y＝的范围是：﹣4＜y＜﹣1．
【点睛】
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及反比例函数的增减性，两函数的交点即为同时满足两函数解析式的点，其中用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．
21、（1）；（2）增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克.
【分析】（1）设，将点（12，74）、（28，66）代入即可求出k与b的值，得到函数关系式；
（2）根据题意列方程，求出x的值并检验即可得到答案.
【详解】（1）设，将点（12，74）、（28，66）代入，得
，解得，
∴y与x的函数关系式为；
（2）由题意得： ，
解得： ， ，
∵投入成本最低，
∴x=10，
答：增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克.
【点睛】
此题考查待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，正确理解题意中的x、y的实际意义是解题的关键.
22、（1）证明见解析；（2）PMO=PNO，理由见解析；（3）S平行四边形PMON=6
【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等即可证明相似,（2）由OM⊥ AD，ON⊥BC得到M、N为AB、CD的中点，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可解题,（3）由三角形中位线性质得∠QBC=90°,进而证明∠QCB=∠PBD,得到四边形MONP为平行四边形即可解题.
【详解】（1）因为同弧所对的圆周角相等，所以∠A=∠C, ∠D=∠B,所以△ADP∽△CBP.
（2）PMO=PNO
因为OM⊥ AD，ON⊥BC，
所以点M、N为AB、CD的中点，
又AB⊥CD，
所以PM=AD,PN=BC，
所以，∠A=∠APM，∠C=∠CPN，
所以∠AMP=∠CNP,得到PMO与PNO.
（3）连接CO并延长交圆O于点Q，连接BD.
因为AB⊥CD，AM=AD,CN=BC，
所以PM=AD,PN=BC.
由三角形中位线性质得，ON=.
因为CQ为圆O直径，所以∠QBC=90°，
则∠Q+∠QCB=90°，
由∠DPB=90°，得∠PDB+∠PBD=90°，而∠PDB=∠Q，
所以∠QCB=∠PBD,所以BQ=AD，
所以PM=ON.
同理可得，PN=OM.所以四边形MONP为平行四边形.
S平行四边形PMON=6
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质,圆的基本知识,圆周角的性质,直角三角形的性质,平行四边形的判定,综合性强,熟悉圆周角的性质是求解（1）的关键,利用斜边中线等于斜边一半这一性质是求解（2）的关键,证明四边形MONP为平行四边形是求解（3）的关键.
23、（1）详见解析；（1）详见解析．
【分析】（1）先确定抛物线的对称轴为直线x＝1+，利用二次函数的性质得当m＞1+时，y随x的增大而减小，从而可对（1）的结论进行判断；
（1）设抛物线与x轴的两交的横坐标为x1、x1，则根据根与系数的关系得到x1+x1＝，x1x1＝，利用完全平方公式得到|x1﹣x1|＝＝＝|1﹣|，然后m取时可对（1）的结论进行判断．
【详解】解：（1）的结论正确．理由如下：
抛物线的对称轴为直线，
∵m＜0，
∴当m＞1+时，y随x的增大而减小，
而1＞1+，
∴当m＜0时，函数y＝mx1﹣（1m+1）x+1在x＞1时，y随x的增大而减小；
（1）的结论错误．理由如下：
设抛物线与x轴的两交的横坐标为x1、x1，则x1+x1＝，x1x1＝，
|x1﹣x1|＝
＝
＝
＝
＝|1﹣|，
而m＞0，
若m取时，|x1﹣x1|＝3，
∴当m＞0时，函数y＝mx1﹣(1m+1)x+1图象截x轴上的线段长度小于1不正确．
【点睛】
本题考查了二次函数的增减性问题，与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24、（1）10%；（2）选择方案①更优惠．
【分析】（1）此题可以通过设出平均每次下调的百分率为，根据等量关系“起初每平米的均价下调百分率）下调百分率）两次下调后的均价”，列出一元二次方程求出．
（2）对于方案的确定，可以通过比较两种方案得出的费用：①方案：下调后的均价两年物业管理费②方案：下调后的均价，比较确定出更优惠的方案．
【详解】解：（1）设平均每次降价的百分率是，依题意得
，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：平均每次降价的百分率为．
（2）方案①购房优惠：4050×120×(1-0.98)=9720(元)
方案②购房优惠：70×120=8400(元)
9720(元)＞8400(元)
答：选择方案①更优惠．
【点睛】
本题结合实际问题考查了一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系从而列出函数关系式是解题的关键．
25、（1）详见解析；（2）
【分析】（1）直接利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出∠BDC=∠PDC；
（2）首先过点C作CM⊥PD于点M，进而得出△CPM∽△APD，求出EC的长即可得出答案．
【详解】解：（1）：∵，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2） 过点作于点，
∵，∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，∴，
∵，
∴，
解得：，
∴.
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，正确得出△CPM∽△APD是解题关键．
26、（1）见解析；（2）两人获胜机会不均等，此游戏规则不公平
【分析】（1）根据画树形图即可表示出所有可能出现的结果；
（2）先解方程，再分别求出两个人赢的概率，再进行判断即可．
【详解】（1）列出树状图：
（2）解方程可得，．
∴（、都是方程的根）．
（、都不是方程的根）．
∴两人获胜机会不均等，此游戏规则不公平．
【点睛】
本题考查的是游戏公平性的判断，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
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