青岛版八年级数学上册各章知识要点归纳.pdf

青岛版八年级数学上册知识要点青岛版八年级数学上册知识要点多边形多边形多边形的对角线多边形的对角线多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.如图 2，BD 为四边形 ABCD 的一条对角线。要点诠释：要点诠释：(1)从 n 边形一个顶点可以引(n3)条对角线，将多边形分成(n2)个三角形。(2)n 边形共有条对角线。多边形的内角和公式多边形的内角和公式公式：公式：边形的内角和为.可见多边形内角和与边数 n 有关，每增加 1 条边，内角和增加 180。多边形的外角和公式多边形的外角和公式公式：公式：多边形的外角和等于 360.它与边数的多少无关。全等三角形全等三角形一、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。2、全等三角形有哪些性质（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。3、全等三角形的判定边边边边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)边角边边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)角边角角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”)角角边角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”)斜边斜边.直角边直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”)4、证明两个三角形全等时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”5、全等变换只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。全等变换包括一下三种：（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。（2）对称变换：将图形沿某直线翻折 180，这种变换叫做对称变换。（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。轴对称轴对称一、轴对称图形1.把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。2.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点3 3、轴轴对对称称图图形形和和轴轴对对称称的的区区别别与与联联系系轴轴对对称称图图形形轴轴对对称称区区别别联联系系图图形形(1 1)轴轴对对称称图图形形是是指指()具具 有有特特殊殊形形状状的的图图形形,只只对对()图图形形而而言言;(2 2)对对称称轴轴()只只有有一一条条(1 1)轴轴对对称称是是指指()图图形形的的位位置置关关系系,必必须须涉涉及及()图图形形;(2 2)只只有有()对对称称轴轴.如如果果把把轴轴对对称称图图形形沿沿对对称称轴轴分分成成两两部部分分,那那么么这这两两个个图图形形就就关关于于这这条条直直线线成成轴轴对对称称.如如果果把把两两个个成成轴轴对对称称的的图图形形拼拼在在一一起起看看成成一一个个整整体体,那那么么它它就就是是一一个个轴轴对对称称图图形形.BCACBAABC一一个个一一个个不不一一定定两两个个两两个个一一条条知识回顾：4.轴对称的性质 关于某直线对称的两个图形是全等形。如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。5、用坐标表示轴对称小结：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为_.点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为_.等腰三角形等腰三角形1.等腰三角形的性质.等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）.等腰三角形底边上的高、底边上的中线及顶角平分线重合。（三线合一）2、等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）（2）等腰三角形的其他性质：等腰直角三角形的两个底角相等且等于 45等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。等腰三角形的三边关系：设腰长为 a，底边长为 b，则2ba等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为A，底角为B、C，则A=1802B，B=C=2180A等边三角形等边三角形1.等边三角形的性质：等边三角形的每一个角都等于 60。2、等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形。有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形。三角形中的中位线三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。（2）要会区别三角形中线与中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系：可以证明线段的倍分关系。常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：结论 1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。结论 3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。结论 5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。因式分解因式分解一回顾知识点 1、主要知识回顾：幂的运算性质：amanamn （m、n 为正整数）1同底数幂相乘，底数不变，指数相加 2 nma amn （m、n 为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘 nnnbaab （n 为正整数）3积的乘方等于各因式乘方的积 4nmaa amn （a0，m、n 都是正整数，且 mn）同底数幂相除，底数不变，指数相减 5零指数幂的概念：6a a0 01 1 （a0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于 l负指数幂的概念：a ap ppa1 （a0，p 是正整数）7任何一个不等于零的数的p（p 是正整数）指数幂，等于这个数的 p 指数幂的倒数也可表示为：ppnmmn （m0，n0，p 为正整数）3、因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解 熟练掌握因式分解的常用方法熟练掌握因式分解的常用方法1、提公因式法提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：系数一各项系数的最大公约数；字母各项含有的相同字母；指数相同字母的最低次数；2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：平方差公式：（ab）（ab）a2b2完全平方公式：（ab）2a22abb2 （ab）2a22abb23.十字相乘法分式分式知识点一：分式的定义知识点一：分式的定义一般地，如果 A，B 表示两个整数，并且 B 中含有字母，那么式子BA叫做分式，A为分子，B 为分母。知识点二：与分式有关的条件知识点二：与分式有关的条件分式有意义：分母不为 0（0B）分式无意义：分母为 0（0B）分式值为 0：分子为 0 且分母不为 0（00BA）分式值为正或大于 0：分子分母同号（00BA或00BA）分式值为负或小于 0：分子分母异号（00BA或00BA）分式值为 1：分子分母值相等（A=B）分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）知识点三：分式的基本性质知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变。字母表示：CBCABA，CBCABA，其中 A、B、C 是整式，C0。分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即BBABBAAA注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C0 这个限制条件和隐含条件 B0。知识点四：分式的约分知识点四：分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。注意：分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。知识点四：最简分式的定义一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。知识点五：分式的通分知识点五：分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。确定最简公分母的一般步骤：取各分母系数的最小公倍数；单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。知识点六分式的四则运算与分式的乘方知识点六分式的四则运算与分式的乘方 分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。dbcadcba分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。ccbdadbadcba 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。nnnbaba 分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。cbacbca异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。bdbcaddcba整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为 1 的分式，再通分。分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。知识点七分式方程的解的步骤知识点七分式方程的解的步骤去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）解整式方程，得到整式方程的解。检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为 0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为 0，则是原方程的解。产生增根的条件是：是得到的整式方程的解；代入最简公分母后值为 0。知识点八列分式方程知识点八列分式方程基本步骤 找出等量关系。设合理设未知数。列根据等量关系列出方程（组）。解解出方程（组）。注意检验 写答。3 3、比和比例：、比和比例：（1 1）比）比：两个数 a 与 b（b0）相除，叫做 a 与 b 的比，记作 ab 或。ba 其中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。(2)2)比例比例：表示两个比相等的式子叫做比例式，简称比例。比例 a:b=c:d 可以写成的形式，其中 a 与 d 叫做比例外项，b 与 c 叫做比例ba内项。（3）比例的基本性质比例的基本性质：如果 a：b=c：d，那么 ad=bc(bd0)，即：比例的两内项之积等于两外项之积。（4）连比连比：一般地，如果第一个数与第二个数的比是 a:b，第二个数与第三个数的比是 b:c，那么可以将这三个数的比写成 a:b:c,称 a:b:c 是三个数a，b，c 的连比。数据的分析数据的分析1、普查：、普查：为了特定目的对全部考察对象进行的全面的调查叫做普查。2、总体，个体，样本，样本容量总体，个体，样本，样本容量：被考察的对象的全体叫做总体，组成总体的每一个被考察的对象叫做个体。从总体中抽取的一部分个体组成总体的一个样本。样本中个体的数量叫做样本容量。3 3、抽样调查、抽样调查：从总体中抽取部分个体，根据对这一部分个体的调查，估计被考察对象的整体情况，这种调查叫做抽样调查。4、平均数、平均数：把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商。平均数反映一组数据的平均水平，平均数分为算术平均数和加权平均数。用符号 X 表示，读做“x 拔”。权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。算术平均数公式 平均数的性质：如果数据，的平均数为，1x2xx则+a,+a，+a的平均数为+a ，1x2x3xxk，k，k的平均数为 k。1x2xx加权平均数公式：5 5、中位数和众数、中位数和众数将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数6.方差公式 方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。1角平分线的性质定理及判定理：（1）在角平分线上的点到角的两边距离相等；（如图）（2）到角的两边距离相等的点在角平分线上.（如图）AOBCDE几何表达式举例：(1)OC 平分AOBCDOA，CEOB CD=CE(2)CDOA CEOBCD=CEOC 是角平分线2线段垂直平分线的性质定理及逆定理：（1）线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（如图）（2）和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（如图）ABCMNP几何表达式举例：(1)MN 是线段 AB 的垂直平分线 PA=PB (2)PA=PB点 P 在线段 AB 的垂直平分线上3关于轴对称的定理（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（如图）（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.（如图）几何表达式举例：(1)ABC、EGF 关于MN 轴对称ABCEGF(2)ABC、EGF 关于MN 轴对称OA=OE MNAE4Rt 斜边中线定理及逆定理：（1）直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半；（如图）（2）如果三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.（如图）DABC几何表达式举例：ABC 是直角三角形D 是 AB 的中点CD=AB21(2)CD=AD=BDABC 是直角三角形四边形四边形 EFMOABCNGABCD1 1四边形的内角和与外角和定理：四边形的内角和与外角和定理：（1 1）四边形的内角和等于）四边形的内角和等于 360360；（2 2）四边形的外角和等于）四边形的外角和等于 360.360.2 2平行四边形的性质：平行四边形的性质：ABCDABCD 是平行四边形是平行四边形）对角线互相平分；4（）两组对角分别相等；3（）两组对边分别相等；2（）两组对边分别平行；1（3.3.平行四边形的判定：平行四边形的判定：.是平行四边形）两组对边分别平行4（）对角线互相平分3（）两组对边分别相等2（）一组对边平行且相等1（ABCD4.4.矩形的性质：矩形的性质：因为因为 ABCDABCD 是矩形是矩形四边形有一个角是直角的平行)4(.）对角线相等3（;）四个角都是直角2（;有通性）具有平行四边形的所1（5.5.矩形的判定：矩形的判定：四边形四边形 ABCDABCD 是矩形是矩形.边形）对角线相等的平行四（）三个角都是直角（一个直角）平行四边形（3216 6菱形的性质：菱形的性质：因为因为 ABCDABCD 是菱形是菱形 行四边形）有一组邻边相等的平4（.）对角线互相垂直3（）四个边都相等；2（有通性；）具有平行四边形的所1（S S菱形菱形 =ab=ch.ab=ch.21（a a、b b 为菱形的对角线为菱形的对角线 ,c,c 为菱形的边长为菱形的边长 ，h h 为为 c c 边上的高）边上的高）7 7菱形的判定：菱形的判定：四边形四边形四边形四边形 ABCDABCD 是菱形是菱形.边形）对角线垂直的平行四（）四个边都相等（一组邻边等）平行四边形（3218 8正方形的性质：正方形的性质：因为因为 ABCDABCD 是正方形是正方形 直平分）对角线相等且互相垂3（角都是直角；）四个边都相等，四个2（有通性；）具有平行四边形的所1（9 9正方形的判定：正方形的判定：四边形四边形 ABCDABCD 是正方形是正方形.一组邻边等矩形）（一个直角）菱形（一个直角一组邻边等）平行四边形（32110.10.平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.1常见图形中，仅是轴对称图形的有：角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形 ABDOCCDBAOABDOCCDBAOADBCOADBCO；仅是中心对称图形的有：平行四边形 ；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆 .注意：线段有两条对称轴.2三角形能否成立的条件是：最长边另两边之和.3如图，双垂图形中，有个重要的性质，即：（2）1=B，2=A.ABCD124三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.5几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.6作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.几何重要图形和辅助线几何重要图形和辅助线（1）选取和作辅助线的原则：构造特殊图形，使可用的定理增加；聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角；2 2（2）已知角平分线.（若 BD 是角平分线）在 BA 上截取 BE=BC 构造全等，转移线段和角；BCDAE 过 D 点作 DEBC 交 AB 于 E，构造等腰三角形.BCDAE（3）已知三角形中线（若 AD 是 BC 的中线）过 D 点作 DEAC 交 AB于 E，构造中位线；ADECB 延长 AD 到 E，使DE=AD 连结 CE 构造全等，转移线段和角；ADECB AD 是中线 SABD=SADC（等底等高的三角形等面积）ADCB(4)已知等腰三角形 ABC 中，AB=AC 作等腰三角形 ABC 底边的中线AD（顶角的平分线或底边的高）构造全等三角形；ADCB 作等腰三角形 ABC 一边的平行线 DE，构造新的等腰三角形.EADCBEADCB（5）其它作等边三角形 ABC 一边 的平行线 DE，构造新的等边三角形；DACBE 作 CEAB，转移角；CEBDA 延长 BD 与 AC 交于 E，不规则图形转化为规则图形；CBADEADOBCE多边形转化为三角形；延长 BC 到 D，使CD=BC，连结 AD，直角三角形转化为等腰三角形；BCDA 若 ab,AC,BC 是角平分线,则C=90.BACab