函数及其表示与性质.doc

学生：______ 科目： 教师：______ 第 阶段第 次课 时间:20__年___月___日___ _段
一、授课目的与考点分析：

二、授课内容：
知识点：函数的概念、映射、函数的定义域和值域
重点
难点
1.正确理解映射的概念；
2.函数相等的两个条件；
3.求函数的定义域和值域。
一．教学过程：
1. 熟练掌握函数的概念和映射的定义；
2. 能够根据已知条件求出函数的定义域和值域；
3. 掌握函数的三种表示方法。
二．教学内容：
1．函数的定义
设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：

其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合叫值域（range）。显然，值域是集合B的子集。
注意：
① “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；
②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．
2.构成函数的三要素
定义域、对应关系和值域。
3、映射的定义
设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意
一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B为从
集合A到集合B的一个映射。
4. 区间及写法：
设a、b是两个实数，且a<b，则：
（1） 满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；
（2） 满足不等式的实数x的集合叫做开区间，表示为（a,b）；
（3） 满足不等式的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为；
这里的实数a和b都叫做相应区间的端点。
符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。我们把满足的实数x的集合分别表示为
。
5.函数的三种表示方法
①解析法
②列表法
③图像法
判断两函数是否为同一个函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。
例1． 试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1），；
（2），
（3），；
（4），
（5），（n∈N*）；
考点3：求函数解析式
方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；
（2）若已知复合函数的解析式，则可用换元法或配凑法；
（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出
题型1：用待定系数法求函数的解析式
例1.已知函数是一次函数,且,求表达式.
例2.已知是一次函数且（ ）
A． B． C． D．
例3.二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)解不等式f (x)＞2x＋5.
例4.已知g(x)＝－x2－3，f(x)是二次函数，当x∈[－1,2]时，f(x)的最小值为1，且f (x)＋g(x)为奇函数，求函数f(x)的表达式．
题型2：由复合函数的解析式求原来函数的解析式
例1．已知二次函数满足，求
例2.已知_____________。
例3．已知=，则的解析式可取为
题型3：求抽象函数解析式
例1．已知函数满足，求
例2、已知：，求表达式.
例3.设函数与的定义域是且,是偶函数, 是奇函数,且,求和的解析式.
考点4：求函数的定义域
题型1：求有解析式的函数的定义域
（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注意：① 分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③ 偶次根式中被开方数应为非负数；④ 零指数幂中，底数不等于0；⑤ 负分数指数幂中，底数应大于0；⑥ 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦ 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。
例1.函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
例2、函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
题型2：求复合函数和抽象函数的定义域
例1．已知的定义域是，求函数的定义域
例2．已知的定义域是（-2，0），求的定义域
例3、已知函数的定义域为[-2，3]，则的定义域是_________
考点5：求函数的值域
1． 求值域的几种常用方法
（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，
例1、
例2、 （1） （2） （3）
（2）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数的值域
例3、 例4、
（3） 换元法：通过等价转化换成常见函数模型，例如二次函数
例5、 例6、
（4）分段函数分别求函数值域，
例7、
例8、函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
（5）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。 如求函数的值域
例9、
例10、设函数的定义域为，值域为，那么 （ ）

，
，
（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域
（9）对勾函数法 像y=x+，（m>0）的函数，m<0就是单调函数了
三种模型：（1）如，求（1）单调区间（2）x的范围[3,5]，求值域
（3）x [-1,0 )(0,4],求值域
（2）如 ，求（1）[3,7]上的值域 （2）单调递增区间（x0或x4）
函数的基本性质
（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。
（2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．
（3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。
（1）判断或证明函数的单调性；
（2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。
一、 函数的单调性
1．单调函数的定义
（1）增函数：一般地，设函数的定义域为：如果对于属于内某个区间上的任意两个自变量的值、,当时都有，那么就说在这个区间上是增函数。
（2）减函数：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值、,当时都有，那么就说在这个区间上是减函数。
（3）单调性：如果函数在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做的单调区间。
2、单调性的判定方法
（1）定义法：
判断下列函数的单调区间：
（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。
（3）复合函数的单调性的判断：
设，，，都是单调函数，则在上也是单调函数。
①若是上的增函数，则与定义在上的函数的单调性相同。
②若是上的减函数，则与定义在上的函数的单调性相同。
即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的
单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）
练习：（1）函数的单调递减区间是 ，单调递增区间为 ．
（2）的单调递增区间为 ．
3、函数单调性应注意的问题：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．
②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．
③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数
4．例题分析
证明：函数在上是减函数。
证明：设任意，∈（0，+∞）且，
则，
由，∈（0，+∞），得，又，得，
∴，即
所以，在上是减函数。
说明：一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：不能说
是原函数的单调递减区间；
练习：1．．根据单调函数的定义，判断函数的单调性。
2．根据单调函数的定义，判断函数的单调性。
二、函数的奇偶性
1．奇偶性的定义：
（1）偶函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。例如：函数, 等都是偶函数。
（2）奇函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数。例如：函数，都是奇函数。
（3）奇偶性：如果函数是奇函数或偶函数，那么我们就说函数具有奇偶性。
说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：
（1）其定义域关于原点对称；
（2） 或必有一成立。
因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算，看是等于还是等于，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。
（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。
（4）函数既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足也满足。
（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于轴对称，反过来，如果一个函数的图形关于轴对称，那么这个函数是偶函数。
（6）奇函数若在时有定义，则．
2、函数的奇偶性判定方法
（1）定义法
（2）图像法
（3）性质罚
3．例题分析：
判断下列函数的奇偶性：
（1） （ ） （2）（ ）
说明：在判断与的关系时，可以从开始化简；也可以去考虑或；当不等于0时也可以考虑与1或的关系。
五．小结：1．函数奇偶性的定义；
2．判断函数奇偶性的方法；
3．特别要注意判断函数奇偶性时，一定要首先看其定义域是否关于原点对称，否则将会导致结论错误或做无用功。
二、函数的最大值或最小值
经典例题
1．下面说法正确的选项 （ ）
A．函数的单调区间可以是函数的定义域
B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间
C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称
D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象
2．在区间上为增函数的是 （ ）
A． B．
C． D．
3．函数是单调函数时，的取值范围 （ ）
A． B． C ． D．
4．如果偶函数在具有最大值，那么该函数在有 （ ）
A．最大值 B．最小值 C ．没有最大值 D． 没有最小值
课后作业
1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是 （ ）
A．y=2x＋1 B．y=3x2＋1
C．y= D．y=2x2＋x＋1
2．函数y=(x－1)-2的减区间是___ _．
3．偶函数在上单调递增，则从小到大排列的顺
序是 ；
4．已知是R上的偶函数，当时，，求的解析式。
5．（12分）判断下列函数的奇偶性
①； ②；

三、本次课后作业：
四、学生对于本次课的评价：
○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差
学生签字：
五、教师评定：
1、 学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差
2、 学生本次上课情况评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差
教师签字：
教研组签字： 教务处签字：
教务处盖章：
20 年 月 日
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