必修一函数及其表示讲义.doc

1.2.1 函数及其表示
一、映射
根据题意填空。

（1） （2） （3） （4）
映射概念：一般地，设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B是集合A到集合B的映射。
如上图：________________是映射。

象与原象：给定一个集合A到集合B的映射，且∈A，∈B，如果元素和元素对应，那么我们把元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象。
注意：（1）集合A、B、对应关系是一个整体；（2）对应关系有“方向”，强调从A到B；（3）集合A中元素在集合B中都有象并且是唯一的，这个唯一性是构成映射的核心；（4）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个，集合B中元素对应集合A中的元素可能不止一个。对应可以为“一对一”或“多对一”，但不能是“一对多”；（5）集合B中的元素在A中不一定有原象。（6）如果A有m个元素，B有n个元素，则从集合A中到集合B的映射（不加限制）有个。
例1：设集合A＝N＋，B＝N＋，对应关系f：x→y＝2x，则
（1）集合A中元素2所对应的象是______________。
（2）集合B中元素2所对对应的原象是__________。
【解析】：（1）4（2）1
变式练习：设f：A→B是从集合A到集合B的映射，A＝B＝{(x，y)｜x∈R，y∈R}，若f：（x，y）→（x－y，x＋y）
（1）求集合A中元素（－1，2）在集合B中对应的元素_______________。
（2）求集合B中元素（－1，2）在集合A中对应的元素_______________。
【解析】：（1）(－3，1) （2）(，)
二、函数
（一）、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y＝f(x)，x∈A。
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（集合）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)｜x∈A }叫做函数的值域（集合）。
定义域、值域与对应关系f统称为函数的三要素。

例2：x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
下面哪一个图形可以作为函数的图象（ ）

A B C D
【解析】：B
变式练习：设A＝{x｜0≤x≤2}，B＝{y｜1≤y≤2}，如下图，能表示从集合A到集合B的映射是（ ）
1
2
1
2
A
1
2
1
2
B
1
2
1
2
C
1
2
1
2
D

【解析】：D

（二）区间的概念：设，是两个实数，而且＜我们规定：（1）满足不等式≤x≤的实数x的集合叫做闭区间，表示为[，]；（2）满足不等式＜x＜的实数x的集合叫做开区间，表示为(，)；（3）满足不等式≤x＜或＜x≤的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为左闭右开和左开右闭区间。
定 义
符 号

定 义
名 称
符 号
数轴表示

（三）、函数的定义域：自变量x的取值范围。
1、简单函数定义域的类型及求法：
（1）分式函数中分母不等于零；
（2）偶次根式函数被开方式大于或等于0；
（3）一次函数、二次函数的定义域为R；
（4）y＝ (＞0且≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为R；
（5）y＝tan x的定义域为{x｜x∈R且x≠k＋，k∈Z}；
（6）对数函数的定义域是真数大于0；
（7）函数f(x)＝的定义域与指数的关系，对于不同的值，定义域不同。
（8）由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求。
2、对于抽象函数定义域的求法：
（1）若已知函数f(x)的定义域为[，]，则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式≤g(x) ≤求出；
（2）若已知函数f[g(x)]的定义域为[，]，则f(x)的定义域为g(x)在[，]上的值域。

例3：求下列函数的定义域。
（1）f(x)＝ （2）f(x)＝ （3）f(x)＝＋

（4）f(x)＝ （6）f(x)＝

【解析】：（1）x≥－ （2）x≠－（3）x≥－1且x≠3
（4）x≥－2或x≤3－（5）－4＜x＜1
变式练习1：设A＝{x︱y＝}，B＝{x︱y＝}，则A∩B＝______。
【解析】：
变式练习2：函数f(x)＝的定义域为_____________。
【解析】：(2k－，2k＋)，k∈Z
变式练习3：设A＝{x︱y＝}，B＝{x︱y＝}，则A∩B＝______。
【解析】：A＝(2k，2k＋)，B＝[－4，3]，则A∩B＝

例4：已知等腰三角形的周长为20，请将底边y表示为腰x的函数，并写出x的取值范围。
【解析】y＝20－2x，5＜x＜10
5＜x＜10

例5：（1）已知函数f(x)的定义域为[1，4]，则f (x＋2)的定义域为______________。

（2）已知函数f(2x＋1)的定义域为(－1，0)，则f(x)的定义域为____________。

【解析】（1）∵1≤x＋2≤4，∴－1≤x≤2
（2）∵－1＜x＜0，∴－2＜2x＜0，∴－1＜2x＋1＜1

变式练习：（1）已知函数f(x)的定义域为[－5，5]，则f (3－2x)的定义域为_______。
（2）已知函数f(x＋1)的定义域为[0，3]，则f(x2)的定义域为_______。
【解析】（1）[－1，4]，（2）0≤x≤3，1≤x＋1≤4，1≤x2≤4，则－2≤x≤－1或1≤x≤2

例6：下列说法中正确的是( )
A：y＝f(x)与y＝f(t)表示同一个函数
B：y＝f(x)与y＝f(x＋1)不可能是同一函数
C：f(x)＝1与f(x)＝x0表示同一函数
D：定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数
【解析】A
变式练习：判断下列各组函数，哪些是同一函数
（1）f(x)＝x 与g (x)＝ （2）f(x)＝x 与g(x)＝
（3）f(x)＝｜x｜与g(x)＝ （4）f(x)＝x2 与g (x)＝(x＋1)2
（5）f(x)＝x 与g(x)＝ （6）f(x)＝与g (x)＝x－1
（7）f(x)＝x2－2x＋1 与g(t)＝t2－2t＋1

例7：已知函数f(x)＝x2－2x－3，求
（1）f(1)，f(2)
（2）f()，f(＋1)
（3）f(－1)，f[f(－1)]，f [f(－2) ]
（4）若g(x)＝，则求f[g(x)] 和 g[f(x)]

变式练习1：已知函数f(x)＝，求
（1）计算：f (1)，f (2)，f ()
（2）计算：f (1)＋f (2)＋f ()＋f (3)＋f ()＋f (4)＋f ()＋f (5)＋f ()＋f (6)＋f ()

变式练习2：定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy（x、y∈R），且f(1)＝2，则f(－3)＝（ ）
A：2 B：3 C：6 D：9
【解析】：f(1)＝f(1＋0)＝f(1)＋f(0)＋0，得f(0)＝0
f(0)＝f(－1＋1)＝f(－1)＋f(1)－2，得f(－1)＝0
f(－2)＝f(－1－1)＝f(－1)＋f(－1)＋2，得f(－2)＝2
f(－3)＝f(－1－2)＝f(－1)＋f(－2)＋4，得f(－3)＝6
变式练习3：函数满足则常数c等于（ ）
A： 3 B： C： D：
【解析】：＝x 得 c＝－3 B

三、函数的值域
（一）、值域：函数，我们把函数值的集合称为函数的值域。
（二）、基本函数的值域：
1、一次函数的值域为R；
2、二次函数；xR的值域

3、反比例函数的值域为
4、指数函数y＝ (＞0且≠1)的值域为(0，＋∞)
5、对数函数y＝ (＞0且≠1)的值域为R；
6、正弦y＝sin x，余弦函数y＝cos x的值域[－1，1]；
7、正切函数y＝tan x的值域为R；
8、函数f(x)＝的值域与指数的关系，对于不同的值，值域不同。
（三）求值域的具体方法
1、观察法（直接法）：例8：求函数f(x)＝2x＋1，x{1，2，3，4，5}
【解析】：y∈{3，5，7，9，11}
变式练习：求函数的值域：（1）f(x)＝＋1 （2）f(x)＝
【解析】：（1）y≥1（2）y≠0
2、配方法：利用二次函数求值域
【二次函数的对称轴x＝－，顶点坐标(－，)】；
例9：求函数f(x)＝x2－6x－7，xR的值域
解：f(x)＝x2－6x－7＝(x－3)2－16≥－16，
所以函数的值域{y︱y≥－16}或。
变式练习：求函数的值域
（1）f(x)＝x2－4x－3，xR （2）f(x)＝－x2－6x＋7，xR

（3）f(x)＝x2－4x－3， x[－1，3] （4）f(x)＝－x2－6x＋7，x[－1，3]

（5）设、是方程4x2－4mx＋m＋2（x∈R）的两实根，当m为何值时，＋有最小值？求出这个最小值。
【解析】：
3、分离常数法：【形如反比例函数的值域y＝(k≠0)，】
例10：求函数f(x)＝的值域。
【解析】：f(x)＝＝＝2－ y≠3
变式练习：求函数f(x)＝的值域。
【解析】：f(x)＝5＋ y≠5
4、单调法：先判断函数f(x)的区间上的单调性，再代入端点求值域的方法。
例11：已知函数f(x)＝，求函数的最大值和最小值。
【解析】：函数f(x)在[2，6]上是减函数，所以函数在区间上的两个端点分别取得最大值与最小值，当x＝2函数取最大值2，当x＝6函数取最小值0.4。
变式练习1：求函数f(x)＝的值域。
【解析】：[9，12]

变式练习2：求下列函数的值域
（1）f(x)＝ （2）f(x)＝
【解析】：（1）f(x)＝ （2）f(x)＝
5、换元法
例12：求函数f(x)＝x＋

变式练习1：分别求下列函数的值域
（1）f(x)＝2x＋ （2）f(x)＝2x－

变式练习2：分别求下列函数的值域
（1）f(x)＝＋6×－3 （2）f(x)＝sin2x＋2cosx－3

6、基本不等式法【基本不等式章节重点讲解】
例13：求函数f(x)＝x＋(x＞－1)的最小值_____________。
例14：求函数f(x) ＝x×(3－2x) （0＜x＜）的最大值___________。

7、三角函数法【三角函数章节重点讲解】
8、导数法【导数章节重点讲解】
9、三角代换法(参数法)【极坐标与参数方程章节重点讲解】
四、函数的表示法
（一）表示函数的方法有：有解析法、列表法和图象法三种。
（1）、解析法： 如果函数y＝f(x)（x∈A）中，f(x)是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。
（2）列表法：通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。
（3）、图象法：用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。
（二）求函数解析式
1、拼凑法：已知f [g(x)]的解析式，要求f(x)的解析式，从f[g(x)]的解析式中拼凑出“g(x)”，两边用“x”代替“g(x)”即可得到f(x)的解析式。
例13：若f()＝，求f(2)
【解析】∵ f () ＝＝ ∴ f (x) ＝∴ f(2) ＝＝
变式练习：（1）已知f (x＋)＝x2＋ ，求f (x)
（2）已知f (＋1)＝x＋2，求f (x)
【解析】：（1）f(x)＝x2－2 （2）f (x) ＝x2－1

2、换元法：已知函数f [g(x)]的解析式，令g(x)＝t，求f(t)的解析式，用x代替两边所有的t，即可。
例14：已知函数f (2x＋1) ＝x2－2x，求f (1)
【解析】令2x＋1＝t，则 x ＝ ∴ f (t )＝()2－2×＝
∴ f (x)＝ ∴ f (1) ＝＝0
变式练习：
（1）已知f (＋1)＝x＋2，求f (x)
（2）已知g(x) ＝1－2x，f [g(x)]＝(x≠0)，求f ()
（3）已知f ()＝x＋，则f(1)＝___________。
（4）已知f ()＝4x×＋233，则f(2) ＋f(4) ＋f(8)＋……＋f(28)的值等于_________。

【解析】：（1）f (x) ＝x2－1 （2）f ()＝15 （3）f(1)＝1
（4）令＝t，则x＝，则f (t)＝4＋233，故f(2) ＋f(4) ＋f(8)＋……＋f(28) ＝
4＋8＋12＋……＋32＋233×8＝2008
3、方程组法：已知f(x)与f[g(x)]满足的关系式，要求f(x)时，用g(x)代替两边所有的x，得到关于f(x)，f[g(x)]的方程组，解方程组得f(x)。
例15：已知函数f (x)满足，f(x)－2 f ()＝3x＋2，求f (x)的解析式。
【解析】：用代替x得：f ()－2 f (x)＝3×＋2
∴ 解之得：f (x)＝－x－－2

变式练习：已知函数f(x)满足：f (x)＋2 f (－x)＝x2＋x，求函数f(x)的解析式。
【解析】：f(x) ＝

4、待定系数法：
（1）、初中所学一次函数、反比例函数、二次函数解析式的求法。
一次函数：f(x)＝kx＋b (k≠0) ； 反比例函数：f (x)＝(k≠0)，
二次函数：
（2）若已知f(x)函数的类型，求f(x)的解析式，可根据类型设其解析式，然后确定其系数即可。
例16：已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝4x＋3，求f (x)的解析式。
【解析】设：f(x)＝kx＋b (k≠0)
∴ f[f(x)] ＝f (kx＋b)＝ k(kx＋b)＋b ＝k2x＋kb＋b ＝4x＋3
∴ 解之得或
∴ f (x)＝2x＋1 或 f (x)＝－2x－3

例17：已知函数f(x)是一次函数，且2 f (1)＋3 f (2)＝3，2 f (－1)－3 f (0)＝－1，求f (x)的解析式。
【解析】设：f(x)＝kx＋b (k≠0)，由题意得
解之得： ∴f (x)＝x－

变式练习：
（1）已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝9x＋8，求f (x)的解析式。
（2）已知一次函数f(x)满足：3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f (x)的解析式。
【解析】（1）f (x)＝3x＋2 或 f (x)＝－3x－4 （2）f (x)＝2x＋7

四、分段函数：在定义域内，对于自变量x的不同取值范围，对应关系（对应法则）不同，这样函数通常称为分段函数。由此可知，作分段函数的图像时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出。
注意：（1）分段函数是一个函数；（2）在分段时端点不重也不漏；（3）分段函数的定义域为每段范围的并集，值域也是每个区域内值域的并集。

（一）分段函数的图象
例18：作出函数f(x)＝｜x｜的图象。
【解析】：f(x)＝｜x｜＝
变式练习：作出分段函数的图像

（二）分段函数的求值。
例19：已知函数f (x) ＝ 求：（1）f (3) （2）f [ f (3) ] （3）f {f [ f (3) ]}
【解析】：∵ （1）3＞2，∴f (3)＝32－4×3＝－3；
（2）∵－3＜2，∴ f [ f (3) ]＝f (－3)＝×(－3) ＝－
（3）∵－2＜－＜2，∴ f { [ f ( 3 ) ] }＝f (－)＝
变式练习1：已知函数f (x) ＝，
（1）求f [f (－1) ] （2）若f() ＝3，求的值。
【解析】：（1）f [f (－1) ] ＝2 （2）＝或＝
变式练习2：设≠0，函数f(x)＝，若f(f(－))＝4，则f()等于（　　）
A：8 B：4 C：2 D：1
【解析】A　
课 后 综 合 练 习
1、如下图（1）（2）（3）（4）四个图象各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数关系的有____________。

【解析】：（2）（3）
2、函数y＝f(x)的图象与直线x＝的交点的个数为（　　）
A：必有1个　　B：1个或2个　　C：至多1个　　D：可能2个以上
【解析】：C
3、若函数f(x)＝的定义域为R，则实数的取值范围是__________。
【解析】：＞0

4、已知f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋xy，且f(1)＝1，求f (5)
【解析】：f (5) ＝15

5、集合A＝{x︱0≤x≤4}，B＝{y︱0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数是(　　)
A：f(x)→y＝x　　B：f(x)→y＝x C：f(x)→y＝x D：f(x)→y＝
【解析】：C

6、某物体一天中的温度是时间t的函数：T(t)＝t3－3t＋60，时间单位是小时，温度单位为℃，t＝0表示12：00，其后t的取值为正，则上午8时的温度为(　　)
A：8℃ B：112℃ C：58℃ D：18℃
【解析】：A

7、已知函数f(x)＝，则设f[f()]=（ ）
A： B： C： D：
【解析】：B
8、函数f(x)＝的定义域是(　　)
A：[－1，＋∞)　 B：[－1，0) C：(－1，＋∞) D：(－1，0)
【解析】：C
9、已知函数f(x)＝，则f(2)等于(　　)
A：3 B：2 C：1 D：0
【解析】：A
10、已知函数f(x)满足f()＝ f()＋ f()，且f(2)＝p，f(3)＝q，则f(72)等于（ ）
A： p＋q B： 3p＋2q C：2p＋3q D： p3＋q3

11、定义运算 a⊙b＝，则函数f(x)＝x⊙(x＞0)的图象大致为（ ）

A B C D
【解析】：D
12、已知函数f(x)＝，若f[f(x)]＝4，则实数的值为（ ）
A： B： C：2 D：9
【解析】：C
13、已知、∈N＋，且对任意的、有f(＋)＝f()×f()，且f(1)＝2，＋＋＋……＋＋＝_________。
【解析】：法一：令＝x－1，＝1，则f(x)＝f(x－1＋1)＝f(x－1)×f(1)，即＝2，则＋……＋＝2×2010＝4020；法二：令f(x) ＝
13