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(完整版)函数概念及其性质
函数概念及其性质

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设f、g都是由A到A的映射，其对应法则如下表(从上到下):
表1 映射f的对应法则
原象
1
2
3
4
象
3
4
2
1
表2 映射g的对应法则
原象
1
2
3
4
象
4
3
1
2

则与f ［g (1)]相同的是 （ )
A．g ［f （1)］ B．g［f （2）] C．g [f （3）］ D．g[f （4）]
2．函数f (x) = 的定义域是集合A,函数g (x) = 的定义域是集合B，且为空集，则实数a的取值范围是 ( )
A．[－1，3］ B．（－1，3） C． D．
3．若函数f (x） = x－在(1，+∞）上是增函数,则实数p的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
4．已知，则的值为 （ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
5．已知函数f (x） = 3－2 |x|， g（x） = x2－2x,构造函数y = F(x)，定义如下：当f (x）≥g （x）时,F(x） = g（x)；当f （x） < g (x）时,F（x） = f （x),那么F(x） （ )
A．有最大值3，最小值－1 B．有最大值3，无最小值
C．有最大值7，无最小值 D．无最大值，也无最小值
6．已知函数f （x) = ,则函数y = f （1－x )的图象为 （ )

7．已知函数f （x) =，若f (a) = b，则f (－a)等于 （ ）
A．b B．－b C． D．－
8．若f (x)是偶函数，且当x∈时，f （x) = x－1，则f （x－1） 〈 0的解集是 （ ）
A．{x |－1 〈 x 〈 0} B．{x ｜ x < 0或1< x < 2}
C．｛x | 0 〈 x 〈 2} D．｛x | 1 〈 x < 2}
9．设定义域为R的函数f （x） = ，若关于x的方程f 2(x) + a f (x） + b = 0有3个不同的实数解x1、x2、x3且x1< x2<x3，则下列说法中错误的是
A． B．1 + a + b = 0
C．x1 + x3 = 4 D．x1 + x3 〉 2x2
10．设函数f （x） = x |x｜ + bx + c，给出下列四个命题：
①c = 0时,y = f （x）是奇函数； ②b = 0,c 〉 0时，方程f （x） = 0只有一个实根；
③ y = f (x）的图象关于（0，c）对称； ④方程f （x) = 0至多两个实根
其中正确的命题是
A．①、④ B．①、③ C．①、②、③ D．①、②、④

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中横线上）
11．已知函数f (x） = 3ax－2a + 1在区间 （－1，1)内存在x0；使f (x0） = 0，则实数a的取值范围是 .
12．已知函数f （x）=与函数d(x） = ，则这两个函数图象的公共点的坐标为 .
13．设函数f （x）为偶函数,对于任意的x 〉０的数都有f （2+x) =－2 f (2－x)，已知f (－1) = 4，那么f (－3) = .
14．已知f (x)是定义在R上的奇函数，且是周期为2的周期函数，当x时,f (x) = 2x－1，则的值为 .

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分12分）
已知函数f （x) =,g (x）= f (2| x ｜).
（1)函数f (x)和g （x)是否具有奇偶性，并说明理由；
（2）证明函数g (x）在（，0)上为增函数.

16．(本小题满分12分）
已知函数f (x) =,.
（1)证明函数y = f （x)的图象关于点（a，－1)成中心对称图形；
（2）当x时，求证：f （x）.

17．（本小题满分14分）
已知函数f （t） =log2t，.
（1）求f （t)的值域G；
(2）若对于G内的所有实数x，不等式－x2+2mx－m2+2m≤1恒成立，求实数m的取值范围。

18．（本小题满分14分)
定义在区间（－1，1)上的函数f (x）满足：①对任意的x,y∈(－1，1)，都有f (x) + f （y） =； ②当x∈(－1,0)，f （x) > 0.
（1）求证f （x）为奇函数；
（2）试解不等式:f （x） + f (x－1) .

19．(本小题满分14分）
对定义域分别是Df 、Dg的函数y = f (x)、y = g （x），规定：

（1）若函数f （x） = ,g （x) = x2，写出函数h（x）的解析式；
（2）求问题（1）中函数h（x）的值域;
（3）请设计一个定义域为R的函数y = f (x），及一个实常数a的值，使得f （x)·f （x + a) =
x4 + x2 + 1,并予证明.

20．（本小题满分14分）
已知函数f (x） =ax2－bx +c （a > 0, b，c∈R),f (x) = 0在0< x < 1有两个互异实根，求证：
(1)b 〉 2c且a > c；
（2）f (0）·f （1) < .

参考答案
一、选择题
1．A g (1) = 4，f ［ g （1) ］ = f (4) = 1，而f （1） = 3，g [ f （1） ］ = g (3） = 1
2．A A = ,B = （a－1, a + 1)
3．A f /(x) = ，p 〉－x2在（1, +)上恒成立，∴p =－1
4．C
5．C 作出函数y = F(x)的图象即可
6．D 由已知得f （1－x ) = 当x = 0时，y = 2，排除A、B;当x 〉 0时，y =，排除C. 故选D。
7．B ,

8．C ∵f (x）是偶函数，在时,f （x） = x－1.
又当x 〈 0时，－x > 0，∴f (－x)=－x－1,∴f (x）=－x－1.
9．D
10．C ①显然成立. 当b = 0，f （x） = x | x | + c，方程只有一实根,正确
f （－x） =－x ｜ x ｜－bx + c =－（f (x)－c ） + c = 2c－f （x），故关于点（0, c）对称,
③正确

二、填空题
11．或a 〈－1 由f (－1)·f （1） 〈 0可得
12．（1，1） 就x为负有理数，非负有理数,负无理数，非负无理数解方程f （x） = d (x)
13．－8 f （－3) = f (3） = f （2 + 1) =－2 f (1) =－2 f （－1） =－8
14．－5

三、解答题
15．解:（I）
又
函数的定义域为,
函数的定义域，
由的定义域为可知函数为非奇非偶函数,

为偶函数
（II）设且

且，
所以，，

16．解：(I）设点P（x0，y0)是函数，y=f（x)图象上一点，
则
点P（x0，y0）关于（a，－1)的对称点为

即P′点在函数y=f（x）的图象上
所以函数y=f（x）的图象关于点成中心对称图形
（II)

17．解：(Ⅰ)∵f（t)=log2t在t∈[，8]上是单调递增的，
∴log2≤log2t≤log28.
即≤f(t）≤3。
∴f(t）的值域G为[］.
(Ⅱ)由题知－x2+2mx－m2+2m≤1在x∈[］上恒成立
－2mx+m2－2m+1≥0在x∈[]上恒成立.
令g(x）=x2－2mx+m2－2m+1，x∈［].
只需gmin（x）≥0即可.
而g(x）=(x－m)2－2m+1，x∈[］.
（1）当m≤时,gmin(x)=g(）=－3m+m2+1≥0。
∴4m2－12m+5≥0.解得m≥或≤.
∴m≤
（2)当＜m＜3时，gmin(x)=g(m)= －2m+1≥0.
解得m≤
这与＜m＜3矛盾.
(3）当m≥3时,gmin(x）=g(3)=10+m2－8m≥0。
解得m≥4+或m≤4－。
而m≥3,∴m≥4＋.
综上，实数m的取值范围是 （－∞，）∪［4+，+∞］。
18．（1）解:令x = y = 0，则
f （0） + f （0） =
∴ f （0） = 0
令x∈(－1, 1） ∴－x∈(－1, 1）
∴ f (x） + f （－x） = f （） = f (0） = 0
∴ f (－x） =－f （x）
∴ f （x) 在（－1，1）上为奇函数
（2）解:令－1〈 x1 〈 x2 〈 1
则f （x1） －f （x2) = f （x1) + f (－x2） =
∵x1－x2 〈 0，1－x1x2 〉 0
∴ ∴ > 0
∴ f (x1） > f （x2) ∴ f （x) 在（－1,1）上为减函数
又f （x) + f (x－1） >

∴ 不等式化为
或
∴ 不等式的解集为
19．解：(1）h （x) =
（2）当x = 1时，h （1） = 1
当x≠1时,，即x2－yx + y = 0
由关于x的方程x2－yx + y = 0有实数解（显然解不为1）知
△= (－y) 2－4y≥0，得y≥4或y≤0,
∴ 函数h （x）的值域
（3）∵ x4 + x2 + 1 = （x2 + 1)2－x2 = （x2 + x + 1) (x2－x + 1)
= (x2 + x + 1） ［（x－1）2 + （x－1） + 1]
∴ 可取f (x） = x2 + x + 1， a =－1
注：取f （x) = x2－x + 1, a = 1；f （x) =－x2 + x－1, a = 1；
f (x) =－x2－x－1,a =－1均可。

20．解：（1）f （x） = 0，在0 < x < 1内有两个互异实根
∴
∵ a > 0，由③得
由④得b2 > 4ac
∵ c 〉 0 ∴ b2 〉 4ac > 4··c = 2bc ∴ b 〉 2c
又·2c = c ∴ b > 2c且a > c
（2）f (0)·f (1) = c (a－b + c） = a2
由（4)b2 > 4ac ∴ ·
∴
∴ f (0）·f (1） < a2 [］
=
=
由（3） ∴ ，2－
∴
∴ f (0）·f （1） <