反比例函数压轴难题.doc

(完整word)反比例函数压轴难题

中考压轴题反比例函数

一．解答题（共30小题)
1．（2015•邵阳)如图，已知直线y=x+k和双曲线y=（k为正整数）交于A，B两点．
（1)当k=1时,求A、B两点的坐标；
（2）当k=2时，求△AOB的面积;
（3）当k=1时，△OAB的面积记为S1，当k=2时,△OAB的面积记为S2，…,依此类推，当k=n时，△OAB的面积记为Sn，若S1+S2+…+Sn=,求n的值．

2．（2015•宁波）如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点,如果∠APB绕点P旋转时始终满足OA•OB=OP2，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角．
（1）如图2，已知∠MON=90°，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=135°．求证：∠APB是∠MON的智慧角．
（2）如图1，已知∠MON=α(0°＜α＜90°),OP=2．若∠APB是∠MON的智慧角，连结AB，用含α的式子分别表示∠APB的度数和△AOB的面积．
（3)如图3,C是函数y=（x＞0）图象上的一个动点，过C的直线CD分别交x轴和y轴于A,B两点,且满足BC=2CA，请求出∠AOB的智慧角∠APB的顶点P的坐标．

3．(2015•梅州）如图，过原点的直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y=的图象分别交于两点A，C和B，D，连接AB,BC，CD，DA．
(1）四边形ABCD一定是　　　　　　四边形；（直接填写结果）
（2）四边形ABCD可能是矩形吗?若可能，试求此时k1，k2之间的关系式;若不能，说明理由;
（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y=图象上的任意两点,a=，b=,试判断a，b的大小关系，并说明理由．

4．（2015•黄石）已知双曲线y=（x＞0），直线l1:y﹣=k(x﹣）(k＜0)过定点F且与双曲线交于A，B两点，设A（x1，y1）,B（x2，y2）（x1＜x2），直线l2:y=﹣x+．
（1）若k=﹣1,求△OAB的面积S;
（2)若AB=，求k的值;
（3）设N（0，2），P在双曲线上,M在直线l2上且PM∥x轴，求PM+PN最小值,并求PM+PN取得最小值时P的坐标．(参考公式:在平面直角坐标系中,若A（x1，y1)，B（x2，y2）则A，B两点间的距离为AB=）

5．（2015•威海）如图1，直线y=k1x与反比例函数y=（k≠0）的图象交于点A，B，直线y=k2x与反比例函数y=的图象交于点C，D,且k1•k2≠0，k1≠k2，顺次连接A,D，B，C,AD，BC分别交x轴于点F,H，交y轴于点E，G，连接FG，EH．
(1)四边形ADBC的形状是　　　　　　；
（2）如图2，若点A的坐标为（2，4）,四边形AEHC是正方形,则k2=　　　　　　；
（3）如图3，若四边形EFGH为正方形，点A的坐标为(2，6），求点C的坐标；
（4)判断：随着k1、k2取值的变化，四边形ADBC能否为正方形？若能,求点A的坐标；若不能，请简要说明理由．

6．（2015•咸宁）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线"）．
（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；
（2）如图2，双曲线y=与新函数的图象交于点C（1，a)，点D是线段AC上一动点（不包括端点),过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．
①试求△PAD的面积的最大值；
②探索：在点D运动的过程中,四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．

7．(2015•常州)如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点,且在直线AB的上方．
（1）若点P的坐标是（1，4)，直接写出k的值和△PAB的面积；
(2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证:△PMN是等腰三角形；
(3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合）,连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．

8．（2015•玉林）已知：一次函数y=﹣2x+10的图象与反比例函数y=（k＞0）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．
(1）当A(4,2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；
(2)在（1）的条件下,反比例函数图象的另一支上是否存在一点P,使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由．
（3）当A(a,﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D．若=，求△ABC的面积．

9．（2015•漳州)理解：数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：
思路一 如图1，在Rt△ABC中,∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA,连接AD．设AC=1,则BD=BA=2,BC=．tanD=tan15°===2﹣．
思路二 利用科普书上的和（差）角正切公式:tan（α±β)=．假设α=60°，β=45°代入差角正切公式:tan15°=tan（60°﹣45°）===2﹣．
思路三 在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…
思路四 …
请解决下列问题（上述思路仅供参考）．
（1）类比:求出tan75°的值；
（2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A,测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角(∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度；
（3)拓展:如图3,直线y=x﹣1与双曲线y=交于A，B两点，与y轴交于点C，将直线AB绕点C旋转45°后,是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能,请说明理由．

10．（2014•枣庄)如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=的图象交于A、B两点，点A坐标为(m，2），点B坐标为（﹣4，n），OA与x轴正半轴夹角的正切值为，直线AB交y轴于点C,过C作y轴的垂线，交反比例函数图象于点D，连接OD、BD．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式;
(2）求四边形OCBD的面积．

11．(2014•徐州）如图，将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y=图象的两支上，且PB⊥x于点C,PA⊥y于点D，AB分别与x轴,y轴相交于点E、F．已知B(1，3）．
(1）k=　　　　　　；
（2）试说明AE=BF；
(3）当四边形ABCD的面积为时，求点P的坐标．

12．（2014•淮安）如图,点A（1，6）和点M(m，n)都在反比例函数y=(x＞0)的图象上,
（1）k的值为　　　　　　；
（2）当m=3，求直线AM的解析式;
(3)当m＞1时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴,垂足为B，试判断直线BP与直线AM的位置关系，并说明理由．

13．（2014•泰州)平面直角坐标系xOy中,点A、B分别在函数y1=（x＞0）与y2=﹣（x＜0）的图象上，A、B的横坐标分别为
a、b．

（1)若AB∥x轴，求△OAB的面积;
（2)若△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；
（3)作边长为3的正方形ACDE，使AC∥x轴,点D在点A的左上方，那么，对大于或等于4的任意实数a,CD边与函数y1=(x＞0)的图象都有交点，请说明理由．
14．（2014•泉州）如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．
(1）求该反比例函数的关系式；
（2）设PC⊥y轴于点C,点A关于y轴的对称点为A′；
①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；
②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=．

15．（2014春•慈溪市期末）如图，直线y=﹣x+1与x,y轴分别交于A、B两点，P（a，b）为双曲线y=(x＞0)上的一动点，PM⊥x轴与M，交线段AB于F，PN⊥y轴于N，交线段AB于E
（1）求E、F两点的坐标（用a，b的式子表示）；
(2）当a=时，求△EOF的面积．
（3）当P运动且线段PM、PN均与线段AB有交点时，探究：
①BE、EF、FA这三条线段是否能组成一个直角三角形？说明理由；
②∠EOF的大小是否会改变？若不变，求出∠EOF的度数,若会改变，请说明理由．

16．（2014秋•渝中区校级月考）如图，在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD，E是BC上一点，∠AED=90°，AB=6，SIN∠AEB=，矩形ABCD的点B与O重合，BC在x轴上，现有一张硬纸片△MGN，∠MGN=90°，点M在x轴上，点G在ED上，NG=3，N与E重合．现将△MGN以每秒1个单位的速度沿EB方向在x轴上匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD方向向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接QP,当点P到达终点D时，△MGN和点P同时停止运动，设运动时间x秒．
（1)若反比例函数的图象经过点D，求该反比例函数的解析式．
（2）在整个运动过程中，设△MGN与△ABE重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式,并写出x的取值范围．
(3)在整个运动过程中,是否存在点P，使△APQ为等腰三角形,若存在，求出x的值,若不存在，说明理由．

17．(2013•湖州）如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=，反比例函数y=（k＞0)在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F．
（1)若OA=10，求反比例函数解析式;
（2）若点F为BC的中点,且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；
（3）在（2)中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②)，点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO．是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

18．(2013•镇江）通过对苏科版八(下)教材一道习题的探索研究，我们知道：一次函数y=x﹣1的图象可以由正比例函数y=x的图象向右平移1个单位长度得到类似的，函数的图象是由反比例函数的图象向左平移2个单位长度得到．灵活运用这一知识解决问题．如图,已知反比例函数的图象C与正比例函数y=ax（a≠0）的图象l相交于点A（2,2）和点B．
(1)写出点B的坐标，并求a的值;
（2）将函数的图象和直线AB同时向右平移n(n＞0）个单位长度,得到的图象分别记为C′和l′,已知图象C′经过点M（2，4）．
①求n的值；
②分别写出平移后的两个图象C′和l′对应的函数关系式；
③直接写出不等式的解集．

19．(2013•义乌市）如图1所示，已知y=(x＞0)图象上一点P，PA⊥x轴于点A（a,0），点B坐标为（0，b）（b＞0），动点M是y轴正半轴上B点上方的点，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN于点Q连接AQ，取AQ的中点为C．
(1）如图2,连接BP,求△PAB的面积；
（2）当点Q在线段BD上时，若四边形BQNC是菱形,面积为2，求此时P点的坐标；
（3）当点Q在射线BD上时，且a=3，b=1,若以点B，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长．

20．（2013•盐城模拟）如图1，已知点A（a，0)，B(0，b)，且a、b满足，▱ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线经过C、D两点．
（1）求k的值；
（2)点P在双曲线上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,试求满足要求的所有点P、Q的坐标；
(3）以线段AB为对角线作正方形AFBH（如图3),点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MN⊥HT，交AB于N，当T在AF上运动时，的值是否发生改变？若改变,求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明．

21．(2013•成都模拟）在平面直角坐标系中,函数y=（m＞0）的图象经过点A（1，4）、B（a，b）,其中a＞1．过点A作x轴的垂线,垂足为C；过点B作y轴的垂线,垂足为D，AC与BD相交于点M，连接AB、AD、BC、CD．
（1)求m的值；
(2)求证：CD∥AB；
（3）当AD=BC时，求直线AB的函数解析式．

22．(2013•柳州模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx和双曲线在第一象限相交于点A（1，2），点B在y轴上，且AB⊥y轴．有一动点P从原点出发沿y轴以每秒1个单位的速度向y轴的正方向运动，运动时间为t秒（t＞0）,过点P作PD⊥y轴，交直线OA于点C，交双曲线于点D．

(1）求直线y=kx和双曲线的函数关系式;
（2）设四边形CDAB的面积为S，当P在线段OB上运动时(P不与B点重合)，求S与t之间的函数关系式；
(3）在图中第一象限的双曲线上是否存在点Q，使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时t的值和Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（2013秋•江岸区校级月考）如图,一次函数y=ax+b与反比例函数y=(x＞0）的图象交于点A、B，与x、y轴交于C、D，且满足+（a+）2=0．
（1）求反比例函数解析式；
（2）当AB=BC时,求b的值；
(3）如图2，当b=2时,连OA,将OA绕点O逆时针旋转60°,使点A与点P重合，以点P为顶点作∠MPN=60°,分别交直线AB和x轴于点M、N，求证:PM平分∠AMN．

24．(2012•北海）如图,在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（﹣2，0）、B(0，1）、C(d,2）．
（1）求d的值；
（2)将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线BC交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形？如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

25．（2012•泰州）如图,已知一次函数y1=kx+b图象与x轴相交于点A,与反比例函数的图象相交于B(﹣1，5)、C（,d)两点．点P(m，n）是一次函数y1=kx+b的图象上的动点．
(1）求k、b的值；
（2）设﹣1＜m＜,过点P作x轴的平行线与函数的图象相交于点D．试问△PAD的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设m=1﹣a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围．

26．（2012•淄博)如图，正方形AOCB的边长为4,反比例函数的图象过点E（3，4）．
(1）求反比例函数的解析式；
（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D,直线过点D,与线段AB相交于点F，求点F的坐标;
（3)连接OF，OE,探究∠AOF与∠EOC的数量关系,并证明．

27．（2012•广安模拟)如图所示，在同一直角坐标系xOy中,有双曲线，直线y2=k2x+b1，y3=k3x+b2，且点A(2，5），点B（﹣6,n）在双曲线的图象上
（1）求y1和y2的解析式；
（2）若y3与直线x=4交于双曲线，且y3∥y2,求y3的解析式；
(3）直接写出的解集．

28．（2012•南安市质检）如图，已知双曲线（k为常数)与直线l相交于A、B两点，第一象限内的点M（点M在A的左侧）是双曲线上的一动点，设直线AM、BM分别与y轴交于P、Q两点．
（1）若直线l的解析式为，A点的坐标为（a,1），
①求a、k的值;②当AM=2MP时，求点P的坐标．
(2）若AM=m•MP，BM=n•MQ，求m﹣n的值．

29．（2012•西湖区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为（8，4），（0,4），点C，D在x轴上，C（t,0），D（t+3，0）（0＜t≤5），过点D作x轴的垂线交线段AB于点E,交OA于点G,连接CE交OA于点F
（1）请用含t的代数式表示线段AE与EF的长;
（2）若当△EFG的面积为时,点G恰在的图象上，求k的值；
（3)若存在点Q(0，2t)与点R，其中点R在（2）中的的图象上，以A,C,Q，R为顶点的四边形是平行四边形,求R点的坐标．

30．（2012•城厢区校级模拟）已知：C为反比例函数上一动点，过点C作直线l⊥x轴于A点，连接OC，过C点作CD⊥OC交曲线于点D（D在C右侧),连接OD，过D点作DB∥x轴交直线l于B点，S△AOC=4．
（1）求k的值；
（2）当OA=4时，在直线l上是否存在异于C的点P，使△OPD为直角三角形？若存在,请求出P点坐标；若不存在,请说明理由；
(3)把△BCD沿CD翻折，当B点恰好落在OD上时，四边形OCBD的面积是否随着点C的运动而发生变化？若不变，请求出其面积;若变化,请说明理由．

中考压轴题反比例函数
参考答案

一．解答题（共30小题)
1．　　　； 2．　　　； 3．平行； 4．　　　； 5．平行四边形； ; 6．　　　; 7．　　　； 8．　　　； 9．　　　; 10．　　　； 11．3； 12．6； 13．　　　; 14．　　　; 15．　　　； 16．　　　； 17．　　　； 18．　　　; 19．　　　; 20．　　　； 21．　　　； 22．　　　; 23．　　　； 24．　　　; 25．　　　； 26．　　　； 27．　　　; 28．　　　; 29．　　　； 30．　　　；

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